5.1 可逆矩陣

可逆性是線性代數中最早讓你感受到「一個矩陣可以代表一個可逆過程」的地方。對一個方陣而言，若它可逆，就表示有另一個方陣能夠把它的作用完全反轉。更重要的是，這個概念與許多其他敘述其實是等價的：可以行化簡成單位矩陣、每個方程組 $Ax = b$ 都有解、列向量線性無關，以及矩陣乘法可以被有系統地反轉。

這一頁會逐步拆開這些等價關係。目標不只是懂得寫 $A^{-1}$ ，而是能夠分辨一個方陣怎樣才算可逆，以及怎樣用嚴謹方法讀出逆矩陣。

開始之前

可逆性會同時用到前面幾節的多個概念。讀本節之前，最好已經熟悉以下習慣。

矩陣乘法有順序：一般而言，AB 和 BA 是不同表達式。
單位矩陣 $I_p$ 的作用是令每個相容向量保持不變。
行化簡是一串受控制的行變換；只要每一步基本行變換合法，它就是可逆的。
齊次系統 $Ax = 0$ 用來檢測 $A$ 的列向量是否仍有隱藏自由度。
方程組 $Ax = b$ 唯一可解，等價於行化簡後沒有自由變量。

本節的新重點是：對方陣來說，這些事實不是零散知識。可逆、能行化簡到單位矩陣、沒有非零零空間向量、每個系統都有唯一解，其實都是同一個定理組合中的不同語言。

左逆與右逆

先不要急於進入方陣情況。對一般矩陣而言，左逆與右逆是兩個不同概念。

定義

左逆與右逆

設 $A$ 是一個 $p \times q$ 矩陣。

一個 $q \times p$ 矩陣 $H$ 如果滿足 $HA = I_q$ ，就稱為 $A$ 的左逆。
一個 $q \times p$ 矩陣 $G$ 如果滿足 $AG = I_p$ ，就稱為 $A$ 的右逆。

這兩個定義之所以重要，是因為矩陣乘法不交換。對長方形矩陣而言，左逆與右逆未必同時存在；即使存在，亦未必相同。方陣則有額外結構。

維度亦解釋了「左」和「右」的含義。若 $H$ 是左逆，它出現在 $A$ 左邊，滿足 $HA = I_q$ ；若 $G$ 是右逆，它出現在 $A$ 右邊，滿足 $AG = I_p$ 。這兩個要求不同，因為兩個乘積的大小和數學意義都不同。

常見錯誤

不要把單側逆命題當成對稱命題

由 $HA = I_q$ 不能直接把乘法順序反過來，推出 $AH = I_p$ 。矩陣乘法有方向。方陣可逆的強處，正是左右兩個方向同時成立。

定義

可逆矩陣

若 $A$ 是一個 $p \times p$ 方陣，而且存在另一個 $p \times p$ 矩陣 $B$ 使得

BA = AB = I_p,

我們就稱 $A$ 為可逆。矩陣 $B$ 叫做 $A$ 的逆矩陣，記作 $A^{-1}$ 。

定理

逆矩陣是唯一的

如果 $B$ 是 $A$ 的左逆，而 $C$ 是 $A$ 的右逆，則 $B = C$ 。所以可逆矩陣只會有一個逆矩陣。

證明

為何逆矩陣唯一

甚麼叫可逆

可逆其實就是「可以完全反轉」。 $A$ 做了一次變換之後，如果 $A^{-1}$ 存在，就可以把結果精確地帶回原位。

單位矩陣 $I_p$ 之所以出現，是因為它不改變相容向量：

I_p x = x

對任何相容的向量 x 都成立。逆矩陣就是令你返回這個「沒有被改變」狀態的矩陣。

例題

對角矩陣最容易看出逆矩陣

設

D = \operatorname{diag}(2, -1, 3).

那麼

D^{-1} = \operatorname{diag}\left(\tfrac{1}{2}, -1, \tfrac{1}{3}\right).

原因很直接：對角線上每個非零元素變成倒數，而其餘零位仍然是零。將 $D$ 與 $D^{-1}$ 相乘，就會得到 $I_3$ 。

行化簡與逆矩陣

實際計算逆矩陣時，最可靠的方法是行化簡。核心想法有兩步：

行變換矩陣本身是可逆的，而且其逆就是反向行變換矩陣；
一個方陣可逆，當且僅當它可以被行化簡到 $I_p$ 。

定理

行變換矩陣是可逆的

若 $\rho$ 是一個對 p 行矩陣所做的行變換，而 $\bar{\rho}$ 是相反行變換，則對應的行變換矩陣 $M[\rho]$ 與 $M[\bar{\rho}]$ 滿足

M[\rho]^{-1} = M[\bar{\rho]}, \qquad M[\bar{\rho}]^{-1} = M[\rho].

所以每次行化簡，其實都是左乘一個可逆矩陣。這個觀點會令後面許多證明變得清楚。

定理

可逆性與行化簡

對一個方陣 $A$ ，以下敘述等價：

$A$ 可逆；
$A$ 與 $I_p$ 行等價；
$A$ 是若干個行變換矩陣的乘積；
$A$ 是非奇異矩陣。

所以當你把 $A$ 與 $I_p$ 並排成 $[A | I_p]$ ，然後做行化簡，若左邊可以變成 $I_p$ ，右邊就會讀出 $A^{-1}$ 。

邊讀邊試

跟著看一個用行化簡求逆的例子

互動示範讓你逐步把 [A | I] 化簡，直到左邊變成 I。

由 [A | I] 開始。若 A 可逆，行化簡會把左邊化成 I。

1	2	1	1	0	0
0	1	1	0	1	0
2	3	4	0	0	1

上面的互動示範直接展示「將 [A | I] 化到左邊變成 $I$ 」究竟是甚麼意思。它不是定義，而是與定義完全一致的計算方法。

邊讀邊試

跟著走完一條行化簡路徑

互動步驟器會帶你走完一條完整的消元路徑，逐步顯示行變換、正在處理的主元，以及每一步得到的矩陣。

1	2	2	4
1	3	3	5
2	6	5	6

行變換

先在第 1 列選主元。

要留意甚麼

第 1 列的第一行已經有方便的主元 1，所以暫時不用換行。

先由增廣矩陣開始。第一個主元的工作，是幫我們把它下面的元素清掉。

第二個互動工具顯示一條完整消元路徑。對可逆矩陣而言，重點不是「做了多少步」，而是「左邊最後確實化成 $I_p$ 」。

等價表述

可逆性有一個非常重要的「字典」：它可以用許多不同語言來描述。

定理

識別可逆矩陣的等價條件

設 $A$ 是一個 $p \times p$ 矩陣。以下敘述等價：

$A$ 可逆。
$A$ 與 $I_p$ 行等價。
$A$ 是若干個行變換矩陣的乘積。
$A$ 有左逆。
$A$ 有右逆。
$A$ 是非奇異矩陣。
對每個 p 維列向量 b，方程組 $Ax = b$ 都相容。
對每個 p 維列向量 b，方程組 $Ax = b$ 都有唯一解，且解是 $x = A^{-1}b$ 。

其中兩個最實用：

第 7 點說明： $A$ 的列向量張成 $R^p$ 。
第 8 點說明：一旦可逆，就不只是「有解」，而是可以直接寫出解。

所以可逆性正正是矩陣解方程組最核心的代數條件。

如何使用可逆性的等價字典

上面的等價條件不是用來死背的一長串列表，而是解題工具。做題時，應選擇最接近已知資料的那一種表述。

如果題目給了行化簡過程，就讀主元位置：方陣可逆，當且僅當每一列都有主元。
如果題目給了 $A^{-1}$ 或某個方陣的單側逆，就用單位矩陣和矩陣乘法做代數推理。
如果題目給了非零向量 v 且 $Av = 0$ ，就用零空間條件證明 $A$ 不可逆。
如果題目問所有系統 $Ax = b$ ，就把問題翻譯成「每個 b 是否都有唯一原像」。

例題

非零零空間向量可以證明不可逆

設 $A$ 是方陣，並且

v = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \ne 0, \qquad Av = 0.

那麼 $A$ 不可能可逆。理由是：若 $A^{-1}$ 存在，把 $Av = 0$ 左乘 $A^{-1}$ ，就會得到

A^{-1}Av = A^{-1}0.

左邊等於 v，右邊等於 0，於是會推出 $v = 0$ 。這和已知的非零向量矛盾。因此，只要找到一個非零的 $Ax = 0$ 解，就已經證明 $A$ 是奇異矩陣。

例題

用逆矩陣解方程組

設

A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}.

若 $Ax = b$ ，兩邊左乘 $A^{-1}$ ：

x = A^{-1}b = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ -3 \end{bmatrix}.

逆矩陣不只是「把 $A$ 反過來」的符號，它給出了唯一解的明確公式。

由可逆矩陣角度理解行等價

現在把行變換觀點再向前推一步：不只把行等價理解成一連串行變換，而是把整個過程打包成左邊乘上一個可逆矩陣。

定理

行等價等同於左乘一個可逆矩陣

設 $A$ 與 $B$ 是有 p 行的矩陣。以下敘述等價：

$A$ 與 $B$ 行等價；
存在一個可逆的 $p \times p$ 矩陣 $G$ ，使得

B = GA.

而且一旦 $B = GA$ ，就同時有

A = G^{-1}B.

這個定理不是另一種計數技巧，而是同一個現象更清楚的講法。任何有限步行變換都可以濃縮成左邊一個可逆矩陣 $G$ ；反方向行變換就由 $G^{-1}$ 編碼。

例題

把行等價讀成一條矩陣等式

設

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

矩陣 $G$ 就是行變換

R_2 \leftarrow R_2 - R_1

對應的行變換矩陣。所以

GA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.

如果把這個新矩陣記作 $B$ ，就有 $B = GA$ 。一條等式已經完整記錄了這次行變換。因為 $G$ 可逆，所以 $A$ 與 $B$ 行等價。

好處在於理論討論會更清楚。只要知道行等價就是左乘可逆矩陣，後面許多「甚麼量被保留」的敘述都可以一行證完。

定理

行變換保留對應列向量之間的線性關係

設 $A$ 與 $B$ 是行等價的 $p \times q$ 矩陣，並把它們的列寫成

A = [a_1 \; a_2 \; \cdots \; a_q], \qquad B = [b_1 \; b_2 \; \cdots \; b_q].

如果

a_j = \alpha_1 a_{k_1} + \alpha_2 a_{k_2} + \cdots + \alpha_n a_{k_n},

就必然有

b_j = \alpha_1 b_{k_1} + \alpha_2 b_{k_2} + \cdots + \alpha_n b_{k_n}.

特別地，對應列之間的線性相依與線性無關，都會被行等價保留。

一旦知道 $B = GA$ ，證明就很簡潔。將 $A$ 的列關係左乘 $G$ ，由矩陣乘法的線性性質可得

Ga_j = \alpha_1 G a_{k_1} + \alpha_2 G a_{k_2} + \cdots + \alpha_n G a_{k_n},

即 $B$ 的對應列滿足同一組係數關係。

這個結果就是由行化簡走向列語言的橋樑。行變換會改變列向量本身，但不會改變哪些列是多餘的，亦不會改變某列由其他列推出的線性關係。

為何 RREF 是唯一的

每個行等價類之中，最簡行階梯形其實只有一個。這件事很容易被忽略，但它正正令後面的定義在數學上站得住腳。

定理

每個行等價類只有一個最簡行階梯形

設 $A$ 是一個矩陣， $B$ 與 $C$ 都是 reduced row-echelon form。若 $B$ 與 $A$ 行等價，而 $C$ 亦與 $A$ 行等價，則有

B = C.

標準證明會對秩做數學歸納。核心策略是：

由左至右比較主元列；
用「線性關係被保留」去推出相同的主元位置；
再證明每一個自由列都必須以同樣係數由前面的主元列組成。

所以 RREF 不只是「一個方便的最終形狀」，而是該行等價類中唯一的最終形狀。

定義

秩

一個矩陣的秩，就是其 reduced row-echelon form 中主元的數目。

這個定義之所以成立，正正因為 RREF 是唯一的。若不同步驟會得出不同 RREF，主元數目就會跟隨計算法而改變，這樣 rank 就不是良定。

列向量的無關與線性組合

可逆性亦可以用列向量語言來閱讀。

定理

可逆性與列向量

對一個 $p \times p$ 矩陣 $A$ ，以下敘述等價：

$A$ 可逆；
$A$ 的列向量線性無關；
$R^p$ 中每個向量都可以寫成 $A$ 的列向量的線性組合。

這三句其實是同一件事的三種講法。

如果列向量線性無關，即表示沒有一列是多餘的。如果列向量張成 $R^p$ ，即表示每個目標向量都找得到。對方陣而言，這兩件事會同時發生，正正就是可逆。

轉置與冪次

可逆性與轉置亦相容。

定理

轉置與冪次

若 $A$ 可逆，則：

$A^t$ 亦可逆，而且 $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$ ；
$A^n$ 對每個整數 n 都可逆，而且 $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$ 。

轉置結果方便你由列閱讀行；冪次結果則方便處理重複出現的變換。

乘積等於單位矩陣時怎樣推理

有些練習題不會直接給你一個矩陣並要求求逆，而是給出

ABCD=I

這類乘積關係，然後問哪些較短乘積或循環重排必然可逆。正確方法不是把矩陣任意交換次序，而是小心分組，並使用方陣情況下的一側逆資訊。

定理

方陣情況下，一側單位等式已經足夠

設 $P$ 和 $Q$ 是同大小方陣。若

PQ=I,

則 $P$ 和 $Q$ 都可逆，而且

Q=P^{-1}, \qquad QP=I.

這是方陣特別重要的原因之一。對長方形矩陣而言，一側逆未必是雙側逆；但在本節的方陣設定中，可逆性等價字典容許我們把一側單位等式提升為真正的逆矩陣關係。

例題

由 $ABCD=I$ 得到循環恆等式

假設 A,B,C,D 都是 $5 \times 5$ 矩陣，且

ABCD=I_5.

先把乘積分組成

(ABC)D=I_5.

由一側單位等式的定理，ABC 和 $D$ 互為逆矩陣。因此

DABC=I_5.

再用已經證明的循環等式繼續分組，可以得到

CDAB=I_5, \qquad BCDA=I_5.

所以 BCDA、CDAB 和 DABC 確實必然等於 $I_5$ 。但像 DCBA 或 DBAC 這些任意重排則沒有被迫成立；矩陣乘法仍然不可交換。

安全的解題流程是：

除非有定理支持，否則保持題目給出的次序；
把相鄰因子分組成 $PQ=I$ ；
用方陣可逆性把它反向成 $QP=I$ ；
只在已證明的等式上繼續推理。

如何處理可逆性題目

當題目問一個矩陣是否可逆時，不要一開始就隨機猜逆矩陣的元素。先判斷哪種證據最省力。

先確認矩陣是方陣。非方陣沒有本節意義下的雙側逆。
如果給出具體元素，就行化簡，並檢查每一列是否都有主元。
如果後面課程中已經給出行列式，可用 $det(A) \ne 0$ ；在行列式出現之前，主要用主元、秩或零空間。
如果題目給出候選逆矩陣，就按需要的順序相乘，檢查是否得到單位矩陣。
如果題目給出非零零空間向量或列關係，就可以立即推出不可逆。

這樣的順序能避免無意義的長計算。關鍵不是做最多步驟，而是選一個合法的等價條件，並把它用清楚。

例題

用行化簡求逆矩陣

設

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}.

先寫出 $[A | I_2]$ ：

\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}\right].

先清走左下角的 3：

\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \end{array}\right].

再把第二行除以 $-1$ ，然後清走第一行第二列：

\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array}\right].

所以

A^{-1} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}.

重點不只是計出答案，而是看清楚：當左邊化成單位矩陣時，右邊就自然是逆矩陣。

練習式逆矩陣計算

在進階練習中，逆矩陣問題通常不會像第一個 $2 \times 2$ 例子那樣短。矩陣可能含有參數，或者行化簡只以壓縮步驟呈現。不過核心規則不變：

[A \mid I_p] \sim [I_p \mid B] \quad\Longrightarrow\quad B = A^{-1}.

若左邊不能化成 $I_p$ ，矩陣就不可逆；若左邊化成 $I_p$ ，右邊不是附屬計算，而正是逆矩陣。

例題

由行化簡得到參數化逆矩陣

對實數 $\alpha$ ，令

A_\alpha = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \alpha \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}.

把增廣矩陣 $[A_\alpha \mid I_4]$ 行化簡，得到

\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 5-\alpha & -2 & -1 & \alpha-2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \alpha & 0 & 1 & -\alpha \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

由於左邊對每個實數 $\alpha$ 都是 $I_4$ ，矩陣 $A_\alpha$ 對每個實數 $\alpha$ 都可逆，而且

A_\alpha^{-1} = \begin{bmatrix} 5-\alpha & -2 & -1 & \alpha-2 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ \alpha & 0 & 1 & -\alpha \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

請留意這個結論的意思。參數仍然留在逆矩陣中；它不是需要解出的未知數。行化簡真正說明的是：沒有任何 $\alpha$ 會令左邊失去主元。

常見錯誤

不要把每個參數都當成限制條件

有時參數出現，是因為答案是一族逆矩陣，而不是因為矩陣在某些值下失效。限制來自缺少主元或非法除以零，不是來自符號本身。

讀取已給出的行化簡表格

較長的逆矩陣題目，往往不會要求你從頭把每一個步驟都重做，而是給出行化簡鏈中的某些中間階段。只要能讀懂這條鏈的結構，這些資料已經足夠。每次應先問：

左邊區塊是甚麼形狀？這迫使右邊區塊代表甚麼？

如果某個行操作序列把

[A \mid I_p] \quad\text{化成}\quad [I_p \mid D],

那麼 $A$ 可逆，而且 $D=A^{-1}$ 。如果最後左邊區塊只是一個缺少主元列的行階梯形，即使右邊區塊看起來很複雜，也不能把它讀成逆矩陣。

例題

由行化簡表格恢復 $A$ 並解轉置系統

假設一個行化簡表格顯示 $[A \mid I_4]$ 與 $[I_4 \mid D]$ 行等價，其中

D= \begin{bmatrix} 3 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ -3 & 1 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.

這個最終形狀本身已經說明

A^{-1}=D.

如果表格前半部容許我們反向讀取最初幾個行操作，原本的左邊區塊可恢復為

A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}.

現在令

g= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}.

要求解 $A^t x=g$ ，不需要從頭再行化簡一次。因為 $A$ 可逆，所以 $A^t$ 也可逆，並且

(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t=D^t.

因此

x=(A^t)^{-1}g=D^t g = \begin{bmatrix} -6 \\ 1 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix}.

這個計算很短，是因為行化簡表格已經完成了主要工作。

例題

用主元列讀四個逆矩陣計算

以下每個矩陣都用同一個方法處理：先行化簡 $[A \mid I_4]$ ，先看左邊區塊的主元模式；只有當左邊區塊變成 $I_4$ 時，右邊區塊才可讀作逆矩陣。

情況 (a)。 對

A_1= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 0 & 3 \\ 4 & 2 & 2 & 4 \end{bmatrix},

其中一個行階梯階段的左邊區塊是

A_1^\sharp= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

第四列沒有主元，所以 $A_1$ 不可逆。

情況 (b)。 對

A_2= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 4 & 3 \end{bmatrix},

行化簡可達到 $[I_4 \mid A_2^{-1}]$ ，其中

A_2^{-1}= \begin{bmatrix} 3 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ -3 & 1 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.

情況 (c)。 對

A_3= \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 30 \\ 3 & 2 & 0 & 15 \\ 0 & 1 & 3 & 15 \\ 1 & 1 & 1 & 10 \end{bmatrix},

其中一個行階梯階段的左邊區塊是

A_3^\sharp= \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 30 \\ 0 & 1 & 3 & 15 \\ 0 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

同樣有主元列缺失，所以 $A_3$ 不可逆。

情況 (d)。 對

A_4= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix},

行化簡可達到 $[I_4 \mid A_4^{-1}]$ ，其中

A_4^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & 1 & 3 \end{bmatrix}.

這個例子故意重複同一種判讀。重點正在於：每一個情況都先由左邊區塊判斷可逆性，然後才決定能否把右邊區塊解讀為逆矩陣。

例題

最後的單位區塊控制整條行操作鏈

假設一條行操作鏈把 $[A \mid I_5]$ 經過中間矩陣 $[B \mid C]$ ，最後化成 $[D \mid E]$ 。在最後幾步之後，所得增廣矩陣是

[D \mid E] = \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 9 & 1 & -18 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -6 & 2 & 11 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 6 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -6 & 0 & 12 & 2 & 1 \end{array} \right].

左邊區塊是 $I_5$ ，所以 $D=I_5$ ，而

A^{-1}=E= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 9 & 1 & -18 & -3 & -2 \\ -6 & 2 & 11 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 6 & 1 & 0 \\ -6 & 0 & 12 & 2 & 1 \end{bmatrix}.

於是可以立即推出 $A^t$ 可逆，且

(A^t)^{-1}=E^t = \begin{bmatrix} 1 & 9 & -6 & -3 & -6 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ -2 & -18 & 11 & 6 & 12 \\ 0 & -3 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

同一條行操作鏈也可以被讀成一次左乘。令 $H$ 為整條鏈中所有行操作矩陣的乘積。因為 $HA=I_5$ 且 $HI_5=E$ ，所以 $H=A^{-1}$ 。因此，如果同一批行操作把 $F+I_5$ 化成 $A^3+3A+I_5$ ，就有

A^3+3A+I_5=A^{-1}(F+I_5).

左乘 $A$ 得到

F+I_5=A(A^3+3A+I_5)=A^4+3A^2+A,

所以

F=A^4+3A^2+A-I_5.

這裡的教訓是：行化簡表格不只是數值計算，它也記錄了一個在左邊相乘的可逆矩陣。

不用行列式的證明練習

有些證明練習會刻意要求不用行列式處理可逆性。這是很好的訓練：很多逆矩陣事實其實是關於乘積、單位矩陣與零空間的事實。

例題

由向量恆等式證明可逆

假設 $A$ 是 $7 \times 7$ 矩陣，而且

A^2x = Ax + x

對每個 $x \in R^7$ 都成立。把含有 $A$ 的項移到左邊：

(A^2-A)x = x \qquad\text{對每個 }x.

因為 $A^2-A=(A-I_7)A$ ，這就是

((A-I_7)A)x = I_7x \qquad\text{對每個 }x.

若兩個矩陣作用在每個向量上的結果都相同，它們就是同一個矩陣，所以

(A-I_7)A = I_7.

因此 $A-I_7$ 是 $A$ 的左逆。由於 $A$ 是方陣，一側單位等式已經足夠推出： $A$ 可逆，而且其逆矩陣是 $A-I_7$ 。

例題

用反證法證明某個多項式矩陣不可逆

假設 $A$ 和 $B$ 是兩個不同的 $6 \times 6$ 矩陣，且

A^3=B^3, \qquad A^2B=B^2A.

我們證明 $A^2+B^2$ 不可逆。令

C=A^2+B^2.

先比較 CB 與 CA：

CB=(A^2+B^2)B=A^2B+B^3,

而

CA=(A^2+B^2)A=A^3+B^2A.

利用已知的 $A^2B=B^2A$ 和 $B^3=A^3$ ，可得

CB=CA.

如果 $C$ 可逆，左乘 $C^{-1}$ 就會得到 $B=A$ ，這與 $A$ 、 $B$ 不同矛盾。所以 $C=A^2+B^2$ 不可逆。

常見錯誤

不要把長方形矩陣的一側逆當成另一側逆

對非方陣而言，左逆不一定等於右逆，甚至未必存在。方陣則不同：一旦逆矩陣存在，就同時是左逆和右逆，而且一定唯一。

常見錯誤

不要靠外表估計可逆性

一個矩陣表面上看來很簡單，也未必可逆。真正方法是行化簡，或者用上面列出的等價條件。

常見錯誤

不要在未證明時任意交換因子

由 $ABCD=I$ 可以透過逆矩陣理論推出某些循環恆等式，例如 $DABC=I$ 。但這不代表可以把因子任意改排成 DCBA；除非已知矩陣彼此可交換，否則不能這樣做。

練習

快速檢查

假設 $A$ 可逆，而且 $AB = I_p$ 。證明 $B = A^{-1}$ 。

用逆矩陣唯一性或者左乘 $A^{-1}$ 都可以。

解答

引導解答

快速檢查

假設 $(A-B)A=I$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是方陣。證明 $A$ 和 $B$ 可交換。

先使用方陣的一側單位等式定理，再展開 $AB-BA$ 。

解答

引導解答

先讀這幾頁

這一頁特別依賴 2.3 高斯消元與 RREF、 3.1 矩陣乘法與單位矩陣和 3.2 轉置與特殊矩陣。

5.1 可逆矩陣

MATH1030：線性代數 I

開始之前

左逆與右逆

左逆與右逆

不要把單側逆命題當成對稱命題

可逆矩陣

逆矩陣是唯一的

為何逆矩陣唯一

甚麼叫可逆

對角矩陣最容易看出逆矩陣

行化簡與逆矩陣

行變換矩陣是可逆的

可逆性與行化簡

跟著看一個用行化簡求逆的例子

跟著走完一條行化簡路徑

等價表述

識別可逆矩陣的等價條件

如何使用可逆性的等價字典

非零零空間向量可以證明不可逆

用逆矩陣解方程組

由可逆矩陣角度理解行等價

行等價等同於左乘一個可逆矩陣

把行等價讀成一條矩陣等式

行變換保留對應列向量之間的線性關係

為何 RREF 是唯一的

每個行等價類只有一個最簡行階梯形

秩

列向量的無關與線性組合

可逆性與列向量

轉置與冪次

轉置與冪次

乘積等於單位矩陣時怎樣推理

方陣情況下，一側單位等式已經足夠

由 ABCD=IABCD=IABCD=I 得到循環恆等式

如何處理可逆性題目

例題

用行化簡求逆矩陣

練習式逆矩陣計算

由行化簡得到參數化逆矩陣

不要把每個參數都當成限制條件

讀取已給出的行化簡表格

由行化簡表格恢復 AAA 並解轉置系統

用主元列讀四個逆矩陣計算

最後的單位區塊控制整條行操作鏈

不用行列式的證明練習

由向量恆等式證明可逆

用反證法證明某個多項式矩陣不可逆

常見錯誤

不要把長方形矩陣的一側逆當成另一側逆

不要靠外表估計可逆性

不要在未證明時任意交換因子

快速檢查

如果 AAA 可逆，A−1AA^{-1}AA−1A 是甚麼？

答案

如果 AAA 可逆，齊次方程組 Ax=0Ax = 0Ax=0 會不會有非零解？

答案

如果 AAA 可逆，AtA^tAt 是否可逆？

答案

若 B=GAB = GAB=GA，而 GGG 可逆，同時 AAA 的列滿足 a3=2a1−a2a_3 = 2a_1 - a_2a3​=2a1​−a2​，那麼 BBB 的對應列必須滿足甚麼關係？

答案

為何定義 rank 時，RREF 的唯一性這麼重要？

答案

若 v≠0v \ne 0v=0 且 Av=0Av = 0Av=0，AAA 可以可逆嗎？

答案

假設 A,B,C,D 都是方陣，且 ABCD=IABCD=IABCD=I。哪一個循環等式必然成立：DABC=IDABC=IDABC=I 還是 DCBA=IDCBA=IDCBA=I？

答案

在上面的參數化逆矩陣中，當 α=3\alpha=3α=3 時，Aα−1A_\alpha^{-1}Aα−1​ 的 (1,4) 元素是多少？

答案

若對每個向量 x 都有 A2x=Ax+xA^2x=Ax+xA2x=Ax+x，哪個矩陣可作為 AAA 的逆矩陣？

答案

若行操作把 [A∣Ip][A \mid I_p][A∣Ip​] 化成 [Ip∣D][I_p \mid D][Ip​∣D]，DDD 是甚麼？

答案

若某個行操作乘積 HHH 滿足 HA=IpHA=I_pHA=Ip​ 且 HIp=EHI_p=EHIp​=E，HHH 是甚麼？

答案

練習

假設 AAA 可逆，而且 AB=IpAB = I_pAB=Ip​。證明 B=A−1B = A^{-1}B=A−1。

引導解答

假設 (A−B)A=I(A-B)A=I(A−B)A=I，其中 AAA 和 BBB 是方陣。證明 AAA 和 BBB 可交換。

引導解答

由 $ABCD=I$ 得到循環恆等式

由行化簡表格恢復 $A$ 並解轉置系統

如果 $A$ 可逆， $A^{-1}A$ 是甚麼？

如果 $A$ 可逆，齊次方程組 $Ax = 0$ 會不會有非零解？

如果 $A$ 可逆， $A^t$ 是否可逆？

若 $B = GA$ ，而 $G$ 可逆，同時 $A$ 的列滿足 $a_3 = 2a_1 - a_2$ ，那麼 $B$ 的對應列必須滿足甚麼關係？

若 $v \ne 0$ 且 $Av = 0$ ， $A$ 可以可逆嗎？

假設 `A,B,C,D` 都是方陣，且 $ABCD=I$ 。哪一個循環等式必然成立： $DABC=I$ 還是 $DCBA=I$ ？

在上面的參數化逆矩陣中，當 $\alpha=3$ 時， $A_\alpha^{-1}$ 的 `(1,4)` 元素是多少？

若對每個向量 `x` 都有 $A^2x=Ax+x$ ，哪個矩陣可作為 $A$ 的逆矩陣？

若行操作把 $[A \mid I_p]$ 化成 $[I_p \mid D]$ ， $D$ 是甚麼？

若某個行操作乘積 $H$ 滿足 $HA=I_p$ 且 $HI_p=E$ ， $H$ 是甚麼？

假設 $A$ 可逆，而且 $AB = I_p$ 。證明 $B = A^{-1}$ 。

假設 $(A-B)A=I$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是方陣。證明 $A$ 和 $B$ 可交換。