2.1 矩陣基礎

在方程 $2x_1-x_3=5$ 中，按 $(x_1,x_2,x_3)$ 的次序記錄係數，得到 $2,0,-1$。若省略零，就無法保留第二、第三個未知數的位置區別。把各條方程的係數逐行對齊，便能保留這些資訊：每行對應一條方程，每欄對應一個固定的未知數。

甚麼是矩陣

定義

矩陣

矩陣是按行和欄排成的長方形數字表。

若一個矩陣有 $m$ 行、$n$ 欄，就稱它是 $m \times n$ 矩陣。本課中的元素通常 是實數，但定義本身並不限於實數。

矩陣寫成長方形，不是排版習慣而已。每一行、每一欄都帶着位置資訊；後面定 義矩陣相等、矩陣加法與矩陣乘法時，這些位置都不能隨便打亂。

因此，矩陣不應被看成一堆散亂數字。放在第 $1$ 行第 $3$ 欄的數字，和同一 個數字放在第 $3$ 行第 $1$ 欄，可以扮演完全不同的角色。舉例說，在係數矩 陣中，欄的位置連到已經選定的變量次序。若變量次序是 $(x_1, x_2, x_3)$， 第二欄記錄的就是 $x_2$ 的係數；若改用 $(x_2, x_1, x_3)$ 作次序，顯示出 來的矩陣亦必須相應改變。

常見錯誤

不要把係數和位置分開

單看數字 $5$，並不能知道它乘在哪個變量上。在係數矩陣中，是欄位置提供了 這個資訊。除非同時改變變量次序，否則移動一整欄就會改變原本編碼的方程 組。

看行欄位置如何運作

在圖中選定一個元素，辨認它所在的行、欄和兩個下標。數值與位置是兩種不同的資訊。

用一段短圖解看清矩陣大小、元素記號、矩陣相等和係數列背後的行列位置。

1. 先讀大小

   一個 2 x 3 矩陣有兩行三列。這個大小會先決定哪些比較和運算有定義。

2. 用行和列定位元素

   記號 a_23 表示第 2 行第 3 列。在例子矩陣中，這個位置的元素是 4。

3. 逐項檢查矩陣相等

   兩個矩陣要相等，必須大小相同，而且每個對應位置的元素都相同。

4. 一個位置不同已足夠

   只改一個元素，整個矩陣已經改變，因為矩陣同時記錄數值和位置。

5. 保留變量次序

   在係數矩陣中，第 2 列的意思要等變量次序固定後才清楚。

在做行化簡或矩陣乘法之前，先把矩陣讀成有位置的對象：先看大小，再看每個元素的行列位置，最後才判斷另一個矩陣是否有同樣位置資料。

先看大小，再看元素

矩陣的大小寫作 $m \times n$。

• $m$ 是行數。
• $n$ 是欄數。

如果 $m = n$，這個矩陣就是方陣。

不同大小的矩陣，不只是「看起來不同」，而是根本屬於不同類型的對象。例 如 $2 \times 3$ 與 $3 \times 2$ 矩陣連逐項比較都做不到，因為位置對不上。

逐個元素去讀

若 $A$ 是一個矩陣，$a_{ij}$ 表示第 $i$ 行第 $j$ 欄的元素。這種記號 很重要，因為之後你可以精確指出一個數在矩陣中的位置。

例題

仔細讀一個矩陣

設

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end{bmatrix}.$$

這個矩陣有 2 行 3 欄，所以大小是 $2 \times 3$。 第 2 行第 3 欄的元素是 $4$。

記號 $a_{ij}$ 不是繁瑣標記，而是往後處理矩陣相等、加法、數乘與乘法時的 正式語言。

矩陣相等要逐項檢查

兩個矩陣要相等，必須大小一致，而且所有對應位置的元素完全一樣。

定義

矩陣相等

設 $A = [a_{ij}]$ 與 $B = [b_{ij}]$ 為兩個矩陣。

則 $A = B$ 當且僅當：

1. $A$ 與 $B$ 的大小相同；
2. 對每一個行欄位置 $(i,j)$，都有 $a_{ij} = b_{ij}$。

所以證明兩個矩陣相等，往往就是逐項比較。

例題

由矩陣相等求未知數

若

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix},$$

那麼三個位置已經對上，剩下的位置也必須對上，因此 $x = 5$。

有序的欄完整決定一個矩陣

矩陣相等的定義有一個實用推論：知道所有欄以及各欄的位置，就能重建整個矩陣。檢查時不必一次處理整張表，但不能遺漏某欄，也不能改變欄的次序。

定理

由座標重建矩陣與判斷相等

給定按次序排列的列向量 $c_1,\ldots,c_n\in\mathbb R^m$，恰好存在一個以它們為各欄的 $m\times n$ 矩陣。其元素 $a_{ij}$ 就是 $c_j$ 的第 $i$ 個分量。因此，兩個同為 $m\times n$ 的矩陣相等，當且僅當對應的列向量全部相等。按次序排列的行也有同樣的結論。

證明

由元素定義分別證明存在與唯一

先證明存在：把給定的第 $j$ 個向量的第 $i$ 個分量放到位置 $(i,j)$。每個所需位置都恰好得到一個實數，所形成的每一欄也就按照指定次序擁有指定的分量。

再證明唯一：若另一個矩陣 $B$ 有完全相同的有序欄，那麼對每個欄指標 $j$ 與每個行指標 $i$，$b_{ij}$ 都必須等於 $c_j$ 的第 $i$ 個分量，也就是 $a_{ij}$。兩矩陣大小相同、所有對應元素相等，所以按定義相等。反過來，矩陣相等意味着每欄的對應元素都相等，因此對應列向量相等。把同一論證按行來組織，便得到行版本。

這個證明明確分成存在與至多一個兩個部分。「有序」也不能省去：列向量組成的集合會忘記哪欄在前，還會忽略重複元素，但重建矩陣時兩種資料都必須保留。同樣，含相同數字的行向量與列向量具有不同大小，不能只因為數字相同就把它們視為同一個矩陣。

例題

由欄重建矩陣，再核對另一種描述

設 $A$ 的第一、二、三欄依次為

$$c_1=\begin{bmatrix}2\\-1\end{bmatrix},\qquad c_2=\begin{bmatrix}0\\4\end{bmatrix},\qquad c_3=\begin{bmatrix}-3\\5\end{bmatrix}.$$

共有三欄，每欄有兩個分量，因此

$$A=\begin{bmatrix}2&0&-3\\-1&4&5\end{bmatrix}.$$

第一行是 $[2\ 0\ {-3}]$，而 $a_{23}=5$。另一份描述說，兩行分別是 $[2\ 0\ {-3}]$ 與 $[-1\ 4\ 5]$；逐個位置核對可知，兩種描述指定同一個矩陣。若第二行改成 $[-1\ 5\ 4]$，就會在兩個位置產生衝突，不存在同時滿足兩份描述的矩陣。僅僅含有相同的一批數字，不能消除這種衝突。

若交換 $c_1,c_2$，新矩陣的第一個元素由二變成零，所以得到的是另一個矩陣。雖然可用的欄沒有改變，它們的位置已經改變。這和用欄記錄不同未知數的係數時所遇到的位置問題完全相同。

先有加法與數乘

矩陣乘法出場之前，已有兩個基本運算。

定義

矩陣加法與數乘

設 $A = [a_{ij}]$ 與 $B = [b_{ij}]$ 為同樣大小的矩陣，$c$ 為純量。

• $A + B$ 由對應位置相加得到，即 $(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$；
• $cA$ 由每個元素都乘上 $c$ 得到，即 $(cA)_{ij} = c a_{ij}$。

其中「同樣大小」是關鍵條件。若大小不同，矩陣加法根本未定義。

例題

計算一個矩陣和與一個數乘

令

$$A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ -5 & 2 \end{bmatrix}.$$

則

$$A + B = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ -5 & 5 \end{bmatrix}, \qquad 2A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}.$$

每個元素都逐項處理，但矩陣的大小仍然保持 $2 \times 2$。

所有元素都是 $0$ 的矩陣叫做零矩陣。對固定大小來說，它是加法單位元：

$$A + O = A.$$

哪些運算可以消去？

逐項定義讓我們在引入矩陣乘法之前，就能證明一些熟悉的代數步驟。只要所有表達式具有所需大小，矩陣等式便能在每個位置用實數運算處理。消去律是由定義推出的結論，並不表示所有矩陣運算都能模仿實數乘法。

定理

逐項運算的消去律

設 $A,B,C$ 是同樣大小的實矩陣。若 $A+C=B+C$，則 $A=B$。對固定的非零實數 $\lambda$，若 $\lambda A=\lambda B$，則 $A=B$。第二個結論中的非零假設不可省略。

證明

在任意一個位置證明，再使用矩陣相等定義

由 $A+C=B+C$，矩陣相等定義給出每個位置的等式 $a_{ij}+c_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$。消去實數 $c_{ij}$，得到 $a_{ij}=b_{ij}$。指標任意，所以矩陣相等。類似地，$\lambda A=\lambda B$ 給出 $\lambda a_{ij}=\lambda b_{ij}$；除以非零實數 $\lambda$，每個位置便都相等。如果 $\lambda=0$，無論 $A,B$ 是甚麼，兩個數乘結果都是零矩陣，因此結果相等已不能推出原矩陣相等。

證明也說明了如何解基本矩陣方程。在 $2X+B=C$ 中，解必須滿足 $x_{ij}=(c_{ij}-b_{ij})/2$；反過來，按此式填寫元素，代入就會在每個位置恢復 $C$ 的元素。因此，公式既構造出一個解，也說明不可能有另一個解。開始計算前必須檢查大小，不能用減法來補救維數不相容的問題。

具體取

$$B=\begin{bmatrix}1&-2\\3&0\end{bmatrix},\qquad C=\begin{bmatrix}5&4\\-1&6\end{bmatrix}.$$

則 $X=\begin{bmatrix}2&3\\-2&3\end{bmatrix}$。把各元素乘二，再加上 $B$ 的對應元素，就會得到 $C$。若 $X$ 的係數改成零，方程只剩 $B=C$：這個等式成立時，每個同樣大小的矩陣都是解；不成立時則沒有解。這就是矩陣版本的零係數方程判斷，而不是進行非法除法。

矩陣把方程組整理成一個敘述

矩陣在課程中之所以這麼早出現，正是因為它可以把線性方程組打包成較容易系 統處理的形式。

考慮方程組

$$\begin{aligned} x_1 + 2x_2 - x_3 &= 4, \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 &= 7. \end{aligned}$$

它的係數矩陣是

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix},$$

未知向量是

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

常數向量是

$$b = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \end{bmatrix}.$$

把整個方程組簡記為

$$Ax = b.$$

這裏 $Ax=b$ 代表上面的兩條方程，第 $i$ 條就是 $a_{i1}x_1+a_{i2}x_2+a_{i3}x_3=b_i$。 3.2 矩陣乘法、單位矩陣與線性方程組將用矩陣乘法正式解釋這個記號。

缺少的變量仍須保留一欄

例題

從文字讀出係數矩陣

題目：按變量次序 $(x_1,x_2,x_3)$，寫出下列方程組的係數矩陣與常數向量：

$$\begin{aligned} 2x_1 - x_3 &= 5,\\ -x_1 + 4x_2 + 3x_3 &= -2. \end{aligned}$$

第一條方程沒有寫出 $x_2$ 項，所以先把缺失的係數補出來：

$$2x_1 + 0x_2 - x_3 = 5.$$

現在，每一條方程變成一行，欄的順序則跟固定變量次序 $(x_1,x_2,x_3)$ 一致。因此

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -1 & 4 & 3 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}.$$

最常見的錯誤是省略第一行中的 $0$。但缺失的 $x_2$ 係數本來就是數據的一 部分，第二欄仍然必須存在。

矩陣乘法中的位置

3.2 的矩陣乘法把左矩陣的一行與右矩陣的一欄配對，計算輸出矩陣中的一個元素。下圖展示這種位置配對；緊接本節的 增廣矩陣與行變換則利用固定位置記錄方程組的變換。

常見錯誤

常見錯誤

不要把行和欄調亂

第一個下標是行號，不是欄號。$a_{23}$ 代表第 2 行第 3 欄。

常見錯誤

大小不同就不能相加

矩陣加法是逐項相加；若位置對不上，就沒有運算可做。

快速檢查

思考檢查

$2 \times 3$ 矩陣可以和 $3 \times 2$ 矩陣相加嗎？

請按定義回答，不要只憑外觀判斷。

解答 · 答案

不可以。矩陣加法只對大小相同的矩陣有定義。

思考檢查

若 $A$ 是 $4 \times 2$ 矩陣，$a_{31}$ 代表甚麼？

指出行與欄的位置。

解答 · 答案

它表示 $A$ 的第 3 行第 1 欄元素。

練習

思考檢查

把方程組 $x_1 - x_2 = 3$、$2x_1 + x_2 = 0$ 寫成係數矩陣與常數向量。

先固定未知數順序 $(x_1, x_2)$。

解答 · 引導解答

按照未知數順序 $(x_1, x_2)$，係數矩陣是

$$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix},$$

常數向量是

$$\begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

練習：計算前先核對局部資料

一個 $2\times3$ 矩陣的第一行是 $[1\ 2\ 3]$，第二欄是 $\begin{bmatrix}2\\5\end{bmatrix}$。描述所有這樣的矩陣。若把第二欄改成 $\begin{bmatrix}4\\5\end{bmatrix}$，答案會怎樣改變？說明哪一種情況是元素未定，哪一種情況是資料互相矛盾。

解答 · 解答：共同指定的位置必須一致

兩份描述都指定了位置 $(1,2)$。第一種情況下，兩者都要求該位置為二，因此相容。第二欄固定第二行的中間元素，只留下該行的首尾元素未定。所以全部合要求的矩陣恰好是

$$\begin{bmatrix}1&2&3\\s&5&t\end{bmatrix},\qquad s,t\in\mathbb R.$$

任意選擇兩個實數都符合給定的行與欄；反過來，每個滿足資料的矩陣都必須具有這種形式。第二種情況下，同一個位置必須同時填二與四，因而沒有矩陣滿足要求。任意選擇其餘未定元素都不能消除衝突。這區分了可能容許多個矩陣的資料不完整，與完全不容許矩陣存在的資料不相容。

這道題也說明重建命題的適用範圍：按次序給出的全部欄會固定每個元素，恰好給出一個矩陣；局部的行欄描述卻未必如此。計算尚有多少元素可自由選擇之前，要先核對被兩種方式同時限制的位置，否則表面上的自由元素數目可能掩蓋一個根本矛盾。

相關筆記

若想看方程組如何變成矩陣，可先回看 1.1 方程與解集。 矩陣乘法見 3.2 矩陣乘法、單位矩陣與線性方程組。