筆記系列

MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

語言

EN 繁简

全部筆記系列系列總覽

章節 1

方程組

學習把方程讀成完整的解集。

1.1

1.1 方程與解集

章節 2

矩陣與消元

建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。

2.1

2.1 矩陣基礎

2.2

2.2 增廣矩陣與行變換

2.3

2.3 高斯消元與最簡行階梯形

2.4

2.4 解集的種類

章節 3

矩陣代數

矩陣乘法、轉置與結構化矩陣記號。

3.1

3.1 矩陣乘法與單位矩陣

3.2

3.2 轉置與特殊矩陣

章節 4

解的結構

齊次方程組、零空間與完整解集的結構。

4.1

4.1 齊次方程組與零空間

章節 5

可逆性

理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩陣

章節 6

向量空間

由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。

6.1

6.1 向量空間

6.2

6.2 子空間

6.3

6.3 線性組合與張成

6.4

6.4 線性相依與線性無關

6.5

6.5 基底與維數

6.6

6.6 列空間、行空間與秩

6.4有來源支持嵌入式互動

6.4 線性相依與線性獨立

判斷一組向量有沒有多餘成分，以及每個向量是否都帶來新資訊。

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MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

語言

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章節 1

方程組

學習把方程讀成完整的解集。

1.1

1.1 方程與解集

章節 2

矩陣與消元

建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。

2.1

2.1 矩陣基礎

2.2

2.2 增廣矩陣與行變換

2.3

2.3 高斯消元與最簡行階梯形

2.4

2.4 解集的種類

章節 3

矩陣代數

矩陣乘法、轉置與結構化矩陣記號。

3.1

3.1 矩陣乘法與單位矩陣

3.2

3.2 轉置與特殊矩陣

章節 4

解的結構

齊次方程組、零空間與完整解集的結構。

4.1

4.1 齊次方程組與零空間

章節 5

可逆性

理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩陣

章節 6

向量空間

由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。

6.1

6.1 向量空間

6.2

6.2 子空間

6.3

6.3 線性組合與張成

6.4

6.4 線性相依與線性無關

6.5

6.5 基底與維數

6.6

6.6 列空間、行空間與秩

為甚麼這一節重要

假設一組向量已經張成某個空間。如果其中一個向量其實可以由其他向量組合出來，那它就是多餘的。線性相依與線性獨立，就是用來找出這種多餘性的工具。

定義

線性獨立

若向量 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 滿足

\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n = 0

時，只有 $\alpha_1 = \alpha_2 = \cdots = \alpha_n = 0$ 這個解，那這組向量就是線性獨立。

定義

線性相依

若 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 存在一組不全為 0 的純量，使得

\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n = 0,

那這組向量就是線性相依。

邊看邊用下面的檢查器，試試一組小向量到底是「真的獨立」，還是有隱藏重複。

邊讀邊試

測試一組向量是否相依

互動檢查會比較幾組小向量，並解釋是否存在非平凡線性關係。

判斷

線性無關

解 c1e1 + c2e2 = 0 時，只會得到 c1 = c2 = 0，所以這一對向量線性無關。

關鍵關係

看不見任何非平凡線性關係。

一個簡單讀法

筆記給了兩個很實用的結論：

如果一組向量是相依的，總有一個向量可以寫成其他向量的線性組合；
如果一組向量是獨立的，就沒有任何一個向量可以這樣寫。

這是實際判斷時最快的讀法。

例題

相依意味著有一條關係式

筆記裡有

u_3 = u_1 + u_2.

改寫後就是

u_1 + u_2 - u_3 = 0.

這是一條非平凡線性關係，所以這組向量是線性相依。

證明

為甚麼相依代表有一個向量多餘

常見錯誤

相依不等於沒用

一組相依向量仍然可以張成一個空間。它只是有多餘成分，所以在想找最小張成集時特別有用。

快速檢查

$R^3$ 裡的 $e_1, e_2, e_3$ 是否線性獨立？

試試向量方程 $\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 = 0$ 。

解答

答案

快速檢查

只要一組向量包含零向量，它還可能線性獨立嗎？

直接用定義判斷。

解答

答案

預備連結

這一頁建立在 6.3 線性組合與張成和 2.3 高斯消去與 RREF 之上。

先備知識

6.3

6.3 線性組合與張成

本單元重點詞彙

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6.3 線性組合與張成

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6.4 線性相依與線性獨立

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矩陣代數

解的結構

可逆性

向量空間

為甚麼這一節重要

線性獨立

線性相依

測試一組向量是否相依

一個簡單讀法

相依意味著有一條關係式

為甚麼相依代表有一個向量多餘

常見錯誤

相依不等於沒用

快速檢查

R3R^3R3 裡的 e1,e2,e3e_1, e_2, e_3e1​,e2​,e3​ 是否線性獨立？

答案

只要一組向量包含零向量，它還可能線性獨立嗎？

答案

預備連結

先備知識

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$R^3$ 裡的 $e_1, e_2, e_3$ 是否線性獨立？