2.2 增廣矩陣與行變換

一個線性方程組包含兩類資料：變數前面的係數，以及右邊的常數。當我們 解方程組時，變數符號、加號和等號的排列模式其實沒有改變；真正會改變 的是那些數字。

這正是增廣矩陣有用的原因。它把會被行變換改寫的資料集中起來，令你不 用每做一步都重寫所有變數符號。

為甚麼增廣矩陣是恰當的包裝

考慮一個有 m 條方程、n 個未知數的線性方程組：

$$\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2, \\ &\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m. \end{aligned}$$

參考筆記把它同時寫成三種平行形式：

• 方程列表；
• 矩陣方程 $Ax = b$；
• 增廣矩陣 [A|b]。

還有一種很重要的列向量讀法。若 $A$ 的各列由左至右分別是 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，那麼

$$Ax = b \quad\Longleftrightarrow\quad x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n = b.$$

這個觀點在之後學張成與列空間時會再出現。不過就算在現階段，它亦說明 了同一個線性系統可以從「按行閱讀」和「按列閱讀」兩方面理解。

三種基本行變換

本地筆記只容許三種行變換：

1. 交換兩行；
2. 用一個非零純量乘一行；
3. 用一行的倍數加到另一行。

第二種操作中的「非零」非常重要。若你用 0 乘一行，就會把整條方程 抹走，而不是把它等價地改寫，所以那一步不再可逆。

為甚麼這些操作會保留解集

真正要緊的，不是行變換令矩陣「變得好看」；真正要緊的是它保留了解集。

參考筆記亦特別強調「可逆」。這一點很重要，因為它把真正的等價改寫， 和會破壞資料的捷徑清楚分開。

把每一個行變換讀成方程操作

做行變換時，不要只想「我在表格裡改數字」。更準確的想法是：「我正用 其中一條方程去改寫另一條方程。」

下一節會仔細處理高斯消元。此處最重要的觀念較為基礎：增廣矩陣只是同 一個系統的壓縮記錄，而行變換之所以合法，是因為它保留解集。

實際解題時的基本策略

參考筆記把矩陣方法概括成三步：

1. 先把方程組寫成增廣矩陣；
2. 用行變換把它化成較簡單的矩陣；
3. 把較簡單的矩陣重新讀成較簡單的方程組，或直接從夠簡單的形式讀出 解答。

這個策略說起來很短，但只有當你一路清楚知道每一步保留了甚麼、想建立 哪種結構時，它才會真正可靠。

用下面的互動圖去對照：每一個行變換符號，究竟對應系統的哪種受控改寫。

常見錯誤與細節

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練習

預備連結

這一頁建基於 1.1 方程與解集 和 2.1 矩陣基礎， 並為 2.3 高斯消元與 RREF 作準備。