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4.1有來源支持

4.1 齊次方程組與零空間

用齊次方程組與零空間去系統描述所有解，而不是只找出某一個解。

筆記系列

MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

語言

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章節 1

方程組

學習把方程讀成完整的解集。

1.1

1.1 方程與解集

章節 2

矩陣與消元

建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。

2.1

2.1 矩陣基礎

2.2

2.2 增廣矩陣與行變換

2.3

2.3 高斯消元與最簡行階梯形

2.4

2.4 解集的種類

章節 3

矩陣代數

矩陣乘法、轉置與結構化矩陣記號。

3.1

3.1 矩陣乘法與單位矩陣

3.2

3.2 轉置與特殊矩陣

章節 4

解的結構

齊次方程組、零空間與完整解集的結構。

4.1

4.1 齊次方程組與零空間

章節 5

可逆性

理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩陣

章節 6

向量空間

由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。

6.1

6.1 向量空間

6.2

6.2 子空間

6.3

6.3 線性組合與張成

6.4

6.4 線性相依與線性無關

6.5

6.5 基底與維數

6.6

6.6 列空間、行空間與秩

當你已經懂得對方程組做行化簡，下一步就不應只問「這一題怎樣解」，而應問 「全部解究竟有甚麼結構」。齊次方程組是最適合開始問這個問題的地方，而零 空間正是回答這個問題的語言。

為甚麼齊次方程組特別

齊次線性方程組的常數項全部都是 0。用矩陣寫，就是

Ax=0.Ax = 0.

這種情況有一個立刻可見的特點：零向量永遠是它的解。

定義

齊次方程組

齊次線性方程組是形如

Ax=0Ax = 0

的線性方程組。

其中 x=0x = 0 稱為平凡解。

真正的問題在於：除了平凡解之外，是否還有非平凡解。

零空間把所有齊次解收集起來

定義

零空間

若 AA 是矩陣，則 AA 的零空間定義為

N(A)={x:Ax=0}.N(A) = \{x : Ax = 0\}.

因此 N(A) 正正就是齊次方程組 Ax=0Ax = 0 的解集。

這個定義把「一些解」變成一個完整的數學對象。你不再只是在列例子，而是在 描述整個集合。

行化簡會揭示零空間的形狀

要找 N(A)，就是解 Ax=0Ax = 0，也就是對增廣系統 [A∣0][A \mid 0] 做行化簡。 主元告訴你哪些變量被決定，自由變量則告訴你剩下多少自由方向。

例題

解一個齊次方程組並描述零空間

令

A=[12−124−2].A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}.

要求解 Ax=0Ax = 0，把它行化簡：

[12−1024−20]∼[12−100000].\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 0 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right].

所以方程變成

x1+2x2−x3=0.x_1 + 2x_2 - x_3 = 0.

令 x2=sx_2 = s、x3=tx_3 = t 為自由變量，則

x1=−2s+t.x_1 = -2s + t.

因此

x=[−2s+tst]=s[−210]+t[101].x = \begin{bmatrix} -2s + t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

所以

N(A)=Span⁡{[−210],[101]}.N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.

這個例子說明：零空間描述的不只是「有沒有解」，而是全部解如何被建立出來。

齊次解控制非齊次解的結構

同一個想法也可用來描述一致系統 Ax=bAx = b 的全部解。

定理

所有解都等於某個特解加上一個零空間向量

設 xpx_p 是 Ax=bAx = b 的一個特解。

則向量 x 是 Ax=bAx = b 的解，當且僅當

x=xp+vx = x_p + v

其中 v∈N(A)v \in N(A)。

這正是自由變量公式背後的結構定理。

證明

為甚麼全部解都具有 xp+N(A)x_p + N(A) 的形式

一個非齊次例子

例題

把所有解寫成特解加零空間

假設系統 Ax=bAx = b 有一個特解

xp=[301],x_p = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},

並且

N(A)=Span⁡{[1−10]}.N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}.

那麼所有解都可寫成

x=[301]+t[1−10]=[3+t−t1],t∈R.x = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + t \\ -t \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t \in R.

零空間給出自由方向；特解則決定這整個解族位於哪裏。

零空間如何決定唯一性

由這個結構定理可以立刻得到：

  • 若 N(A)={0}N(A) = \{0\}，則一致系統 Ax=bAx = b 只有唯一解；
  • 若 N(A) 含有非零向量，則每個一致系統 Ax=bAx = b 都有無限多解， 因為你可以在特解上加上任意標量倍的零空間向量。

所以零空間正好量度了系統中隱藏的自由度。

常見錯誤

常見錯誤

零向量永遠屬於零空間

有些同學會誤以為齊次方程組可能沒有解。這是不可能的，因為 x=0x = 0 永遠 滿足 Ax=0Ax = 0。

常見錯誤

找到一個特解，不等於已經找到全部解

即使你已經找到某個 xpx_p 滿足 Axp=bAx_p = b，仍然要把整個零空間加上去，才 算完整描述了解集。

快速檢查

快速檢查

為甚麼 Ax=0Ax = 0 一定至少有一個解？

用一句話回答。

解答

答案

快速檢查

若 N(A)={0}N(A) = \{0\} 且 Ax=bAx = b 一致，它有多少個解？

請用本節定理解釋。

解答

答案

練習

快速檢查

若 xpx_p 解 Ax=bAx = b，而 u,v∈N(A)u, v \in N(A)，為甚麼 xp+ux_p + u 與 xp+vx_p + v 都是 Ax=bAx = b 的解？

請用線性性質寫一行。

解答

引導解答

相關筆記

本節建立在 2.3 高斯消元與最簡行階梯形 與 2.4 解集的種類 之上。 它會為 5.1 可逆矩陣 與 6.2 子空間 做準備。

先備知識

2.4

2.4 解集的種類

本單元重點詞彙

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