6.5 基底與維數

基底是這一章收束起來的地方。前面的筆記教你怎樣由其他向量拼出一個向量、怎樣檢查一個集合是否子空間、又怎樣辨認線性相依。這一節把那幾個想法合在一起，集中回答一個問題：

甚麼時候，我們手上的向量剛好足夠描述整個空間，而且沒有保留任何多餘方向？

先用直覺理解：方向夠用，但沒有累贅

如果一組向量能張成一個空間，就表示它提供了足夠多的方向，讓你能拼出那個空間裡的每個向量。

如果它同時線性獨立，就表示這些方向沒有浪費。集合裡沒有任何一個向量其實早已能由其餘向量組合出來。

所以，基底就是一個「剛剛好」的狀態：

向量夠多，可以到達整個空間；
但又不會多到出現冗餘方向。

這正是基底有用的原因。選定基底之後，空間裡每個向量都可以用那組基底向量來描述。

定義

基底

若一組向量 $\{u_1, u_2, \ldots, u_m\}$ 同時滿足以下兩個條件：

$u_1, u_2, \ldots, u_m$ 線性獨立；
$Span\{u_1, u_2, \ldots, u_m\} = V$ ；

那它就是向量空間 $V$ 的一組基底。

這兩個條件分工很清楚：

張成條件說明這組向量「夠大」；
獨立條件說明這組向量「不多餘」。

只要忘記其中一個條件，就很容易把不是基底的集合誤判成基底。

先停一停，改變係數，看看同一組生成向量能帶你到哪些位置。

邊讀邊試

由張成組合出一個向量

互動探索讓你改變係數，並看著結果向量如何在張成裡移動。

(1, 0)

(0, 1)

結果

αu + βv = (1, 0)

每個輸出向量都是由水平與垂直方向組合而成。

標準基底是最典型的例子

學生最先接觸到的基底，通常是 $R^3$ 的標準基底：

e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

這三個向量的重要之處，在於它們各自只負責一個座標方向。

例題

為甚麼 $R^3$ 的標準基底真的是基底

要證明 $\{e_1, e_2, e_3\}$ 是 $R^3$ 的基底，你必須檢查兩個條件。

先看張成。若

x = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix},

那麼

x = a e_1 + b e_2 + c e_3.

所以 $R^3$ 裡每個向量都可以由 $e_1, e_2, e_3$ 組合出來。

再看線性獨立。若

\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3 = 0,

逐個座標比較，就得到

\alpha_1 = 0,\quad \alpha_2 = 0,\quad \alpha_3 = 0.

因此唯一的線性關係就是平凡關係。

兩個條件都成立，所以 $\{e_1, e_2, e_3\}$ 是 $R^3$ 的基底。

這個例子亦說明了基底座標有多實用：一旦基底固定，係數 a、b、c 就完整地告訴你怎樣重建原來的向量。

為甚麼基底的向量數目這麼重要

這裡特別強調一個說來簡單、用起來卻非常重要的事實：

定理

同一個空間的任何基底都有相同數目

若 $B_1$ 和 $B_2$ 都是同一個向量空間 $V$ 的基底，則 $B_1$ 與 $B_2$ 所含的向量數目相同。

正因如此，維數才是一個定義良好的概念。否則，「基底裡有多少個向量」這件事會隨你選哪一組基底而改變，維數便無法成為一個穩定量。

這個定理背後有一個基本的計數原理。

定理

在已被張成的空間中，太多向量必定相依

若 $\{v_1,\ldots,v_m\}$ 張成向量空間 $V$ ，則 $V$ 中任何多於 m 個向量的集合都必定線性相依。

理由如下。若 $u_1,\ldots,u_n$ 是 $V$ 中的向量，而且 $n > m$ ，由於 $v_1,\ldots,v_m$ 張成 $V$ ，每個 $u_j$ 都可以寫成 $v_1,\ldots,v_m$ 的線性組合。於是線性關係

c_1u_1+\cdots+c_nu_n=0

會化成一個有 m 條方程、n 個未知數的齊次方程組。未知數比方程多，所以存在非平凡解。這個非平凡解正好給出 $u_j$ 之間的非平凡線性關係，因此那些 $u_j$ 線性相依。

這也解釋了為甚麼同一個空間的兩組基底一定有相同大小。若其中一組基底比另一組多向量，那較大的那組就會是在較小基底所張成的空間內的一個線性相依集合，這與基底必須線性獨立矛盾。

維數就是獨立方向的數目

定義

維數

向量空間 $V$ 的維數，記作 dim(V)，就是 $V$ 的任一組基底所含的向量數目。

維數量度的是：這個空間究竟有多少個真正獨立的方向。

$dim(R^m) = m$
$dim(M_{mn}) = mn$
$dim(P_n) = n + 1$
所有實係數多項式所成的空間是無限維，因為任何有限列表都無法張成所有冪次 $1,x,x^2,\ldots$ 。

零空間是特別情況：

dim(\{0\}) = 0.

這很合理，因為零空間裡根本沒有任何非零方向。

基底不一定長得像標準基底

基底不必是標準座標向量。只要一組向量能張成該空間，而且保持線性獨立，它就可以成為同一個空間的另一組基底。

例題

$R^3$ 裡一個平面的基底

令

W = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} : x, y \in R \right\}.

這就是 $R^3$ 中的平面 $z = 0$ 。

考慮

u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad u_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}.

$W$ 中每個向量都可以寫成

\begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = x u_1 + y u_2,

因此 $u_1$ 和 $u_2$ 張成 $W$ 。

它們亦線性獨立，因為

\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 = 0

只可能推出 $\alpha_1 = \alpha_2 = 0$ 。

所以 $\{u_1, u_2\}$ 是 $W$ 的基底，而

dim(W) = 2.

由此可見，維數不是在數「向量有多少個座標」，而是在數「這個空間本身有多少個獨立方向」。

維數如何變成捷徑

一旦你知道某個空間的維數，很多基底問題就會變得短得多。

若 $dim(V) = m$ ，那麼：

$V$ 中任何 m 個線性獨立向量都自動形成基底；
$V$ 中任何 m 個能張成 $V$ 的向量都自動形成基底；
少於 m 個向量不可能張成 $V$ ；
多於 m 個向量不可能全部保持線性獨立。

這就是維數的威力。當向量數目已經和維數吻合時，你往往只需完成一半檢查，就能推出整個結論。

這件事可以整理成一個很有用的三項判準。設 $u_1,\ldots,u_n$ 是子空間 $W$ 中的向量。考慮以下三個陳述：

$dim(W)=n$ ；
$u_1,\ldots,u_n$ 線性獨立；
$Span\{u_1,\ldots,u_n\}=W$ 。

只要其中任意兩項成立，第三項就會自動成立，而 $\{u_1,\ldots,u_n\}$ 就是 $W$ 的一組基底。

這通常是寫解答時最乾淨的方法。你不必每次都從頭證明「線性獨立」和「張成」兩件事；先找出維數，再證明兩者之中較容易的一項，另一項便由定理補上。

例題

在 $R^3$ 中用維數省去第二輪計算

令

u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\2\end{bmatrix},\quad u_2=\begin{bmatrix}2\\3\\4\end{bmatrix},\quad u_3=\begin{bmatrix}3\\8\\7\end{bmatrix}.

我們要證明這三個向量形成 $R^3$ 的一組基底。

先檢查線性獨立。方程

c_1u_1+c_2u_2+c_3u_3=0

的係數矩陣是

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 8\\ 2 & 4 & 7 \end{bmatrix}.

列化簡可得一個每一欄都有 pivot 的階梯形，例如

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

因此齊次方程只有平凡解， $u_1,u_2,u_3$ 線性獨立。

由於 $dim(R^3)=3$ ， $R^3$ 中三個線性獨立向量會自動張成 $R^3$ 。所以這三個向量形成一組基底。重點不是忽略張成條件，而是由維數定理提供張成結論。

先用幾個典型例子，重新感受甚麼叫做獨立和冗餘。

邊讀邊試

測試一組向量是否相依

互動檢查會比較幾組小向量，並解釋是否存在非平凡線性關係。

判斷

線性無關

解 c1e1 + c2e2 = 0 時，只會得到 c1 = c2 = 0，所以這一對向量線性無關。

關鍵關係

看不見任何非平凡線性關係。

做基底題時的實用次序

當你被問到某組向量是否為基底，可以按以下次序思考：

先弄清楚你要張成的是哪個空間；
再數一數你手上有多少個向量；
檢查線性獨立，或者檢查張成；
若數目剛好等於維數，就用維數把另一半結論補完。

例如在 $R^3$ 裡，只要你已證明三個向量線性獨立，就不必再做一輪冗長的張成計算，它們已經自動是基底。

同一個想法亦帶來兩種重要的修補操作。

定理

延伸與刪減的結果

若 $dim(V)=m>0$ ，則：

少於 m 個向量不可能張成 $V$ ；
任何少於 m 個向量的線性獨立集合，都可以延伸成 $V$ 的一組基底；
任何多於 m 個向量的張成集，都可以透過刪去冗餘向量而縮減成一組基底。

這些結果不是彼此無關的技巧。它們都在說同一件事：維數就是一份「剛剛好」列表的精確大小。太短的列表無法覆蓋整個空間；太短但獨立的列表仍可加入更多方向；太長但能張成的列表必然含有多餘向量。

零空間：用 rank-nullity 檢查基底

對齊次方程組來說，維數捷徑會變得特別具體。設 $A$ 是一個 $p \times q$ 矩陣，rank 為 r。則

dim(N(A)) = q-r.

所以 $u_1,\ldots,u_n$ 成為 N(A) 的一組基底，正好等價於以下三項檢查同時通過：

每個向量真的在零空間中，即 $Au_j=0$ ；
候選向量數目正確，即 $n=q-r$ ；
候選向量線性獨立。

這樣便不需要直接證明完整的集合相等 $N(A)=Span\{u_1,\ldots,u_n\}$ 。

例題

檢查一組候選向量是否為零空間基底

令

A= \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\ 1&1&1&-1\\ 3&1&5&-7 \end{bmatrix}, \qquad W=N(A),

並令

u_1=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\\1\end{bmatrix}, \qquad u_2=\begin{bmatrix}5\\-3\\-1\\1\end{bmatrix}.

先檢查成員資格。直接相乘可得 $Au_1=0$ 和 $Au_2=0$ ，所以兩個向量都屬於 $W$ 。

接着計算 $W$ 的維數。 $A$ 的一個 row-reduced form 是

\begin{bmatrix} 1&0&2&-3\\ 0&1&-1&2\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix},

所以 $rank(A)=2$ 。由於 $A$ 有四欄，

dim(N(A))=4-2=2.

最後檢查線性獨立。把候選向量放入一個矩陣：

U=[u_1\ u_2] = \begin{bmatrix} 1&5\\ -1&-3\\ 1&-1\\ 1&1 \end{bmatrix}.

列化簡後每一欄都有 pivot，所以 $u_1,u_2$ 線性獨立。我們已確認成員資格、正確維數，以及線性獨立。因此 $u_1,u_2$ 形成 N(A) 的一組基底。

失敗情況同樣重要：

若某個 $u_j$ 不滿足 $Au_j=0$ ，這組向量不可能是 N(A) 的基底；
若列表長度少於或多於 $q-r$ ，向量數目已經錯了；
若列表長度正確但線性相依，它仍然不是基底。

從生成列表抽出最小張成集

有時輸入不是一組乾淨的候選基底，而是一長串生成向量。這時常見問題是：這些向量張成的空間維數是多少？有沒有辦法從原列表中抽出一組基底？最有效的方法是用主元欄位置。

定理

主元欄給出最小張成集

設

W=\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_q\}\subseteq R^n, \qquad U=[u_1\ u_2\ \cdots\ u_q].

對 $U$ 做行化簡。若化簡後矩陣的主元欄位置是 $d_1,\ldots,d_r$ ，則

\{u_{d_1},\ldots,u_{d_r}\}

是 $W$ 的一組基底，而且 $dim(W)=r$ 。

主元位置由化簡後的矩陣讀出，但基底向量本身要取自原列表。這和列空間的基底規則是同一個原理。

例題

從生成列表抽出基底

令 $W=Span\{u_1,u_2,u_3\}$ ，其中

u_1=\begin{bmatrix}0\\-1\\2\end{bmatrix}, \quad u_2=\begin{bmatrix}1\\-2\\7\end{bmatrix}, \quad u_3=\begin{bmatrix}-2\\3\\-12\end{bmatrix}.

把它們放成 $U$ 的列：

U= \begin{bmatrix} 0&1&-2\\ -1&-2&3\\ 2&7&-12 \end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} 1&0&1\\ 0&1&-2\\ 0&0&0 \end{bmatrix}.

主元欄是第 1 欄和第 2 欄，所以

\{u_1,u_2\}

是 $W$ 的一組基底，並且 $dim(W)=2$ 。非主元欄也給出冗餘關係：

u_3=u_1-2u_2.

同維數的子空間

維數也控制一個子空間何時等於另一個子空間。若 $V$ 和 $W$ 是同一外層空間中的子空間，而且 $V \subseteq W$ ，則

dim(V) \le dim(W).

此外，

dim(V)=dim(W) \quad\text{if and only if}\quad V=W.

包含關係這個假設很重要。單單維數相等，不足以推出兩個子空間相等。例如 $R^2$ 中兩條不同的過原點直線都具有維數 1，但它們通常互不包含。上述定理只在你已知道其中一個子空間包含於另一個子空間時使用。

例題

用維數證明兩個子空間相等

令

V=Span\left\{ \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix} \right\}

並令

W=\left\{ \begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}:x,y\in R \right\}.

$V$ 中每個向量的第三個座標都是零，所以 $V \subseteq W$ 。前面的平面例子亦告訴我們 $dim(W)=2$ 。另一方面， $V$ 的兩個顯示出來的生成向量線性獨立，所以 $dim(V)=2$ 。

因此 $V$ 是 $W$ 的子空間，而且兩者維數同為 2。由可比較子空間的維數定理可得 $V=W$ 。

常見錯誤

維數不是單純在數座標個數

$R^3$ 的子空間可以有 1、2 或 3 維。外層空間只告訴你向量有多少個座標；維數告訴你該子空間本身有多少個真正獨立方向。

另一個常見錯誤，是檢查完張成就停下來。能張成整個空間，並不代表那組向量已經沒有冗餘。

快速檢查

`\{(1,0), (2,0)\}` 可以成為 $R^2$ 的基底嗎？

不要只看向量數目，要把兩個基底條件都想一遍。

解答

答案

快速檢查

若 $dim(V) = 3$ ，而你已找到 $V$ 中三個線性獨立向量，還要再證明甚麼？

用本節的維數捷徑來想。

解答

答案

練習

快速檢查

向量 $u_1 = (1,1,0)$ 、 $u_2 = (1,0,1)$ 、 $u_3 = (0,1,1)$ 是否形成 $R^3$ 的基底？

先試線性獨立。若它們獨立，維數會替你完成後半段。

解答

引導解答

建議先讀

這一節建立在 6.4 線性相依與線性獨立和 6.3 線性組合與張成之上。

6.5 基底與維數

MATH1030：線性代數 I

先用直覺理解：方向夠用，但沒有累贅

基底

由張成組合出一個向量

標準基底是最典型的例子

為甚麼 R3R^3R3 的標準基底真的是基底

為甚麼基底的向量數目這麼重要

同一個空間的任何基底都有相同數目

在已被張成的空間中，太多向量必定相依

維數就是獨立方向的數目

維數

基底不一定長得像標準基底

R3R^3R3 裡一個平面的基底

維數如何變成捷徑

在 R3R^3R3 中用維數省去第二輪計算

測試一組向量是否相依

做基底題時的實用次序

延伸與刪減的結果

零空間：用 rank-nullity 檢查基底

檢查一組候選向量是否為零空間基底

從生成列表抽出最小張成集

主元欄給出最小張成集

從生成列表抽出基底

同維數的子空間

用維數證明兩個子空間相等

常見錯誤

維數不是單純在數座標個數

快速檢查

\{(1,0), (2,0)\} 可以成為 R2R^2R2 的基底嗎？

答案

若 dim(V)=3dim(V) = 3dim(V)=3，而你已找到 VVV 中三個線性獨立向量，還要再證明甚麼？

答案

練習

向量 u1=(1,1,0)u_1 = (1,1,0)u1​=(1,1,0)、u2=(1,0,1)u_2 = (1,0,1)u2​=(1,0,1)、u3=(0,1,1)u_3 = (0,1,1)u3​=(0,1,1) 是否形成 R3R^3R3 的基底？

引導解答

建議先讀

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為甚麼 $R^3$ 的標準基底真的是基底

$R^3$ 裡一個平面的基底

在 $R^3$ 中用維數省去第二輪計算

`\{(1,0), (2,0)\}` 可以成為 $R^2$ 的基底嗎？

若 $dim(V) = 3$ ，而你已找到 $V$ 中三個線性獨立向量，還要再證明甚麼？

向量 $u_1 = (1,1,0)$ 、 $u_2 = (1,0,1)$ 、 $u_3 = (0,1,1)$ 是否形成 $R^3$ 的基底？