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9.4 Cauchy-Schwarz 與三角不等式

把 Cauchy-Schwarz 與三角不等式當作內積空間中控制長度、夾角與等號條件的兩條核心估計。

筆記系列

MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

語言

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章節 1

方程組

學習把方程讀成完整的解集。

1.1

1.1 方程與解集

章節 2

矩陣與消元

建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。

2.1

2.1 矩陣基礎

2.2

2.2 增廣矩陣與行變換

2.3

2.3 高斯消元與最簡行階梯形

2.4

2.4 解集的種類

章節 3

矩陣代數

矩陣乘法、轉置與結構化矩陣記號。

3.1

3.1 矩陣乘法與單位矩陣

3.2

3.2 轉置與特殊矩陣

章節 4

解的結構

齊次方程組、零空間與完整解集的結構。

4.1

4.1 齊次方程組與零空間

章節 5

可逆性

理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩陣

會員

章節 6

向量空間

由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。

6.1

6.1 向量空間

會員

6.2

6.2 子空間

會員

6.3

6.3 線性組合與張成

會員

6.4

6.4 線性相依與線性無關

會員

6.5

6.5 基底與維數

會員

6.6

6.6 列空間、行空間與秩

會員

章節 7

行列式

行列式、餘因子公式，以及把行變換、轉置與可逆性連起來的結構化代數。

7.1

7.1 行列式與餘因子展開

會員

7.2

7.2 行變換、乘積與可逆性

會員

7.3

7.3 轉置、列變換與克拉默法則

會員

章節 8

特徵值與對角化

特徵值、特徵空間、相似與對角化，作為行列式之後的下一層結構。

8.1

8.1 特徵值、特徵向量與特徵空間

會員

8.2

8.2 對角化與相似

會員

8.3

8.3 特徵多項式與對角化測試

會員

章節 9

內積與正交性

內積、正交性、標準正交基與 Gram-Schmidt，作為特徵值之後的幾何層次。

9.1

9.1 內積、範數與夾角

會員

9.2

9.2 正交集與標準正交基

會員

9.3

9.3 Gram-Schmidt 正交化

會員

9.4

9.4 Cauchy-Schwarz 與三角不等式

會員

先備知識

9.1

9.1 內積、範數與夾角

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