6.4 线性依赖与线性独立

动机

第 6 章先讨论张成：一组向量能生成哪些向量。下一步要问的是：这组向量是否每个都必要？若其中一个可以由其他向量线性组合得到，它就是冗余向量。

线性依赖/线性独立是描述这种冗余的核心概念，并直接连接：

$Ax=b$ 中自由变量为何出现；
建模时如何发现重复特征；
从张成集走向基与维数时的最小化步骤。

边读边试

测试一组向量是否相依

互动检查会比较几组小向量，并解释是否存在非平凡线性关系。

判断

线性无关

解 c1e1 + c2e2 = 0 时，只会得到 c1 = c2 = 0，所以这一对向量线性无关。

关键关系

看不见任何非平凡线性关系。

定义

线性独立

在向量空间 $V$ 中，若

\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\cdots+\alpha_nu_n=0

只能推出 $\alpha_1=\cdots=\alpha_n=0$ ，则 $(u_1,\ldots,u_n)$ 线性独立。

定义

线性依赖

若存在一组不全为 0 的系数，使

\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\cdots+\alpha_nu_n=0,

则 $(u_1,\ldots,u_n)$ 线性依赖。

定义

平凡关系与非平凡关系

全部系数都为 0 的关系叫平凡关系；只要有一个系数非零，就是非平凡关系。独立意味着只存在平凡关系。

定理 / 命题

定理

依赖等价于某向量可由其余向量表示

对有限向量组 $(u_1,\ldots,u_n)$ （ $n\ge2$ ），以下等价：

该向量组线性依赖；
至少有一个向量可写成其余向量的线性组合。

所以依赖向量组必含可删除而不改变张成空间的向量。

定理

$R^m$ 中的行化简判别准则

设 $u_1,\ldots,u_n\in R^m$ ，令

A=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].

则 $u_1,\ldots,u_n$ 线性独立当且仅当齐次系统 $Ax=0$ 只有零解。等价地， $A$ 化为 RREF 后，每一列都必须是 pivot 列。

观看冗余如何变成关系式

下面短片先用几何图像显示同一件事：第三个向量起初似乎加入信息，但一旦它落入前面向量的张成，就变成可删除的冗余向量。

图解说明

向量何时变成冗余

观看第三个向量如何停止加入新方向，变成非平凡关系，并在齐次系统测试中显示为自由列。

依赖不等于不能张成。它表示至少一个列出的向量是冗余的，因为它可由其他向量重建。

证明思路

证明

冗余判准的证明思路

证明

行化简准则的证明思路

例题

$R^3$ 中的依赖例子

取

u_1=(1,0,1),\quad u_2=(0,1,1),\quad u_3=(1,1,2).

因 $u_3=u_1+u_2$ ，有

u_1+u_2-u_3=0,

这是非平凡关系，所以该向量组依赖。

例题

用 RREF 测试独立性

令

u_1=(1,2,0),\ u_2=(0,1,1),\ u_3=(2,5,1),

则

A=\begin{bmatrix}1&0&2\\2&1&5\\0&1&1\end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}.

第三列不是 pivot 列， $Ax=0$ 有自由变量，因此向量组依赖。

例题

含零向量必依赖

若 $u_2=0$ ，则

0\cdot u_1+1\cdot u_2+0\cdot u_3+\cdots+0\cdot u_n=0

本身就是非平凡关系（ $u_2$ 的系数为 1），故向量组必依赖。

常见错误

把『依赖』误解为『不能张成』

依赖只说明有冗余，不代表不能张成；很多依赖向量组仍可张成同一空间。

矩阵判据与主元判据

把 $u_1,\dots,u_n$ 排成列向量矩阵

A=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].

线性关系

\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_nu_n=0

等价于齐次系统 $A\alpha=0$ 。所以“线性独立”就等价于该系统只有平凡解。

定理

独立性的矩阵等价判据

$u_1,\dots,u_n$ 线性独立，当且仅当 $A=[u_1\ \cdots\ u_n]$ 每一列都有主元（等价地， $A\alpha=0$ 没有自由变量）。

这给出一个完整流程。

把向量排成列向量矩阵 $A=[u_1\ \cdots\ u_n]$ 。
解齐次系统 $A\alpha=0$ 。
如果有自由变量，就给其中一个自由变量选取非零值，并读出一条非平凡关系。
如果每一列都是主元列，则只有平凡解，向量组线性独立。

还有一个立即可用的捷径： $R^m$ 中多于 m 个向量必定线性依赖，因为 $m \times n$ 矩阵在 $n>m$ 时不可能每一列都有主元。

例题

用行化简判断独立

令

u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\ u_2=\begin{bmatrix}2\\4\\3\end{bmatrix},\ u_3=\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}.

设 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ ，化简后每一列都有主元，因此三向量线性独立。

常见错误

认为重排向量会改变依赖性

调换向量顺序不会改变是否存在非平凡关系，所以不影响判定。

检查清单

独立：0 的表示只有零系数。
依赖：至少一个向量可由其余向量生成。
列向量可通过 RREF 的 pivot / 自由变量快速判断。
本节是下一节基与维数的直接前置。

预备练习

快速检查

判断 `(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)` 在 $R^3$ 是否线性独立。

可用冗余判准或 RREF。

快速检查

$R^2$ 中 $S=\{(1,1),(2,2)\}$ 是否独立？

先尝试将一个向量写成另一个的数倍。

快速检查

若 $\{u_1,u_2,u_3\}$ 已独立， $\{u_1,u_2,u_3,u_1+u_2\}$ 还会独立吗？

把问题改写成线性关系式。

预备练习解答

解答

练习 1

解答

练习 2

解答

练习 3

快速检查

若 $R^3$ 里有 5 个向量，能否线性独立？

用主元个数上限判断。

解答

答案

练习

快速检查

判断 `{(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)}` 是否线性独立。

把三个向量排成矩阵列，再做行化简。

解答

引导解答

快速检查

把 `{(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}` 的依赖关系写出来。

先找明显的倍数关系。

解答

引导解答

依赖就是冗余

定理

等价的冗余判据

一组向量线性依赖，当且仅当其中一个向量可以写成其余向量的线性组合。

证明

为什么依赖与冗余是一回事

例题

删去冗余向量，不会改变张成

令

u_1 = \begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix},\qquad u_2 = \begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix},\qquad u_3 = \begin{bmatrix}1\\3\\2\end{bmatrix}.

这里 $u_3 = u_1 + u_2$ 。因此任何

a u_1 + b u_2 + c u_3

都可改写成

(a+c)u_1 + (b+c)u_2.

所以

\operatorname{Span}\{u_1,u_2,u_3\} = \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.

第三个向量改变了描述方式，但没有改变张成本身。

定理

冗余向量可以删去，而不改变张成

若一组向量之中有一个向量是其余向量的线性组合，删去它之后，张成不会改变。

证明

为什么张成保持不变

常见错误

依赖不代表张成变小

一组依赖向量仍然可以张成整个空间。依赖只表示至少有一个向量其实不需要。

列矩阵判据与零空间观点

把向量排成矩阵

A = [u_1\ u_2\ \cdots\ u_n].

则关系式

\alpha_1u_1+\cdots+\alpha_nu_n=0

正正就是齐次系统 $A\alpha=0$ ，其中 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^T$ 。

定理

矩阵判据

$u_1,\dots,u_n$ 线性独立，当且仅当齐次系统 $A\alpha=0$ 只有平凡解。等价地，N(A) 只包含 0。

证明

为什么齐次系统决定依赖性

例题

从行化简读出一条关系式

考虑

A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix},

其三列分别是 $u_1=(1,2,1)^T$ 、 $u_2=(0,1,1)^T$ 、 $u_3=(1,3,2)^T$ 。行化简得

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 3\\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1,\ R_3-R_1} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \xrightarrow{R_3-R_2} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

第三列不是主元列，所以 $\alpha_3$ 是自由变量。取 $\alpha_3=1$ ，便有 $\alpha_1=-1$ 、 $\alpha_2=-1$ ，因此

-u_1-u_2+u_3=0,

也就是 $u_3=u_1+u_2$ 。

定理

主元判据

把 $A$ 行化简之后，若每一列都有主元，则 $u_1,\dots,u_n$ 线性独立。若有一列不是主元列，就会出现自由变量，因此存在非平凡关系式。

常见错误

行化简是为了看齐次系统，不是要改变原来的向量

做依赖性测试时，行化简 $A$ 不是把原本的向量换成另一批想研究的新向量，而是在简化方程 $A\alpha=0$ 。行等价矩阵有相同的齐次解集，所以它们有相同的依赖关系。

低维快速判断

定理

两个非零向量独立，当且仅当它们不是彼此的倍数

对一组 {u,v}，若两个向量都非零，则它们线性独立，当且仅当其中一个不是另一个的倍数。

证明

两个向量为什么只需看倍数关系

例题

$R^2$ 里的两个向量

令

u = \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \qquad v = \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}.

因为 $v=2u$ ，所以这对向量相依。几何上，它们指向同一个方向。

例题

$R^2$ 里三个向量一定相依

若 $u_1,u_2,u_3 \in R^2$ ，则矩阵 $A=[u_1\ u_2\ u_3]$ 是一个 $2\times 3$ 矩阵。行化简后最多只有两个主元，所以一定有一列不是主元列。这就表示 $A\alpha=0$ 有自由变量，因此这三个向量相依。

例题

$R^3$ 里位于同一平面的三个向量

若 $R^3$ 中三个向量都落在平面 $z=0$ ，它们全都属于 $e_1$ 和 $e_2$ 的张成。但那个平面本身只需要两个独立方向来描述，所以第三个向量不可能再提供新的独立方向。这组向量相依。

定理

在 $R^m$ 里，太多向量一定相依

$R^m$ 中任何多于 m 个向量的列表都一定线性相依。

证明

为什么超过 `m` 个向量不可能全部独立

总结

线性依赖可以从定义直接理解，也可以解读为张成列表中的冗余，或列矩阵零空间里的一个非零向量。
行化简是用来简化系数方程 $A\alpha=0$ ，不是把原来向量换成另一组要研究的新向量。
自由变量会给出非平凡依赖关系；每一列都有主元则证明线性独立。
$R^2$ 中的倍数判断，以及 $R^m$ 中超过 m 个向量必依赖，都是同一个主元个数逻辑的低维版本。

快速检查

任何包含零向量的向量列，都一定相依吗？

直接从定义出发。

解答

答案

快速检查

若 $u_3 = u_1 + u_2$ ， $\\{u_1,u_2,u_3\\}$ 还可能独立吗？

把它改写成 $\\alpha_1u_1+\\alpha_2u_2+\\alpha_3u_3=0$ 。

解答

答案

快速检查

若一个 $4\\times 4$ 矩阵有四个主元列，这代表它的列向量有什么性质？

用矩阵判据回答。

解答

答案

引导练习

快速检查

判断 `\\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\}` 是否独立，若不独立，写出一条关系式。

把向量排成列，再做行化简，看看有没有自由变量。

解答

引导解答

快速检查

解释为什么线性独立集合的任何子集也线性独立。

想想若子集自己有关系式，会对整个集合造成什么影响。

解答

引导解答

快速检查

若一组向量里有一个向量是多余的，下一步通常应该做什么？

用本页的冗余观点来想。

解答

引导解答

预备链接

请先阅读 6.3 线性组合与张成与 2.3 高斯消元与 RREF。

6.4 线性依赖与线性独立

MATH1030：线性代数 I

动机

测试一组向量是否相依

定义

线性独立

线性依赖

平凡关系与非平凡关系

定理 / 命题

依赖等价于某向量可由其余向量表示

RmR^mRm 中的行化简判别准则

观看冗余如何变成关系式

证明思路

冗余判准的证明思路

行化简准则的证明思路

例题

R3R^3R3 中的依赖例子

用 RREF 测试独立性

含零向量必依赖

常见错误

把『依赖』误解为『不能张成』

矩阵判据与主元判据

独立性的矩阵等价判据

用行化简判断独立

常见错误

认为重排向量会改变依赖性

检查清单

预备练习

判断 (1,0,0),(0,1,0),(1,1,0) 在 R3R^3R3 是否线性独立。

R2R^2R2 中 S={(1,1),(2,2)}S=\{(1,1),(2,2)\}S={(1,1),(2,2)} 是否独立？

若 {u1,u2,u3}\{u_1,u_2,u_3\}{u1​,u2​,u3​} 已独立，{u1,u2,u3,u1+u2}\{u_1,u_2,u_3,u_1+u_2\}{u1​,u2​,u3​,u1​+u2​} 还会独立吗？

预备练习解答

练习 1

练习 2

练习 3

若 R3R^3R3 里有 5 个向量，能否线性独立？

答案

练习

判断 {(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)} 是否线性独立。

引导解答

把 {(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)} 的依赖关系写出来。

引导解答

依赖就是冗余

等价的冗余判据

为什么依赖与冗余是一回事

删去冗余向量，不会改变张成

冗余向量可以删去，而不改变张成

为什么张成保持不变

依赖不代表张成变小

列矩阵判据与零空间观点

矩阵判据

为什么齐次系统决定依赖性

从行化简读出一条关系式

主元判据

行化简是为了看齐次系统，不是要改变原来的向量

低维快速判断

两个非零向量独立，当且仅当它们不是彼此的倍数

两个向量为什么只需看倍数关系

R2R^2R2 里的两个向量

R2R^2R2 里三个向量一定相依

R3R^3R3 里位于同一平面的三个向量

在 RmR^mRm 里，太多向量一定相依

为什么超过 m 个向量不可能全部独立

总结

快速检查

任何包含零向量的向量列，都一定相依吗？

答案

若 u3=u1+u2u_3 = u_1 + u_2u3​=u1​+u2​，u1,u2,u3\\{u_1,u_2,u_3\\}u1​,u2​,u3​ 还可能独立吗？

答案

若一个 4times44\\times 44times4 矩阵有四个主元列，这代表它的列向量有什么性质？

答案

引导练习

判断 \\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\} 是否独立，若不独立，写出一条关系式。

引导解答

解释为什么线性独立集合的任何子集也线性独立。

引导解答

若一组向量里有一个向量是多余的，下一步通常应该做什么？

引导解答

预备链接

本节掌握 checkpoint

$R^m$ 中的行化简判别准则

$R^3$ 中的依赖例子

判断 `(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)` 在 $R^3$ 是否线性独立。

$R^2$ 中 $S=\{(1,1),(2,2)\}$ 是否独立？

若 $\{u_1,u_2,u_3\}$ 已独立， $\{u_1,u_2,u_3,u_1+u_2\}$ 还会独立吗？

若 $R^3$ 里有 5 个向量，能否线性独立？

判断 `{(1,0,1),(2,1,3),(0,1,1)}` 是否线性独立。

把 `{(1,2,3),(2,4,6),(1,0,1)}` 的依赖关系写出来。

$R^2$ 里的两个向量

$R^2$ 里三个向量一定相依

$R^3$ 里位于同一平面的三个向量

在 $R^m$ 里，太多向量一定相依

为什么超过 `m` 个向量不可能全部独立

若 $u_3 = u_1 + u_2$ ， $\\{u_1,u_2,u_3\\}$ 还可能独立吗？

若一个 $4\\times 4$ 矩阵有四个主元列，这代表它的列向量有什么性质？

判断 `\\{(1,1,0),(0,1,1),(1,2,1)\\}` 是否独立，若不独立，写出一条关系式。