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2.4有來源支持嵌入式互動

2.4 解集的類型

用 RREF 嚴格分類線性方程組的解集，辨認主變量與自由變量，並說明為甚麼系統只能有唯一解、無限多解或無解。

筆記系列

MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

語言

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章節 1

方程組

學習把方程讀成完整的解集。

1.1

1.1 方程與解集

章節 2

矩陣與消元

建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。

2.1

2.1 矩陣基礎

2.2

2.2 增廣矩陣與行變換

2.3

2.3 高斯消元與最簡行階梯形

2.4

2.4 解集的種類

章節 3

矩陣代數

矩陣乘法、轉置與結構化矩陣記號。

3.1

3.1 矩陣乘法與單位矩陣

3.2

3.2 轉置與特殊矩陣

章節 4

解的結構

齊次方程組、零空間與完整解集的結構。

4.1

4.1 齊次方程組與零空間

章節 5

可逆性

理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩陣

章節 6

向量空間

由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。

6.1

6.1 向量空間

6.2

6.2 子空間

6.3

6.3 線性組合與張成

6.4

6.4 線性相依與線性無關

6.5

6.5 基底與維數

6.6

6.6 列空間、行空間與秩

高斯消元並不是把矩陣化簡之後便完結。做行化簡的目的，是要令化簡後的矩陣可 以直接讀出解集的結構。本節要把這種讀法說清楚。

線性系統只有三種可能的結果：

  1. 剛好一個解；
  2. 無限多個解；
  3. 沒有解。

這個分類不是靠猜測，而是由增廣矩陣在 RREF 中的主元位置決定。

主變量與自由變量

當一個一致的線性系統化成 RREF 之後，主元欄會告訴你哪些變量是由其他變量所 決定；沒有主元的欄，則對應可以自由選取的變量。

定義

主變量與自由變量

設某一致線性系統的增廣矩陣與一個 RREF 矩陣 BB 行等價。若 BB 的第 j 欄 是主元欄，則變量 xjx_j 稱為主變量或依變量。沒有主元的變量稱為自由 變量。

這個用語很重要，因為它告訴你最後的答案應如何寫：自由變量成為參數，主變量 則以這些參數表出。

一致性的判準

第一個問題不是系統有一個解還是很多解，而是它到底有沒有解。

定理

由 RREF 判斷一致性

設 AA 為一個 m×nm \times n 線性系統的增廣矩陣，BB 為與 AA 行等價的 RREF。則該系統不一致，當且僅當 BB 的最後一欄是主元欄。

等價地說，系統不一致，當且僅當 BB 含有如下形式的一行：

[00⋯0d]其中 d≠0\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & \cdots & 0 & d \end{array} \right] \qquad\text{其中 } d \neq 0

這樣的一行代表方程

0=d0 = d

當 d≠0d \neq 0 時顯然不可能成立，所以矛盾行一出現，便立即知道系統無解。

為甚麼只有三種情況

一旦知道系統是一致的，餘下的問題便只剩下自由變量有多少個。

定理

用主元數目分類

假設一個 m×nm \times n 線性系統是一致的，且其增廣矩陣與某個有 r 個主元欄 的 RREF 行等價。則 r≤nr \le n。此外：

  1. 若 r=nr = n，系統有唯一解；
  2. 若 r<nr < n，系統有無限多解。

原因其實是結構性的：

  • 若 r=nr = n，每一個變量欄都有主元，因此沒有自由變量。
  • 若 r<nr < n，則 n−r>0n - r > 0，至少有一個自由變量。
  • 只要系統一致，而又有自由變量，那個自由變量便可取任意實數值，因此立刻產 生無限多個解。

把一致性定理與主元數目定理放在一起，便得到標準的三分法。

定理

線性系統解集的三分法

任何線性方程組的解集恰好屬於以下三類之一：

  1. 唯一解；
  2. 無限多解；
  3. 無解。

三個 RREF，三種讀法

化簡後的矩陣已把整個故事寫在眼前，關鍵只在於你是否知道要看甚麼。

例題

先讀矩陣，再談求解

考慮以下三個 RREF 增廣矩陣。

第一個：

[10301−2]\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right]

兩個變量欄都是主元欄，所以沒有自由變量。系統有唯一解

x1=3,x2=−2x_1 = 3,\qquad x_2 = -2

第二個：

[12050000]\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

第 1 欄是主元欄，但第 2、3 欄都不是，所以 x2x_2 與 x3x_3 是自由變量。方 程為

x1+2x2=5x_1 + 2x_2 = 5

故

x1=5−2x2x_1 = 5 - 2x_2

因此解集可寫成

{(5−2s, s, t)∣s,t∈R}\{(5 - 2s,\ s,\ t) \mid s, t \in R\}

第三個：

[103001]\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

最後一行表示 0=10 = 1，因此系統不一致，沒有解。

要養成的閱讀習慣是：

  1. 先檢查有沒有矛盾行；
  2. 再找主元欄；
  3. 然後數自由變量；
  4. 最後把主變量用自由變量寫出來。

一個較大的參數化例子

源材料特別強調：當系統有自由變量時，答案必須寫成完整的集合，而不能只說 「有很多解」便算。

例題

把解集完整寫出來

設某個五變量系統的 RREF 為

[1−100360010−21000149000000]\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

第 1、3、4 欄是主元欄，所以 x1x_1、x3x_3、x4x_4 是主變量；第 2、5 欄不 是主元欄，所以 x2x_2 與 x5x_5 是自由變量。

由各行可讀得

x1−x2+3x5=6,x3−2x5=1,x4+4x5=9\begin{aligned} x_1 - x_2 + 3x_5 &= 6, \\ x_3 - 2x_5 &= 1, \\ x_4 + 4x_5 &= 9 \end{aligned}

令

x2=s,x5=tx_2 = s,\qquad x_5 = t

則

x1=6+s−3t,x3=1+2t,x4=9−4t\begin{aligned} x_1 &= 6 + s - 3t, \\ x_3 &= 1 + 2t, \\ x_4 &= 9 - 4t \end{aligned}

因此解集為

{(6+s−3t, s, 1+2t, 9−4t, t)∣s,t∈R}\{(6 + s - 3t,\ s,\ 1 + 2t,\ 9 - 4t,\ t) \mid s, t \in R\}

兩個自由變量便產生兩個參數，所以解集是一個二參數族。

當變量比方程還多時的一個推論

課堂裡經常遇到的情況，是變量數多於方程數，而系統又是一致的。

定理

若 n>mn > m 而系統一致，則必有無限多解

假設一個一致線性系統有 m 條方程、n 個變量，且 n>mn > m。則該系統必有 無限多解。

原因是：在 RREF 中最多只會有 m 個非零行，因此主元欄最多只有 m 個。若 n>mn > m，則 n 個變量欄中必然至少有一欄不是主元欄，所以至少有一個自由變量。 一致性再加上自由變量，便立即推出無限多解。

這個推論不是說每個未知數較多的系統都一定有解；它只是在說，一旦這類系 統是一致的，便不可能只有唯一解。

用互動元件比較三種情況

以下分類器的價值，在於它把閱讀步驟拆清楚：先看矛盾行，再找主元，然後數剩 下多少自由變量。

邊讀邊試

讀出解集的形狀

互動分類器會比較三個代表性的化簡矩陣，並解釋它們各自代表甚麼。

1002
010-1
0013

為甚麼成立

每個變量都是主元變量，因此方程組有唯一解。

常見錯誤

常見錯誤

自由變量不是『還未算完』

自由變量是系統本身的真實結構，不是計算尚未完成。它表示解集需要用參數表 示；代數工作其實已經完成，只是答案是一族向量，而不是單一點。

常見錯誤

零行不等於矛盾行

[00000]\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

這一行不會新增任何條件，與一致性完全相容；但

[00001]\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

則是一條矛盾行，會令系統不一致。

快速檢查

快速檢查

行 [0001]\left[\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] 告訴你這個系統有甚麼性質？

把這一行直接讀成一條方程。

解答

答案

快速檢查

若一個四變量的一致系統有三個主元欄，它有多少個自由變量？

數一數哪一個變量欄不是主元欄。

解答

答案

練習

快速檢查

判斷 RREF [102401−3−10000]\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] 的解集類型，並把解集完整寫出來。

先找自由變量，再求主變量。

解答

引導解答

快速檢查

為甚麼一致線性系統不可能剛好只有兩個解？

請用自由變量定理回答，不要只靠圖像直覺。

解答

引導解答

相關筆記

先讀 2.3 Gaussian elimination 與 RREF 可回顧行化簡的操作流程；再讀 2.2 增廣矩陣與行變換 可重溫增廣矩陣與初等行變換的意義。

先備知識

2.3

2.3 高斯消元與最簡行階梯形

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