4.1 齊次方程組與零空間

若 $x$ 與 $x_p$ 都是 $Ax=b$ 的解，則它們的差滿足 $A(x-x_p)=b-b=0$。 因此，描述全部解的問題歸結為：對一個已知解作哪些改變，能夠保持右端不變？ 這些改變恰好組成相應齊次方程組的零空間。

為甚麼齊次方程組特別

定義

齊次方程組

齊次線性方程組是形如

$$Ax = 0$$

的線性方程組。

其中 $x = 0$ 稱為平凡解。

由於 $A0=0$，齊次方程組一定一致。需要判斷的是：除了零向量之外，是否還有非平凡解。

零空間把所有齊次解收集起來

定義

零空間

對實 $m\times n$ 矩陣 $A$，其零空間定義為

$$N(A) = \{x\in\mathbb R^n : Ax = 0_m\}.$$

因此 $N(A)$ 就是齊次方程組 $Ax = 0$ 的解集。

輸入向量屬於 $\mathbb R^n$，輸出向量屬於 $\mathbb R^m$。判斷輸入是否屬於 $N(A)$，就是檢查輸出是否為零向量。

例題

零空間成員測試其實很直接

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad z = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

計算得到

$$Ax = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad Az = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

因此 $x \in N(A)$，但 $z \notin N(A)$。要測試某個向量是否屬於零空間， 最直接的方法就是實際計算 $Ax$。

行化簡會揭示零空間的形狀

要找 $N(A)$，就是解 $Ax = 0$，也就是對增廣系統 $[A \mid 0]$ 做行化簡。 主元告訴你哪些變量被決定，自由變量則告訴你剩下多少自由方向。

例題

解一個齊次方程組並描述零空間

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}.$$

要求解 $Ax = 0$，把它行化簡：

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 0 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right].$$

所以方程變成

$$x_1 + 2x_2 - x_3 = 0.$$

令 $x_2 = s$、$x_3 = t$ 為自由變量，則

$$x_1 = -2s + t.$$

因此

$$x = \begin{bmatrix} -2s + t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

所以

$$N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.$$

這裏 $\operatorname{Span}$ 表示所列向量的全部實線性組合。參數 $s$ 與 $t$ 可以獨立取值，因此公式給出了所有齊次解。相應的集合記號見 4.2 集合語言與解集。

觀看齊次系統如何產生零空間方向，以及一個特解如何平移這些方向，描述 Ax=b 的全部解。

1. 平凡解

   齊次系統永遠一致，因為 x=0 會給出 A0=0。真正問題是是否還有非零解。

2. 零列保持為零

   對 [A|0] 做行化簡時，增廣零列仍然是零，因此係數矩陣的 RREF 決定齊次解結構。

3. 自由變量成為方向

   主元變量由自由變量決定。每次只設定一個自由變量，便得到一個零空間方向向量。

4. 零空間

   N(A)={x:Ax=0} 不是一些例子的清單，而是整個齊次解集，通常寫成方向向量的所有線性組合。

5. 由一個特解平移

   若 p 解 Ax=b，則每個 p+q（其中 q 屬於 N(A)）也解 Ax=b，而且所有解都如此得到。

6. 自由度與唯一性

   若 N(A)={0}，一致系統只有一個解。若 N(A) 有非零方向，加入其倍數便得到無限多解。

齊次系統 Ax=0 告訴你方程留下哪些自由方向。若 Ax=b 一致，一個特解會把這些方向放到正確右端的位置，因此完整解集是 p+N(A)。

為甚麼自由變量會產生無限多個齊次解

定理

只要有自由變量，就有無限多解

如果齊次系統 $Ax = 0$ 至少有一個自由變量，那麼它就會有無限多個解。

自由變量可以取任意實數。因為它本身就是解向量的一個座標，改變其數值必然改變整個向量。以實際自由座標作為參數時，參數不可能從完整的解向量中消失。

如果變量數目多於主元方程數目，就至少有一個自由變量。同一論證說明，此時齊次方程組有無限多個解。

例題

一個自由變量已經會產生整條解線

假設行化簡後得到

$$x_1 - 3x_2 = 0.$$

如果令 $x_2 = t$，則 $x_1 = 3t$，所以所有解都可以寫成

$$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t \in R.$$

由於 $t$ 可以取無限多個值，而不同的值給出不同的向量，所以解集有無限多個元素。

例題

零空間也可能只剩平凡解

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

則 $Ax = 0$ 就只是

$$x_1 = 0, \qquad x_2 = 0.$$

因此唯一解是零向量，所以

$$N(A) = \{0\}$$

這個例子與前面有自由變量的情形相反。

零空間本身是一個子空間

兩個齊次解相加，或把齊次解乘以一個實純量，仍然得到齊次解。連同零向量的存在，這些正是定義 $\mathbb R^n$ 的子空間所需的封閉性質。

定理

零空間對線性組合封閉

對任何矩陣 $A$，$N(A)$ 都是一個子空間。特別是：

• $0 \in N(A)$；
• 若 $u, v \in N(A)$，則 $u + v \in N(A)$；
• 若 $u \in N(A)$ 而 $c$ 是純量，則 $cu \in N(A)$。

證明

為甚麼零空間是子空間

已知 $0 \in N(A)$，因為 $A0 = 0$。

而若 $u, v \in N(A)$，則 $Au = 0$、$Av = 0$。由線性性質，

$$A(u+v) = Au + Av = 0 + 0 = 0,$$

所以 $u+v \in N(A)$。

同樣，若 $u \in N(A)$ 而 $c$ 是純量，則

$$A(cu) = c(Au) = c \cdot 0 = 0,$$

因此 $cu \in N(A)$。

一般的子空間定義與封閉性判別見 6.2 子空間。這裏的計算已經證明了對零空間向量作線性組合所需的性質。

如何由 RREF 讀出零空間基底

基底是一組線性獨立的張成向量。對 $N(A)$，自由座標的描述直接給出這樣一組向量：它們生成每個解，而只有全零係數才能組合出零向量。一般的定義見 6.5 基底與維數。

具體構造如下：

1. 先將 $A$ 行化簡；
2. 分清楚主元變量與自由變量；
3. 每次將一個自由變量設成 $1$，其餘自由變量設成 $0$；
4. 由方程解回主元變量；
5. 對每個自由變量重複一次。

這些向量確實構成一組基底，而不只是候選。設共有 $k$ 個自由座標，$v_j$ 是把第 $j$ 個自由座標取一、其餘自由座標取零後得到的解。對任意 $x\in N(A)$，記其自由座標為 $t_1,\ldots,t_k$。由封閉性，$t_1v_1+\cdots+t_kv_k$ 仍是齊次解，其自由座標與 $x$ 完全相同，而化簡後的主元方程唯一確定其餘座標。因此這個組合等於 $x$，證明了張成。

再證明獨立性：若 $c_1v_1+\cdots+c_kv_k=0$，則其第 $j$ 個自由座標恰好為 $c_j$，因為只有 $v_j$ 在該位置取一。因此所有 $c_j=0$，無需再次消元便證得線性獨立。這些向量於是構成基底，其數目就是零度。若沒有自由變量，零空間是 $\{0\}$，其基底為空列表，而不是含有零向量的列表；這與零度為零相符。

零度等於自由座標的數目

剛才構造的基底對每個自由座標恰有一個向量。基底的向量數就是 $N(A)$ 的維數，稱為 $A$ 的零度。若一個 $m\times n$ 矩陣的 RREF 有 $r$ 個主元，就有 $n-r$ 個自由變量，因此

$$\operatorname{nullity}(A)=n-r.$$

主元數 $r$ 稱為秩；這個數不依賴所選的化簡過程，其理由見 5.2 RREF 的唯一性與秩。用秩表示，上式就是

$$\operatorname{nullity}(A)=n-\operatorname{rank}(A).$$

齊次解控制非齊次解的結構

一旦找到 $Ax=b$ 的一個特解 $x_p$，齊次解就給出了保持右端不變的全部改變量。

定理

所有解都等於某個特解加上一個零空間向量

設 $x_p$ 是 $Ax = b$ 的一個特解。

則向量 $x$ 是 $Ax = b$ 的解，當且僅當

$$x = x_p + v$$

其中 $v \in N(A)$。

若把解集記為 $S(A,b)$，定理即為 $S(A,b)=x_p+N(A)$。

證明

為甚麼全部解都具有 $x_p + N(A)$ 的形式

先設 $x$ 是 $Ax = b$ 的任意一個解。那麼

$$Ax = b \qquad \text{且} \qquad Ax_p = b.$$

相減得

$$A(x - x_p) = 0.$$

所以 $x - x_p \in N(A)$，即 $x = x_p + v$，其中 $v \in N(A)$。

反過來，若 $v \in N(A)$，則 $Av = 0$。因此

$$A(x_p + v) = Ax_p + Av = b + 0 = b.$$

所以任何形如 $x_p + v$ 的向量，也必定是系統的解。

概念視角幾何

把整個零空間作同一個平移

固定一個特解 $x_p$ 後，$x_p+N(A)$ 表示所有 $x_p+v$ 組成的集合，其中 $v\in N(A)$。加上 $x_p$ 就是讓零空間的每個點作同一個位移。這建立了齊次解與非齊次解之間的一一對應，逆過程是減去 $x_p$。前面的證明分別說明了平移後的每個點都有效，以及每個解都能這樣得到。

特解本身一般不唯一，但平移所得的集合與特解選擇無關。若 $x_q$ 是另一個解，則 $h=x_q-x_p\in N(A)$。對每個 $v\in N(A)$，有 $x_q+v=x_p+(h+v)$，而封閉性保證 $h+v\in N(A)$。因此 $x_q+N(A)\subseteq x_p+N(A)$；把 $h$ 換成 $-h$ 可得反向包含。沿解集選擇不同起點，描述的仍是同一個解族。

一致性不可省略：沒有特解，就無法開始這個描述。當 $b\ne0$ 時，一致方程組的解集不含零向量，因為 $A0=0\ne b$。它是子空間的平移，稱為仿射子空間，卻不是向量子空間；兩個解相加後對應的右端是 $2b$，而非 $b$。只有在齊次情況 $b=0$，解集才就是零空間本身。

例題

用一個特解與兩個零空間方向描述全部解

假設系統 $Ax=b$ 有一個已知解

$$p= \begin{bmatrix} 1\\0\\-1\\0\\1\\0 \end{bmatrix},$$

而齊次系統 $Ax=0$ 有以下兩個解方向：

$$q_1= \begin{bmatrix} 2\\-3\\1\\0\\0\\0 \end{bmatrix}, \qquad q_2= \begin{bmatrix} -3\\1\\0\\-2\\2\\1 \end{bmatrix}.$$

若這兩個方向張成 $N(A)$，那麼 $Ax=b$ 的所有解都可寫成

$$x=p+s q_1+t q_2, \qquad s,t\in R.$$

展開來看，就是

$$x= \begin{bmatrix} 1\\0\\-1\\0\\1\\0 \end{bmatrix} +s \begin{bmatrix} 2\\-3\\1\\0\\0\\0 \end{bmatrix} +t \begin{bmatrix} -3\\1\\0\\-2\\2\\1 \end{bmatrix}.$$

這裏 $Ap=b$，而 $Aq_1=Aq_2=0$。向量 $p$ 給出所需的輸出，方向 $q_1$ 與 $q_2$ 則容許輸入改變而保持輸出不變。它們張成整個零空間這一條件，保證了公式能夠給出每個解。

一維零空間對應的仿射直線

例題

把所有解寫成特解加零空間

假設系統 $Ax = b$ 有一個特解

$$x_p = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},$$

並且

$$N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}.$$

那麼所有解都可寫成

$$x = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + t \\ -t \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t \in R.$$

零空間給出自由方向；特解則決定這整個解族位於哪裏。

縮放一個解通常會改變右端。若要求解另一個方程組，可以直接核對縮放的效果：若 $Ap=b$，則

$$2A\left({3\over 2}p\right)=3Ap=3b.$$

所以 ${3\over 2}p$ 是 $2Ax=3b$ 的一個解。這並不是說任何解集都可以任意 縮放；這裡可行，是因為係數矩陣與右邊同時被縮放，而且計算直接驗證了結論。

齊次解與欄向量相依性的關係

如果將 $A$ 的欄寫成 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，則

$$Ax = 0$$

其實就等價於

$$x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n = 0.$$

所以只要齊次系統有一個非平凡解，就等同於 $A$ 的欄向量之間存在一條非平凡 線性關係。

例題

非平凡零空間向量給出相依關係

假設

$$x = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \in N(A).$$

則 $Ax = 0$ 就表示

$$1 \cdot a_1 - 2 \cdot a_2 + 1 \cdot a_3 = 0.$$

這正是 $A$ 的欄向量之間一條非平凡相依關係。

零空間如何決定唯一性

由這個結構定理可以立刻得到：

• 若 $N(A) = \{0\}$，則一致系統 $Ax = b$ 只有唯一解；
• 若 $N(A)$ 含有非零向量，則每個一致系統 $Ax = b$ 都有無限多解， 因為你可以在特解上加上任意標量倍的零空間向量。

一致性假設不可省略：零空間只有零向量，保證的是每個右端至多有一個解，並不能單獨保證解存在。

左乘矩陣可能丟失方程資料

行變換保留齊次解集，是因為每一步都可逆；一般的矩陣乘子卻未必可逆。準確的結論必須明確寫出集合包含的方向。

定理

左乘矩陣時零空間的包含關係

設 $A$ 是實 $m\times n$ 矩陣，$G$ 是實 $p\times m$ 矩陣，則

$$N(A)\subseteq N(GA).$$

如果 $G$ 是可逆方陣，則 $N(A)=N(GA)$。

證明

逆矩陣在哪個方向發揮作用？

任取 $x\in N(A)$，則 $Ax=0_m$，所以 $(GA)x=G(Ax)=G0_m=0_p$。因此 $x\in N(GA)$，證明了任意相容乘子下的包含關係。注意，即使兩矩陣行數不同，兩個零空間中的向量仍都屬於 $\mathbb R^n$。

反向包含則假設 $G$ 是可逆方陣，因此 $p=m$，並取 $x\in N(GA)$。由 $GAx=0_p$ 左乘 $G^{-1}$，得 $Ax=G^{-1}0_p=0_m$，所以 $x\in N(A)$。只有這個方向使用了逆矩陣；結合兩個包含關係，才得到集合相等。

$GA$ 的每一行都是 $A$ 各行的線性組合，因此新方程都是舊方程的推論，每個舊解必然滿足新方程。若組合過程丟失了資料，就可能產生額外的解。這解釋了為甚麼不能隨意用一般行組合代替初等行變換，而不檢查保留了哪些約束。

例題

丟失一個約束的矩陣乘子

取

$$A=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},\qquad G=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}.$$

則 $GA=[1\ 0]$。原方程 $Ax=0$ 同時要求 $x_1=0$ 與 $x_2=0$；新方程只要求 $x_1=0$。所以

$$N(A)=\{0_2\},\qquad N(GA)=\left\{\begin{bmatrix}0\\t\end{bmatrix}:t\in\mathbb R\right\}.$$

向量 $(0,1)^T$ 屬於第二個集合而不屬於第一個，因此包含嚴格。這裏直接核對了丟失的條件，而不是只比較方程條數。可逆性保證相等，卻不是對每個特定 $A$ 都必要的條件：若 $A$ 是零矩陣，即使乘子不可逆，兩個零空間仍都等於 $\mathbb R^n$。不能自動把定理倒轉。

堆疊方程對應零空間的交集

另一種組合方程組的方法，是把全部方程一起保留。堆疊與只取某些行組合不同，它不會捨棄其中任何條件。

定理

堆疊矩陣的零空間

設實矩陣 $A$ 的大小為 $m\times n$，$B$ 的大小為 $p\times n$。令

$$C=\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix},$$

則 $N(C)=N(A)\cap N(B)$。交集表示同時屬於兩個集合；行數可以不同，欄數卻必須相同。

證明

雙向證明堆疊矩陣恆等式

先取 $x\in N(C)$。由分塊乘法，

$$0_{m+p}=Cx=\begin{bmatrix}Ax\\Bx\end{bmatrix}.$$

比較上方的 $m$ 個元素與下方的 $p$ 個元素，分別得到 $Ax=0_m$ 與 $Bx=0_p$。因此 $x$ 屬於兩個零空間，也就屬於它們的交集。

反過來，取 $x\in N(A)\cap N(B)$。集合成員條件同時給出 $Ax=0_m$ 與 $Bx=0_p$。把兩個輸出堆疊，得到

$$Cx=\begin{bmatrix}0_m\\0_p\end{bmatrix}=0_{m+p},$$

故 $x\in N(C)$。兩個方向的成員關係都已核對，集合相等於是成立。

例如，堆疊 $A=[1\ 0\ 0]$ 與 $B=[0\ 1\ 0]$，就是同時施加 $x_1=0$ 與 $x_2=0$，留下的恰好是 $(0,0,t)^T$。各自的零空間都較大，但交集只保留共同向量。重複堆疊同樣可以表示有限多個齊次解集的交集。下一節會用此恆等式區分保留每條方程，與只保留方程的某個線性組合。

常見錯誤

常見錯誤

零向量永遠屬於零空間

有些同學會誤以為齊次方程組可能沒有解。這是不可能的，因為 $x = 0$ 永遠 滿足 $Ax = 0$。

常見錯誤

找到一個特解，不等於已經找到全部解

即使你已經找到某個 $x_p$ 滿足 $Ax_p = b$，仍然要把整個零空間加上去，才 算完整描述了解集。

常見錯誤

不要把特解與方向混淆

若 $u$ 與 $v$ 都解 $Ax=b$，則 $v-u$ 解的是 $Ax=0$。向量 $v-u$ 是零空間中的方向，不是一個新的右邊。

快速檢查

思考檢查

為甚麼 $Ax = 0$ 一定至少有一個解？

用一句話回答。

解答 · 答案

因為零向量總會滿足 $A0 = 0$。

思考檢查

若 $N(A) = \{0\}$ 且 $Ax = b$ 一致，它有多少個解？

請用本節定理解釋。

解答 · 答案

只有一個，因為沒有任何非零零空間向量可以再加到特解上。

思考檢查

如果 $Ax = 0$ 有自由變量，解集有可能只得兩個向量嗎？

請由參數形式回答。

解答 · 答案

不可能。自由變量可以取無限多個純量值，所以會產生無限多個解向量。

思考檢查

假設 $u$ 與 $v$ 都解 $Ax=b$。那麼 $v-u$ 解哪一個齊次系統？

用一行矩陣計算回答。

解答 · 答案

它解 $Ax=0$，因為

$$A(v-u)=Av-Au=b-b=0.$$

練習

思考檢查

若 $x_p$ 解 $Ax = b$，而 $u, v \in N(A)$，為甚麼 $x_p + u$ 與 $x_p + v$ 都是 $Ax = b$ 的解？

請用線性性質寫一行。

解答 · 引導解答

因為 $Au = 0$ 且 $Av = 0$，所以

$$A(x_p + u) = Ax_p + Au = b + 0 = b,$$

同理

$$A(x_p + v) = Ax_p + Av = b + 0 = b.$$

因此，只要在特解上加任何零空間向量，仍然留在同一個解集之中。

相關筆記

本節建立在 2.3 高斯消元與最簡行階梯形 與 2.4 解集的種類 之上。 它會為 5.1 可逆矩陣 與 6.2 子空間 做準備。