5.1 可逆矩陣

可逆性係線性代數最早令你感受到「一個矩陣可以代表一個可逆過程」嘅地方。對一個方陣而言，若佢可逆，就表示有另一個方陣能夠完全把佢做返轉頭。更重要嘅係，呢個概念同好多其他敘述其實係等價嘅：可以行化簡成單位矩陣、每個方程組 $Ax = b$ 都有解、列向量線性無關，以及矩陣乘法可以被有系統地反轉。

呢一頁會逐步拆開呢啲等價關係。目標唔單止係識寫 $A^{-1}$ ，而係能夠分辨一個方陣點樣先算可逆，以及點樣用嚴謹方法讀出逆矩陣。

左逆同右逆

先唔好急住去到方陣。對一般矩陣，左逆同右逆係兩個唔同概念。

定義

左逆與右逆

設 $A$ 係一個 $p \times q$ 矩陣。

一個 $q \times p$ 矩陣 $H$ 如果滿足 $HA = I_q$ ，就稱為 $A$ 的左逆。
一個 $q \times p$ 矩陣 $G$ 如果滿足 $AG = I_p$ ，就稱為 $A$ 的右逆。

呢兩個定義之所以重要，係因為矩陣乘法唔交換。對長方形矩陣而言，左逆同右逆未必同時存在；即使存在，亦未必一樣。方陣就特別好多。

定義

可逆矩陣

若 $A$ 係一個 $p \times p$ 方陣，而且存在另一個 $p \times p$ 矩陣 $B$ 使得

BA = AB = I_p,

我哋就稱 $A$ 為可逆。矩陣 $B$ 叫做 $A$ 的逆矩陣，記作 $A^{-1}$ 。

定理

逆矩陣係唯一嘅

如果 $B$ 係 $A$ 的左逆，而 $C$ 係 $A$ 的右逆，咁 $B = C$ 。所以可逆矩陣只會有一個逆矩陣。

證明

點解逆矩陣唯一

甚麼叫可逆

可逆其實就係「可以完全反轉」。 $A$ 做咗一次變換之後，如果 $A^{-1}$ 存在，就可以把結果精確地拉返去原位。

單位矩陣 $I_p$ 之所以出現，係因為佢做咩都唔改變向量：

I_p x = x

對任何相容嘅向量 x 都成立。逆矩陣就係令你返回呢個「冇被改變」狀態嘅矩陣。

例題

對角矩陣最容易睇出逆矩陣

設

D = \operatorname{diag}(2, -1, 3).

咁

D^{-1} = \operatorname{diag}\left(\tfrac{1}{2}, -1, \tfrac{1}{3}\right).

原因好直接：對角線上每個非零元素變成倒數，而其餘零位仍然係零。將 $D$ 同 $D^{-1}$ 相乘，就會得到 $I_3$ 。

行化簡同逆矩陣

實際計算逆矩陣時，最可靠嘅方法係行化簡。課程源材料的核心想法有兩步：

行變換矩陣本身係可逆嘅，而且其逆就係反向行變換矩陣；
一個方陣可逆，當且僅當佢可以被行化簡到 $I_p$ 。

定理

行變換矩陣係可逆嘅

若 $\rho$ 係一個對 p 行矩陣所做的行變換，而 $\bar{\rho}$ 係相反行變換，則對應嘅行變換矩陣 $M[\rho]$ 同 $M[\bar{\rho}]$ 滿足

M[\rho]^{-1} = M[\bar{\rho]}, \qquad M[\bar{\rho}]^{-1} = M[\rho].

所以每次行化簡，其實都係左乘一個可逆矩陣。呢個觀點會令後面好多證明變得乾淨。

定理

可逆性同行化簡

對一個方陣 $A$ ，以下敘述等價：

$A$ 可逆；
$A$ 同 $I_p$ 行等價；
$A$ 係若干個行變換矩陣嘅乘積；
$A$ 係非奇異矩陣。

所以當你把 $A$ 與 $I_p$ 並排成 $[A | I_p]$ ，然後做行化簡，若左邊可以變成 $I_p$ ，右邊就會讀出 $A^{-1}$ 。

邊讀邊試

跟著看一個用行化簡求逆的例子

互動示範讓你逐步把 [A | I] 化簡，直到左邊變成 I。

由 [A | I] 開始。若 A 可逆，行化簡會把左邊化成 I。

1	2	1	1	0	0
0	1	1	0	1	0
2	3	4	0	0	1

上面個互動示範直接展示「將 [A | I] 化到左邊變成 $I$ 」究竟係乜意思。佢唔係定義，而係同定義完全一致嘅計算方法。

邊讀邊試

跟著走完一條行化簡路徑

互動步驟器會帶你走完一條完整的消元路徑，逐步顯示行變換、正在處理的主元，以及每一步得到的矩陣。

1	2	2	4
1	3	3	5
2	6	5	6

行變換

先在第 1 列選主元。

要留意甚麼

第 1 列的第一行已經有方便的主元 1，所以暫時不用換行。

先由增廣矩陣開始。第一個主元的工作，是幫我們把它下面的元素清掉。

第二個互動工具顯示一條完整消元路徑。對可逆矩陣而言，重點唔係「做咗幾多步」，而係「左邊最後真係化成 $I_p$ 」。

等價表述

源材料整理出一個非常重要嘅「字典」：可逆性可以用好多唔同語言去描述。

定理

識別可逆矩陣嘅等價條件

設 $A$ 係一個 $p \times p$ 矩陣。以下敘述等價：

$A$ 可逆。
$A$ 同 $I_p$ 行等價。
$A$ 係若干個行變換矩陣嘅乘積。
$A$ 有左逆。
$A$ 有右逆。
$A$ 係非奇異矩陣。
對每個 p 維列向量 b，方程組 $Ax = b$ 都相容。
對每個 p 維列向量 b，方程組 $Ax = b$ 都有唯一解，且解係 $x = A^{-1}b$ 。

其中兩個最實用：

第 7 點話你知： $A$ 的列向量張成 $R^p$ 。
第 8 點話你知：一旦可逆，就唔只係「有解」，而係可以直接寫出解。

所以可逆性正正係矩陣解方程組最核心嘅代數條件。

由可逆矩陣角度理解行等價

下一份源材料再向前推一步：唔再只係把行等價理解成一連串行變換，而係把成個過程打包成左邊乘上一個可逆矩陣。

定理

行等價等同於左乘一個可逆矩陣

設 $A$ 同 $B$ 係有 p 行嘅矩陣。以下敘述等價：

$A$ 同 $B$ 行等價；
存在一個可逆嘅 $p \times p$ 矩陣 $G$ ，使得

B = GA.

而且一旦 $B = GA$ ，就同時有

A = G^{-1}B.

呢個定理唔係另一招計數技巧，而係同一個現象更乾淨嘅講法。任何有限步行變換都可以濃縮成左邊一個可逆矩陣 $G$ ；反方向行變換就由 $G^{-1}$ 編碼。

例題

把行等價讀成一條矩陣等式

設

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

矩陣 $G$ 就係行變換

R_2 \leftarrow R_2 - R_1

對應嘅行變換矩陣。所以

GA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.

如果把呢個新矩陣記作 $B$ ，咁就有 $B = GA$ 。一條等式已經完整記錄咗呢次行變換。因為 $G$ 可逆，所以 $A$ 同 $B$ 行等價。

好處在於理論討論會清楚好多。只要知道行等價就係左乘可逆矩陣，後面好多「甚麼量被保留」嘅敘述都可以一行證完。

定理

行變換保留對應列向量之間的線性關係

設 $A$ 同 $B$ 係行等價嘅 $p \times q$ 矩陣，並把佢哋的列寫成

A = [a_1 \; a_2 \; \cdots \; a_q], \qquad B = [b_1 \; b_2 \; \cdots \; b_q].

如果

a_j = \alpha_1 a_{k_1} + \alpha_2 a_{k_2} + \cdots + \alpha_n a_{k_n},

咁就必然有

b_j = \alpha_1 b_{k_1} + \alpha_2 b_{k_2} + \cdots + \alpha_n b_{k_n}.

特別地，對應列之間的線性相依同線性無關，都會被行等價保留。

一旦知道 $B = GA$ ，證明就好短。將 $A$ 的列關係左乘 $G$ ，由矩陣乘法的線性性質可得

Ga_j = \alpha_1 G a_{k_1} + \alpha_2 G a_{k_2} + \cdots + \alpha_n G a_{k_n},

即係 $B$ 的對應列滿足同一組係數關係。

呢個結果就係由行化簡去到列語言嘅橋樑。行變換會改變列向量本身，但唔會改變邊啲列係多餘，亦唔會改變某列由其他列迫出嚟嘅線性關係。

點解 RREF 係唯一嘅

源材料附錄證明：每個行等價類之中，最簡行階梯形其實只得一個。呢件事好容易被忽略，但佢正正令後面嘅定義變得數學上站得住腳。

定理

每個行等價類只有一個最簡行階梯形

設 $A$ 係一個矩陣， $B$ 同 $C$ 都係 reduced row-echelon form。若 $B$ 同 $A$ 行等價，而 $C$ 亦同 $A$ 行等價，咁就有

B = C.

附錄的證明係對秩做數學歸納。核心策略係：

由左至右比較樞紐列；
用「線性關係被保留」去迫出相同嘅樞紐位置；
再證明每一個自由列都必須以同樣係數由前面的樞紐列組成。

所以 RREF 唔只係「一個方便嘅最終形狀」，而係該行等價類中唯一嘅最終形狀。

定義

秩

一個矩陣的秩，就係其 reduced row-echelon form 中樞紐的數目。

呢個定義之所以成立，正正因為 RREF 係唯一。若果唔同步驟會得出唔同 RREF，樞紐數目就會跟計算法而改變，咁 rank 就唔係良定。

列向量嘅無關與線性組合

可逆性亦可以用列向量語言去讀。

定理

可逆性同列向量

對一個 $p \times p$ 矩陣 $A$ ，以下敘述等價：

$A$ 可逆；
$A$ 的列向量線性無關；
$R^p$ 中每個向量都可以寫成 $A$ 的列向量嘅線性組合。

呢三句其實係同一件事三種講法。

如果列向量線性無關，即表示冇一列係多餘的。如果列向量張成 $R^p$ ，即表示每個目標向量都搵得到。對方陣嚟講，呢兩件事會同時發生，正正就係可逆。

轉置同冪次

可逆性同轉置亦相容。

定理

轉置與冪次

若 $A$ 可逆，則：

$A^t$ 亦可逆，而且 $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$ ；
$A^n$ 對每個整數 n 都可逆，而且 $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$ 。

轉置結果方便你由列去讀行；冪次結果就方便你處理重複出現的變換。

例題

用行化簡求逆矩陣

設

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}.

先寫出 $[A | I_2]$ ：

\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}\right].

先清走左下角嘅 3：

\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \end{array}\right].

再把第二行除以 $-1$ ，然後清走第一行第二列：

\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array}\right].

所以

A^{-1} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}.

重點唔係只係計出答案，而係睇清楚：當左邊化成單位矩陣時，右邊就自然係逆矩陣。

常見錯誤

唔好把長方形矩陣嘅一側逆當成另一側逆

對非方陣而言，左逆唔一定等於右逆，甚至未必存在。方陣就唔同：一旦逆矩陣存在，就同時係左逆同右逆，而且一定唯一。

常見錯誤

唔好靠外表估可逆性

一個矩陣表面上睇落好簡單，都未必可逆。真正方法係行化簡，或者用上面列出嘅等價條件。

練習

快速檢查

假設 $A$ 可逆，而且 $AB = I_p$ 。證明 $B = A^{-1}$ 。

用逆矩陣唯一性或者左乘 $A^{-1}$ 都可以。

解答

引導解答

先讀呢幾頁

呢一頁特別依賴 2.3 Gaussian elimination and RREF、 3.1 Matrix multiplication and identity matrices 同 3.2 Transpose and special matrices。

MATH1030：線性代數 I

方程組

矩陣與消元

矩陣代數

解的結構

可逆性

向量空間

左逆同右逆

左逆與右逆

可逆矩陣

逆矩陣係唯一嘅

點解逆矩陣唯一

甚麼叫可逆

對角矩陣最容易睇出逆矩陣

行化簡同逆矩陣

行變換矩陣係可逆嘅

可逆性同行化簡

跟著看一個用行化簡求逆的例子

跟著走完一條行化簡路徑

等價表述

識別可逆矩陣嘅等價條件

由可逆矩陣角度理解行等價

行等價等同於左乘一個可逆矩陣

把行等價讀成一條矩陣等式

行變換保留對應列向量之間的線性關係

點解 RREF 係唯一嘅

每個行等價類只有一個最簡行階梯形

秩

列向量嘅無關與線性組合

可逆性同列向量

轉置同冪次

轉置與冪次

例題

用行化簡求逆矩陣

常見錯誤

唔好把長方形矩陣嘅一側逆當成另一側逆

唔好靠外表估可逆性

快速檢查

如果 AAA 可逆，A−1AA^{-1}AA−1A 係乜？

答案

如果 AAA 可逆，齊次方程組 Ax=0Ax = 0Ax=0 會唔會有非零解？

答案

如果 AAA 可逆，AtA^tAt 係唔係可逆？

答案

若 B=GAB = GAB=GA，而 GGG 可逆，同時 AAA 的列滿足 a3=2a1−a2a_3 = 2a_1 - a_2a3​=2a1​−a2​，咁 BBB 的對應列必須滿足乜關係？

答案

點解定義 rank 時，RREF 的唯一性咁重要？

答案

練習

假設 AAA 可逆，而且 AB=IpAB = I_pAB=Ip​。證明 B=A−1B = A^{-1}B=A−1。

引導解答

先讀呢幾頁

先備知識

本單元重點詞彙

本系列更多筆記

如果 $A$ 可逆， $A^{-1}A$ 係乜？

如果 $A$ 可逆，齊次方程組 $Ax = 0$ 會唔會有非零解？

如果 $A$ 可逆， $A^t$ 係唔係可逆？

若 $B = GA$ ，而 $G$ 可逆，同時 $A$ 的列滿足 $a_3 = 2a_1 - a_2$ ，咁 $B$ 的對應列必須滿足乜關係？

假設 $A$ 可逆，而且 $AB = I_p$ 。證明 $B = A^{-1}$ 。