6.5 基底與維數

基底是這一章收束起來的地方。前面的筆記教你怎樣由其他向量拼出一個 向量、怎樣檢查一個集合是否子空間、又怎樣辨認線性相依。這一節把那幾 個想法合在一起，集中回答一個問題：

甚麼時候，我們手上的向量剛好足夠描述整個空間，而且沒有保留任何多餘 方向？

先用直覺理解：方向夠用，但沒有累贅

如果一組向量能張成一個空間，就表示它提供了足夠多的方向，讓你能拼出 那個空間裡的每個向量。

如果它同時線性獨立，就表示這些方向沒有浪費。集合裡沒有任何一個向量 其實早已能由其餘向量組合出來。

所以，基底就是一個「剛剛好」的狀態：

• 向量夠多，可以到達整個空間；
• 但又不會多到出現冗餘方向。

這正是基底有用的原因。選定基底之後，空間裡每個向量都可以用那組基底 向量來描述。

這兩個條件分工很清楚：

• 張成條件說明這組向量「夠大」；
• 獨立條件說明這組向量「不多餘」。

只要忘記其中一個條件，就很容易把不是基底的集合誤判成基底。

先停一停，改變係數，看看同一組生成向量能帶你到哪些位置。

標準基底是最典型的例子

學生最先接觸到的基底，通常是 $R^3$ 的標準基底：

$$e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

這三個向量的重要之處，在於它們各自只負責一個座標方向。

這個例子亦說明了基底座標有多實用：一旦基底固定，係數 a、b、c 就完整地告訴你怎樣重建原來的向量。

為甚麼基底的向量數目這麼重要

講義特別強調一個說來簡單、用起來卻非常重要的事實：

正因如此，維數才是一個定義良好的概念。否則，「基底裡有多少個向量」 這件事會隨你選哪一組基底而改變，維數便無法成為一個穩定量。

維數就是獨立方向的數目

維數量度的是：這個空間究竟有多少個真正獨立的方向。

• $dim(R^m) = m$
• $dim(M_{mn}) = mn$
• $dim(P_n) = n + 1$

零空間是特別情況：

$$dim(\{0\}) = 0.$$

這很合理，因為零空間裡根本沒有任何非零方向。

基底不一定長得像標準基底

基底不必是標準座標向量。只要一組向量能張成該空間，而且保持線性獨 立，它就可以成為同一個空間的另一組基底。

由此可見，維數不是在數「向量有多少個座標」，而是在數「這個空間本身 有多少個獨立方向」。

維數如何變成捷徑

一旦你知道某個空間的維數，很多基底問題就會變得短得多。

若 $dim(V) = m$，那麼：

• $V$ 中任何 m 個線性獨立向量都自動形成基底；
• $V$ 中任何 m 個能張成 $V$ 的向量都自動形成基底；
• 少於 m 個向量不可能張成 $V$；
• 多於 m 個向量不可能全部保持線性獨立。

這就是維數的威力。當向量數目已經和維數吻合時，你往往只需完成一半檢 查，就能推出整個結論。

先用幾個典型例子，重新感受甚麼叫做獨立和冗餘。

做基底題時的實用次序

當你被問到某組向量是否為基底，可以按以下次序思考：

1. 先弄清楚你要張成的是哪個空間；
2. 再數一數你手上有多少個向量；
3. 檢查線性獨立，或者檢查張成；
4. 若數目剛好等於維數，就用維數把另一半結論補完。

例如在 $R^3$ 裡，只要你已證明三個向量線性獨立，就不必再做一輪冗長 的張成計算，它們已經自動是基底。

常見錯誤

另一個常見錯誤，是檢查完張成就停下來。能張成整個空間，並不代表那組 向量已經沒有冗餘。

快速檢查

練習

建議先讀

這一節建立在 6.4 線性相依與線性獨立 和 6.3 線性組合與張成 之上。