2.1 矩陣基礎

在課程一開始，矩陣似乎只是把線性方程組整理得更緊湊的方法。但很快你就 會看到，矩陣本身也是需要獨立研究的對象。往後的消元、零空間、可逆性與向 量空間語言，都依賴你先把下面幾件事分清：

• 矩陣到底是甚麼；
• 兩個矩陣甚麼時候才算相等；
• 在矩陣乘法出現之前，哪些基本運算已經定義好；
• 線性方程組如何被記錄成矩陣敘述。

這一節先把這套語言講清楚。

甚麼是矩陣

若一個矩陣有 m 行、n 列，就稱它是 $m \times n$ 矩陣。本課中的元素通常 是實數，但定義本身並不限於實數。

矩陣寫成長方形，不是排版習慣而已。每一行、每一列都帶着位置資訊；後面定 義矩陣相等、矩陣加法與矩陣乘法時，這些位置都不能隨便打亂。

先看大小，再看元素

矩陣的大小寫作 $m × n$。

• m 是行數。
• n 是列數。

如果 $m = n$，這個矩陣就是方陣。

不同大小的矩陣，不只是「看起來不同」，而是根本屬於不同類型的對象。例 如 $2 \times 3$ 與 $3 \times 2$ 矩陣連逐項比較都做不到，因為位置對不上。

逐個元素去讀

若 $A$ 是一個矩陣，$a_{ij}$ 表示第 i 行第 j 列的元素。這種記號 很重要，因為之後你可以精確指出一個數在矩陣中的位置。

記號 $a_{ij}$ 不是繁瑣標記，而是往後處理矩陣相等、加法、數乘與乘法時的 正式語言。

矩陣相等要逐項檢查

兩個矩陣要相等，必須大小一致，而且所有對應位置的元素完全一樣。

所以證明兩個矩陣相等，往往就是逐項比較。

先有加法與數乘

矩陣乘法出場之前，已有兩個基本運算。

其中「同樣大小」是關鍵條件。若大小不同，矩陣加法根本未定義。

所有元素都是 0 的矩陣叫做零矩陣。對固定大小來說，它是加法單位元：

$$A + O = A.$$

矩陣把方程組整理成一個敘述

矩陣在課程中之所以這麼早出現，正是因為它可以把線性方程組打包成較容易系 統處理的形式。

考慮方程組

$$\begin{aligned} x_1 + 2x_2 - x_3 &= 4, \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 &= 7. \end{aligned}$$

它的係數矩陣是

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix},$$

未知向量是

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

常數向量是

$$b = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \end{bmatrix}.$$

於是整個系統就可以寫成

$$Ax = b.$$

這不是單純的縮寫，而是把同一組係數、未知數與常數整理成一個往後可以做行 變換、談零空間與可逆性的數學對象。

先預告一下乘法

下一節才正式講矩陣乘法。這裏先讓你看到，為甚麼「行」與「列」的角色如此 重要：左矩陣的一行，會和右矩陣的一列共同決定輸出中的一個元素。

你可以把下面的圖當成下一節的預告。

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相關筆記

若想看方程組如何變成矩陣，可先回看 1.1 方程與解集。 下一節可讀 3.1 矩陣乘法與單位矩陣。