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6.3有來源支持嵌入式互動

6.3 線性組合與張成

把張成視為一個精確的輸出集合，將它與線性系統連起來，並學會判斷一個向量能否由指定向量組合而成。

筆記系列

MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

語言

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章節 1

方程組

學習把方程讀成完整的解集。

1.1

1.1 方程與解集

章節 2

矩陣與消元

建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。

2.1

2.1 矩陣基礎

2.2

2.2 增廣矩陣與行變換

2.3

2.3 高斯消元與最簡行階梯形

2.4

2.4 解集的種類

章節 3

矩陣代數

矩陣乘法、轉置與結構化矩陣記號。

3.1

3.1 矩陣乘法與單位矩陣

3.2

3.2 轉置與特殊矩陣

章節 4

解的結構

齊次方程組、零空間與完整解集的結構。

4.1

4.1 齊次方程組與零空間

章節 5

可逆性

理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩陣

章節 6

向量空間

由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。

6.1

6.1 向量空間

6.2

6.2 子空間

6.3

6.3 線性組合與張成

6.4

6.4 線性相依與線性無關

6.5

6.5 基底與維數

6.6

6.6 列空間、行空間與秩

一旦向量空間的定義確立，下一個問題便不只是「這些運算有沒有意義」，而是：

若你手上有一列向量，究竟可以用加法與純量乘法造出多少新向量？

這正是線性組合與張成要回答的問題。

本節十分關鍵，因為它把「這些向量會生成一條線、生成一個平面」之類的幾何語 言，轉化為精確的代數陳述；同時也把向量空間語言重新接到線性系統上。

線性組合是最基本的構造單位

定義

線性組合

設 u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n 是向量空間 VV 裡的向量，而 α1,α2,…,αn∈R\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in R。則

α1u1+α2u2+⋯+αnun\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n

稱為 u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n 的線性組合。

這個定義的重點，在於係數完全不受限制。它們可以是正數、負數、分數、無理數， 也可以是 0。

正因如此，線性組合才有足夠的表達能力。

例題

幾種典型的線性組合

若 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 是向量，則以下各式都是它們的線性組合：

23u1−2 u2+πun,23u_1 - \sqrt{2}\,u_2 + \pi u_n,0=0u1+0u2+⋯+0un,0 = 0u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n,

以及

u1=1u1+0u2+⋯+0un.u_1 = 1u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n.

源講義還特別指出一個封閉事實：若 v 與 w 本身都是 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 的線性組合，則任何 cv+dwcv + dw 仍然是 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 的線性組合。

所以，線性組合對於「由線性組合再做線性組合」這件事本身是封閉的。

是否屬於某個張成，其實是可解性問題

在實際計算裡，問題「b 是否是 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 的線性組合」通常不是靠 肉眼判斷，而是靠解一個線性系統。

定理

線性組合與線性系統

設 u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n 與 b 都是 RmR^m 中的向量，並令

A=[u1u2⋯un].A = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n \end{bmatrix}.

則 b 能寫成 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 的線性組合，當且僅當線性系統

Ax=bAx = b

有解。

這個定理非常有用，因為它告訴你：一個「生成」問題，可以完全化成一個矩陣方 程的一致性問題。

例題

檢查一個向量是否是線性組合

令

u1=[1−2−1],u2=[3−54].u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad u_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 4 \end{bmatrix}.

再考慮向量

w=[2−6−16].w = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ -16 \end{bmatrix}.

要問 w 是否為 u1u_1 與 u2u_2 的線性組合，就是要問是否存在純量 c1,c2c_1, c_2 使得

c1u1+c2u2=w.c_1u_1 + c_2u_2 = w.

等價地，

[13−2−5−14][c1c2]=[2−6−16].\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -5 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ -16 \end{bmatrix}.

把這個系統做行化簡，可得它是一致的，而且解為

c1=8,c2=−2.c_1 = 8, \qquad c_2 = -2.

因此

w=8u1−2u2.w = 8u_1 - 2u_2.

所以 w 屬於 u1u_1 與 u2u_2 的張成。

同一道理也可以用來證明某向量不屬於張成：若對應系統不一致，便表示找不 到係數，自然也就不在張成裡。

張成是所有可造出的結果

定義

張成

設 u1,u2,…,unu_1, u_2, \ldots, u_n 是向量空間 VV 裡的向量。它們的張成定義為所 有線性組合組成的集合：

Span⁡{u1,u2,…,un}={α1u1+α2u2+⋯+αnun∣αi∈R}.\operatorname{Span}\{u_1, u_2, \ldots, u_n\} = \{\alpha_1u_1 + \alpha_2u_2 + \cdots + \alpha_nu_n \mid \alpha_i \in R\}.

因此，張成不是單一向量，而是由這些向量可造出的整個向量集合。

也正因如此，張成常被讀作「由這組向量生成的子空間」。

R3R^3 裡的標準幾何例子

例題

張成在 R3R^3 裡看起來像甚麼

令

e1=[100],e2=[010],e3=[001].e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

則 Span⁡{e1,e2}\operatorname{Span}\{e_1, e_2\} 中的每個向量都可寫成

αe1+βe2=[αβ0].\alpha e_1 + \beta e_2 = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{bmatrix}.

因此

Span⁡{e1,e2}\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}

正正就是 R3R^3 裡的 x1x2x_1x_2 平面。

若再把 e3e_3 加入，則 R3R^3 中任意向量都可寫成

α1e1+α2e2+α3e3,\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3,

故

Span⁡{e1,e2,e3}=R3.\operatorname{Span}\{e_1, e_2, e_3\} = R^3.

這個例子很重要，因為它說明張成可以描述：

  • 一條直線；
  • 一個平面；
  • 甚至整個空間；

視乎你起始的向量列表而定。

為甚麼張成一定是子空間

張成並不是某個隨意的子集合，它其實是由該組向量生成出來的最自然向量空間物 件。

定理

任何向量組的張成都必定是子空間

若 u1,…,unu_1, \ldots, u_n 是向量空間 VV 裡的向量，則

Span⁡{u1,…,un}\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}

是 VV 的一個子空間。

證明

為甚麼張成是子空間

這個定理是張成如此重要的主要原因之一：它給了我們一個系統方法，由一組向量 直接構造子空間。

把互動元件當成輔助圖像

下面的張成探索器只有在上面的代數意義先弄清楚之後才真正有用。它讓你改變係 數，觀察向量如何在生成集合裡移動，但它應被視為前述定義與定理的輔助圖像， 而不是主要內容。

邊讀邊試

由張成組合出一個向量

互動探索讓你改變係數，並看著結果向量如何在張成裡移動。

u

(1, 0)

v

(0, 1)

α

β

結果

αu + βv = (1, 0)

每個輸出向量都是由水平與垂直方向組合而成。

常見錯誤

常見錯誤

張成不是『正倍數集合』

線性組合裡的係數可以是任何實數，所以負數與 0 都同樣合法。若只容許正係數， 那便不是本節所說的張成。

常見錯誤

要證明屬於張成，就必須給出係數

只說一個向量「看起來差不多」並不足夠。要證明某向量屬於一個張成，你必須明 確給出係數，或把關係轉成線性系統，證明它是一致的。

快速檢查

快速檢查

任何有限向量列表的張成都一定包含零向量嗎？

直接回到線性組合的定義回答。

解答

答案

快速檢查

為甚麼 Span⁡{e1,e2}\operatorname{Span}\{e_1, e_2\} 在 R3R^3 裡會包含 (2,−1,0)(2, -1, 0)？

請把該向量寫成 e1e_1 與 e2e_2 的線性組合。

解答

答案

練習

快速檢查

為甚麼生成列表中的每一個向量 uiu_i 都一定屬於 Span⁡{u1,…,un}\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}？

請用係數直接說明。

解答

引導解答

快速檢查

為甚麼定理 b∈Span⁡{u1,…,un}b \in \operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\} 當且僅當 Ax=bAx = b 可解，在計算上如此重要？

請用它帶來的計算方法回答。

解答

引導解答

相關筆記

先讀 6.2 子空間 可回顧本節用到 的子空間判準；接着再讀 6.4 線性相關與線性獨立， 看張成如何與「生成列表有沒有冗餘」這個問題連在一起。

先備知識

6.1

6.1 向量空間

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