6.4 線性相依與線性獨立

動機

第 6 章先討論張成：一組向量可以生成哪些向量。下一個結構問題是：這組向量是否每一個都必要？如果其中一個其實可由其他向量線性組合得到，該向量就是冗餘。

線性相依/線性獨立正是描述「有沒有冗餘」的核心語言。它同時連接：

$Ax=b$ 解的自由度來源；
建模時特徵重複的偵測；
從張成集走向基底與維度的最小化過程。

邊讀邊試

測試一組向量是否相依

互動檢查會比較幾組小向量，並解釋是否存在非平凡線性關係。

判斷

線性無關

解 c1e1 + c2e2 = 0 時，只會得到 c1 = c2 = 0，所以這一對向量線性無關。

關鍵關係

看不見任何非平凡線性關係。

定義

線性獨立

在向量空間 $V$ 中，若

\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\cdots+\alpha_nu_n=0

只可能有 $\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$ ，則 $(u_1,\ldots,u_n)$ 稱為線性獨立。

定義

線性相依

若存在一組不全為 0 的係數，使

\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\cdots+\alpha_nu_n=0,

則 $(u_1,\ldots,u_n)$ 稱為線性相依。

定義

平凡關係與非平凡關係

所有係數皆為 0 的關係式稱平凡關係；只要有一個係數非零，即為非平凡關係。獨立表示只存在平凡關係。

定理 / 命題

定理

相依等價於某向量可由其餘向量表示

對有限向量組 $(u_1,\ldots,u_n)$ （ $n\ge2$ ），以下等價：

這組向量線性相依；
其中至少一個向量可寫成其餘向量的線性組合。

因此，相依向量組必含可刪除而不改變張成空間的向量。

定理

$R^m$ 中的列化簡判別準則

令 $u_1,\ldots,u_n\in R^m$ ，組成

A=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].

則 $u_1,\ldots,u_n$ 線性獨立當且僅當齊次系統 $Ax=0$ 只有零解。等價地說，把 $A$ 化為 RREF 後，全部欄都必須是 pivot 欄。

觀看冗餘如何變成關係式

下面短片先用幾何圖像顯示同一件事：第三個向量起初似乎加入資訊，但一旦它落入前面向量的張成，就變成可刪除的冗餘向量。

圖解說明

向量何時變成冗餘

觀看第三個向量如何停止加入新方向，變成非平凡關係，並在齊次系統測試中顯示為自由欄。

相依不等於不能張成。它表示至少一個列出的向量是冗餘的，因為它可由其他向量重建。

證明思路

證明

冗餘判準的證明思路

證明

列化簡準則的證明思路

例題

$R^3$ 的相依例子

取

u_1=(1,0,1),\quad u_2=(0,1,1),\quad u_3=(1,1,2).

因 $u_3=u_1+u_2$ ，得到

u_1+u_2-u_3=0,

為非平凡關係，所以向量組相依。

例題

用 RREF 測試獨立性

令

u_1=(1,2,0),\ u_2=(0,1,1),\ u_3=(2,5,1),

則

A=\begin{bmatrix}1&0&2\\2&1&5\\0&1&1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}.

第三欄非 pivot 欄， $Ax=0$ 有自由變數，因此此向量組相依。

例題

含零向量必相依

若 $u_2=0$ ，則

0\cdot u_1+1\cdot u_2+0\cdot u_3+\cdots+0\cdot u_n=0

已是非平凡關係（ $u_2$ 係數為 1），故向量組必相依。

常見錯誤

把『相依』誤解成『不能張成』

相依只表示有冗餘，不表示不能張成。很多相依向量組仍可張成同一空間。

矩陣判準與主元判準

把 $u_1,\dots,u_n$ 排成欄向量矩陣

A=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].

線性關係

\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_nu_n=0

正正就是齊次系統 $A\alpha=0$ 。所以「線性獨立」等價於此系統只有平凡解。

定理

獨立性的矩陣等價判準

$u_1,\dots,u_n$ 線性獨立，當且僅當 $A=[u_1\ \cdots\ u_n]$ 每一欄都有主元（等價地， $A\alpha=0$ 沒有自由變數）。

這給出一個完整流程。

把向量排成欄向量矩陣 $A=[u_1\ \cdots\ u_n]$ 。
解齊次系統 $A\alpha=0$ 。
如果有自由變數，就給其中一個自由變數選取非零值，並讀出一條非平凡關係。
如果每一欄都是主元欄，則只有平凡解，向量組線性獨立。

還有一個立即可用的捷徑： $R^m$ 中多於 m 個向量必定線性相依，因為 $m \times n$ 矩陣在 $n>m$ 時不可能每一欄都有主元。

例題

用行化簡判斷獨立

令

u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\ u_2=\begin{bmatrix}2\\4\\3\end{bmatrix},\ u_3=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}.

設 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ ，化簡可得每一欄都有主元，所以三向量線性獨立。

常見錯誤

以為重排向量會改變相依性

更換排列不改變是否存在非平凡關係，因此不影響相依/獨立判斷。

檢查清單

獨立：0 的表示只有零係數。
相依：至少一個向量可由其餘向量生成。
欄向量可用 RREF 的 pivot 與自由變數快速判斷。
本節是下一節基底與維度的直接前置。

預備練習

快速檢查

判斷 `(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)` 在 $R^3$ 是否線性獨立。

可用冗餘判準或 RREF。

快速檢查

$R^2$ 中 $S=\{(1,1),(2,2)\}$ 是否獨立？

先嘗試把其中一個寫成另一個的純量倍。

快速檢查

若 $\{u_1,u_2,u_3\}$ 已獨立， $\{u_1,u_2,u_3,u_1+u_2\}$ 還會獨立嗎？

把問題改寫為線性關係式。

預備練習解答

解答

練習 1

解答

練習 2

解答

練習 3

快速檢查

若 $R^3$ 裡有 5 個向量，能否線性獨立？

用主元數目上限判斷。

解答

答案

練習

快速檢查

判斷 `{(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)}` 是否線性獨立。

把三個向量放成矩陣欄，再做行化簡。

解答

引導解答

快速檢查

把 `{(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}` 的相依關係寫出來。

先找明顯倍數關係。

解答

引導解答

相依就是冗餘

定理

等價的冗餘判準

一組向量線性相依，當且僅當其中一個向量可以寫成其餘向量的線性組合。

證明

為甚麼相依與冗餘是一回事

例題

刪去冗餘向量，不會改變張成

令

u_1 = \begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\qquad u_2 = \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\qquad u_3 = \begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}.

這裡 $u_3 = u_1 + u_2$ 。因此任何

a u_1 + b u_2 + c u_3

都可改寫成

(a+c)u_1 + (b+c)u_2.

所以

\operatorname{Span}\{u_1,u_2,u_3\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.

第三個向量改變了描述方式，但沒有改變張成本身。

定理

冗餘向量可以刪去，而不改變張成

若一組向量之中有一個向量是其餘向量的線性組合，刪去它之後，張成不會改變。

證明

為甚麼張成保持不變

常見錯誤

相依不代表張成變小

一組相依向量仍然可以張成整個空間。相依只表示至少有一個向量其實不需要。

欄矩陣判準與零空間觀點

把向量排成矩陣

A = [u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].

則關係式

\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_nu_n=0

正正就是齊次系統 $A\alpha=0$ ，其中 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^T$ 。

定理

矩陣判據

$u_1,\dots,u_n$ 線性獨立，當且僅當齊次系統 $A\alpha=0$ 只有平凡解。等價地，N(A) 只包含 0。

證明

為甚麼齊次系統決定依賴性

例題

從行化簡讀出一條關係式

考慮

A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix},

其三欄分別是 $u_1=(1,2,1)^T$ 、 $u_2=(0,1,1)^T$ 、 $u_3=(1,3,2)^T$ 。行化簡得

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3-R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

第三欄不是主元欄，所以 $\alpha_3$ 是自由變數。取 $\alpha_3=1$ ，便有 $\alpha_1=-1$ 、 $\alpha_2=-1$ ，因此

-u_1-u_2+u_3=0,

也就是 $u_3=u_1+u_2$ 。

定理

主元判據

把 $A$ 行化簡之後，若每一欄都有主元，則 $u_1,\dots,u_n$ 線性獨立。若有一欄不是主元欄，就會出現自由變數，因此存在非平凡關係式。

常見錯誤

行化簡是為了看齊次系統，不是要改變原來的向量

做相依性測試時，行化簡 $A$ 不是把原本的向量換成另一批想研究的新向量，而是在簡化方程 $A\alpha=0$ 。行等價矩陣有相同的齊次解集，所以它們有相同的依賴關係。

低維快速判斷

定理

兩個非零向量獨立，當且僅當它們不是彼此的純量倍數

對一組 {u,v}，若兩個向量都非零，則它們線性獨立，當且僅當其中一個不是另一個的純量倍數。

證明

兩個向量為何只需看倍數關係

例題

$R^2$ 裡的兩個向量

令

u = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \qquad v = \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}.

因為 $v=2u$ ，所以這對向量相依。幾何上，它們指向同一個方向。

例題

$R^2$ 裡三個向量一定相依

若 $u_1,u_2,u_3 \in R^2$ ，則矩陣 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ 是一個 $2\times 3$ 矩陣。行化簡後最多只有兩個主元，所以一定有一欄不是主元欄。這就表示 $A\alpha=0$ 有自由變數，因此這三個向量相依。

例題

$R^3$ 裡位於同一平面的三個向量

若 $R^3$ 中三個向量都落在平面 $z=0$ ，它們全都屬於 $e_1$ 和 $e_2$ 的張成。但那個平面本身只需要兩個獨立方向來描述，所以第三個向量不可能再提供新的獨立方向。這組向量相依。

定理

在 $R^m$ 裡，太多向量一定相依

$R^m$ 中任何多於 m 個向量的列表都一定線性相依。

證明

為甚麼超過 `m` 個向量不可能全部獨立

總結

線性相依可以從定義直接理解，也可以解讀為張成列表中的冗餘，或欄矩陣零空間裡的一個非零向量。
行化簡是用來簡化係數方程 $A\alpha=0$ ，不是把原來向量換成另一組要研究的新向量。
自由變數會給出非平凡相依關係；每一欄都有主元則證明線性獨立。
$R^2$ 中的倍數判斷，以及 $R^m$ 中超過 m 個向量必相依，都是同一個主元數目邏輯的低維版本。

快速檢查

任何包含零向量的向量列，都一定相依嗎？

直接從定義出發。

解答

答案

快速檢查

若 $u_3 = u_1 + u_2$ ， $\\{u_1,u_2,u_3\\}$ 還可能獨立嗎？

把它改寫成 $\\alpha_1u_1+\\alpha_2u_2+\\alpha_3u_3=0$ 。

解答

答案

快速檢查

若一個 $4\\times 4$ 矩陣有四個主元列，這代表它的列向量有甚麼性質？

用矩陣判據回答。

解答

答案

引導練習

快速檢查

判斷 `\\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\}` 是否獨立，若不獨立，寫出一條關係式。

把向量排成列，再做行化簡，看看有沒有自由變數。

解答

引導解答

快速檢查

解釋為甚麼線性獨立集合的任何子集也線性獨立。

想想若子集自己有關係式，會對整個集合造成甚麼影響。

解答

引導解答

快速檢查

若一組向量裡有一個向量是多餘的，下一步通常應該做甚麼？

用本頁的冗餘觀點來想。

解答

引導解答

預備連結

請先熟悉 6.3 線性組合與張成與 2.3 高斯消去與 RREF。

6.4 線性相依與線性獨立

MATH1030：線性代數 I

動機

測試一組向量是否相依

定義

線性獨立

線性相依

平凡關係與非平凡關係

定理 / 命題

相依等價於某向量可由其餘向量表示

RmR^mRm 中的列化簡判別準則

觀看冗餘如何變成關係式

證明思路

冗餘判準的證明思路

列化簡準則的證明思路

例題

R3R^3R3 的相依例子

用 RREF 測試獨立性

含零向量必相依

常見錯誤

把『相依』誤解成『不能張成』

矩陣判準與主元判準

獨立性的矩陣等價判準

用行化簡判斷獨立

常見錯誤

以為重排向量會改變相依性

檢查清單

預備練習

判斷 (1,0,0),(0,1,0),(1,1,0) 在 R3R^3R3 是否線性獨立。

R2R^2R2 中 S={(1,1),(2,2)}S=\{(1,1),(2,2)\}S={(1,1),(2,2)} 是否獨立？

若 {u1,u2,u3}\{u_1,u_2,u_3\}{u1​,u2​,u3​} 已獨立，{u1,u2,u3,u1+u2}\{u_1,u_2,u_3,u_1+u_2\}{u1​,u2​,u3​,u1​+u2​} 還會獨立嗎？

預備練習解答

練習 1

練習 2

練習 3

若 R3R^3R3 裡有 5 個向量，能否線性獨立？

答案

練習

判斷 {(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)} 是否線性獨立。

引導解答

把 {(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)} 的相依關係寫出來。

引導解答

相依就是冗餘

等價的冗餘判準

為甚麼相依與冗餘是一回事

刪去冗餘向量，不會改變張成

冗餘向量可以刪去，而不改變張成

為甚麼張成保持不變

相依不代表張成變小

欄矩陣判準與零空間觀點

矩陣判據

為甚麼齊次系統決定依賴性

從行化簡讀出一條關係式

主元判據

行化簡是為了看齊次系統，不是要改變原來的向量

低維快速判斷

兩個非零向量獨立，當且僅當它們不是彼此的純量倍數

兩個向量為何只需看倍數關係

R2R^2R2 裡的兩個向量

R2R^2R2 裡三個向量一定相依

R3R^3R3 裡位於同一平面的三個向量

在 RmR^mRm 裡，太多向量一定相依

為甚麼超過 m 個向量不可能全部獨立

總結

快速檢查

任何包含零向量的向量列，都一定相依嗎？

答案

若 u3=u1+u2u_3 = u_1 + u_2u3​=u1​+u2​，u1,u2,u3\\{u_1,u_2,u_3\\}u1​,u2​,u3​ 還可能獨立嗎？

答案

若一個 4times44\\times 44times4 矩陣有四個主元列，這代表它的列向量有甚麼性質？

答案

引導練習

判斷 \\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\} 是否獨立，若不獨立，寫出一條關係式。

引導解答

解釋為甚麼線性獨立集合的任何子集也線性獨立。

引導解答

若一組向量裡有一個向量是多餘的，下一步通常應該做甚麼？

引導解答

預備連結

本節掌握 checkpoint

$R^m$ 中的列化簡判別準則

$R^3$ 的相依例子

判斷 `(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)` 在 $R^3$ 是否線性獨立。

$R^2$ 中 $S=\{(1,1),(2,2)\}$ 是否獨立？

若 $\{u_1,u_2,u_3\}$ 已獨立， $\{u_1,u_2,u_3,u_1+u_2\}$ 還會獨立嗎？

若 $R^3$ 裡有 5 個向量，能否線性獨立？

判斷 `{(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)}` 是否線性獨立。

把 `{(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}` 的相依關係寫出來。

$R^2$ 裡的兩個向量

$R^2$ 裡三個向量一定相依

$R^3$ 裡位於同一平面的三個向量

在 $R^m$ 裡，太多向量一定相依

為甚麼超過 `m` 個向量不可能全部獨立

若 $u_3 = u_1 + u_2$ ， $\\{u_1,u_2,u_3\\}$ 還可能獨立嗎？

若一個 $4\\times 4$ 矩陣有四個主元列，這代表它的列向量有甚麼性質？

判斷 `\\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\}` 是否獨立，若不獨立，寫出一條關係式。