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6.2有來源支持嵌入式互動

6.2 子空間

仔細使用子空間測試，證明最基本的結構結論，並掌握線性代數裡反覆出現的矩陣例子與方程例子。

筆記系列

MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

語言

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章節 1

方程組

學習把方程讀成完整的解集。

1.1

1.1 方程與解集

章節 2

矩陣與消元

建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。

2.1

2.1 矩陣基礎

2.2

2.2 增廣矩陣與行變換

2.3

2.3 高斯消元與最簡行階梯形

2.4

2.4 解集的種類

章節 3

矩陣代數

矩陣乘法、轉置與結構化矩陣記號。

3.1

3.1 矩陣乘法與單位矩陣

3.2

3.2 轉置與特殊矩陣

章節 4

解的結構

齊次方程組、零空間與完整解集的結構。

4.1

4.1 齊次方程組與零空間

章節 5

可逆性

理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩陣

章節 6

向量空間

由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。

6.1

6.1 向量空間

6.2

6.2 子空間

6.3

6.3 線性組合與張成

6.4

6.4 線性相依與線性無關

6.5

6.5 基底與維數

6.6

6.6 列空間、行空間與秩

子空間一出現，就提醒我們很多線性問題其實不需要整個外層向量空間。 齊次方程組的解集、對稱矩陣的集合、在某一點取值為 0 的多項式集合， 全部都是大向量空間裡較小的集合。

本節要處理的問題是：甚麼時候這樣的子集合仍然保留完整的線性結構？ 子空間不是「看上去像一條線」那麼簡單，而是指在繼承來的加法和純量 乘法之下，所有向量空間公理仍然成立的集合。

為甚麼只需要檢查少數公理

設 VV 已經是一個向量空間，而 W⊆VW \subseteq V。如果我們在 WW 上使用 的仍然是 VV 原本的加法與純量乘法，那麼交換律、結合律和分配律並不 需要由頭再證一次，因為這些恆等式在 VV 裡本來就成立。

真正要問的是：

  • WW 裡兩個向量相加後，會不會仍留在 WW？
  • WW 裡一個向量乘上純量後，會不會仍留在 WW？
  • WW 有沒有包含向量空間結構一定要有的向量，尤其是零向量？

所以子空間測試本質上是一個封閉性測試。

定義

子空間定義

設 VV 是一個向量空間。若子集合 W⊆VW \subseteq V 滿足：

  1. WW 非空；
  2. 對所有 u,v∈Wu, v \in W，都有 u+v∈Wu + v \in W；
  3. 對所有 u∈Wu \in W 和所有 α∈R\alpha \in R，都有 αu∈W\alpha u \in W；

那麼 WW 稱為 VV 的一個 子空間。

教學筆記亦強調另一個常用的等價形式，很多證明用起來更直接。

定理

等價的子空間測試

設 VV 是向量空間，W⊆VW \subseteq V。則 WW 是 VV 的子空間，當且僅當：

  1. 0∈W0 \in W；

  2. 對任意 u,v∈Wu, v \in W 及任意 α,β∈R\alpha, \beta \in R，向量

    αu+βv\alpha u + \beta v

    仍然屬於 WW。

證明

為甚麼這個等價形式成立

由方程定義的標準例子

主筆記最先列出的，是由簡單線性方程描述的集合。這些例子重要，因為 它們清楚說明「通過原點」和「齊次」在本章裡到底代表甚麼。

例題

R2R^2 裡一條通過原點的直線

設

W={(x,y)∈R2:y=2x}.W = \left\{(x, y) \in R^2 : y = 2x\right\}.

要證明 WW 是 R2R^2 的子空間，只需逐條檢查定義。

  1. WW 非空，因為 (0, 0) 滿足 0=2⋅00 = 2 \cdot 0。

  2. 若 (x1,y1),(x2,y2)∈W(x_1, y_1), (x_2, y_2) \in W，則 y1=2x1y_1 = 2x_1、y2=2x2y_2 = 2x_2。 因而

    y1+y2=2(x1+x2),y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2),

    所以 (x1+x2,y1+y2)∈W(x_1 + x_2, y_1 + y_2) \in W。

  3. 若 (x,y)∈W(x, y) \in W 且 α∈R\alpha \in R，則 y=2xy = 2x，因此

    αy=2(αx),\alpha y = 2(\alpha x),

    所以 (αx,αy)∈W(\alpha x, \alpha y) \in W。

故此 WW 是 R2R^2 的子空間。

幾何圖像與代數結論完全一致：這是一條通過原點的直線。所謂「通過原 點」不是裝飾性描述，而是零向量屬於集合的幾何痕跡。

例題

由一條齊次線性方程切出的平面

再設

W={(x,y,z)∈R3:x+2y+3z=0}.W = \left\{(x, y, z) \in R^3 : x + 2y + 3z = 0\right\}.

同樣只需檢查三件事。

  1. WW 非空，因為 (0, 0, 0) 滿足方程。

  2. 若 u=(u1,u2,u3)u = (u_1, u_2, u_3) 與 v=(v1,v2,v3)v = (v_1, v_2, v_3) 在 WW 內，則

    u1+2u2+3u3=0,v1+2v2+3v3=0.u_1 + 2u_2 + 3u_3 = 0, \qquad v_1 + 2v_2 + 3v_3 = 0.

    相加後得到

    (u1+v1)+2(u2+v2)+3(u3+v3)=0,(u_1 + v_1) + 2(u_2 + v_2) + 3(u_3 + v_3) = 0,

    因此 u+v∈Wu + v \in W。

  3. 若 u∈Wu \in W 且 α∈R\alpha \in R，則

    αu1+2αu2+3αu3=α(u1+2u2+3u3)=α⋅0=0,\alpha u_1 + 2\alpha u_2 + 3\alpha u_3 = \alpha(u_1 + 2u_2 + 3u_3) = \alpha \cdot 0 = 0,

    所以 αu∈W\alpha u \in W。

於是 WW 是 R3R^3 的子空間。

這個例子是「由齊次線性方程定義的集合」的原型。右邊的常數是 0， 正正就是封閉性得以成立的原因。

做過幾個手算例子之後，再用下面的檢查器比較真正的子空間和一些很像 但其實失敗的集合。

邊讀邊試

做一次子空間測試

互動檢查會比較常見子集，並指出子空間測試到底在哪一步通過或失敗。

這個集合通過完整的子空間測試。

包含 0

通過

(0, 0) 滿足 y = 2x。

對加法封閉

通過

把直線上的兩點相加，仍會留在同一條直線上。

對數乘封閉

通過

把直線上的點做數乘，仍會滿足 y = 2x。

子空間測試的直接推論

一旦知道 WW 是子空間，若干基本結論就立刻成立。

定理

每個子空間都包含 0 與加法逆元

設 WW 是向量空間 VV 的子空間。則：

  1. 0∈W0 \in W；
  2. 若 u∈Wu \in W，則 −u∈W-u \in W。

證明

這些基本結論的證明

於是兩個極端例子也自然成立：

  • {0} 是任何向量空間的 最小 子空間；
  • VV 本身是 VV 的 最大 子空間。

零空間一定是子空間

矩陣理論裡第一個重要的子空間家族，就是零空間。

定理

矩陣的零空間是子空間

設 AA 是一個 m×nm \times n 矩陣，並令

N(A)={x∈Rn:Ax=0}.N(A) = \left\{x \in R^n : Ax = 0\right\}.

則 N(A) 是 RnR^n 的一個子空間。

證明

為甚麼 N(A) 是子空間

這個定理說明「零空間」不是方便的名字而已。齊次方程組的解集真的是 一個向量空間。

例題

一條齊次方程其實就是某個零空間

令

A=[123].A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}.

則

N(A)={[xyz]:x+2y+3z=0}.N(A) = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} : x + 2y + 3z = 0 \right\}.

所以剛才那個平面，其實正是某個矩陣的零空間。由

x=−2y−3zx = -2y - 3z

可得零空間裡任意向量都可寫成

[xyz]=y[−210]+z[−301].\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = y \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

因此這個子空間是一個通過原點、由兩個向量生成的平面。

一個更廣的模式：由矩陣條件保留下來的子空間

教學紙還給了一個比零空間更一般的例子。它不是要求 Ax=0Ax = 0，而是 要求 Ax 落在一個已知的子空間裡。

例題

經矩陣乘法拉回來的子空間

設 AA 是一個 4×64 \times 6 矩陣，VV 是 R4R^4 的子空間，並定義

W={x∈R6:Ax∈V}.W = \left\{x \in R^6 : Ax \in V\right\}.

則 WW 是 R6R^6 的子空間。

證明完全按照子空間測試進行：

  1. 0∈W0 \in W，因為 A0=0A0 = 0，而 0∈V0 \in V；

  2. 若 x,y∈Wx, y \in W，則 Ax,Ay∈VAx, Ay \in V，因此

    A(x+y)=Ax+Ay∈V,A(x + y) = Ax + Ay \in V,

    所以 x+y∈Wx + y \in W；

  3. 若 x∈Wx \in W 且 α∈R\alpha \in R，則 Ax∈VAx \in V，故

    A(αx)=α(Ax)∈V,A(\alpha x) = \alpha(Ax) \in V,

    所以 αx∈W\alpha x \in W。

零空間其實就是這個例子的特殊情形，只要把 VV 取成 {0} 即可。

這個觀點值得記住：很多子空間最自然的描述，不是逐個元素列出來，而 是寫成一個會被線性運算保留下來的條件。

子集合最常見的失敗方式

子空間測試雖然短，但非常嚴格。一個集合可以在多個地方失敗。

常見錯誤

包含 0 是必要條件，但不是充分條件

集合

{(x,y)∈R2:x+y=1}\left\{(x, y) \in R^2 : x + y = 1\right\}

不是子空間，因為它不包含 (0, 0)。

但「不包含 0」不是唯一危險。教學紙還給出一個二次條件的例子

S={x∈R4:xTCx=0},S = \left\{x \in R^4 : x^T C x = 0\right\},

它可以包含 0，卻仍然未必是子空間。原因在於若 w=u+vw = u + v，則

wTCw=uTCu+vTCv+2uTCv,w^T C w = u^T C u + v^T C v + 2u^T C v,

其中交叉項 2uTCv2u^T C v 未必消失，所以加法封閉性可能失敗。可見一個 集合即使看起來對稱、也包含 0，仍然可能不是子空間。

實際做題時，最穩妥的習慣是：

  1. 先檢查 0；
  2. 再檢查加法封閉；
  3. 最後檢查純量乘法封閉。

不要只靠圖像直覺下判斷。

快速檢查

快速檢查

為甚麼 E={f(x)∈Pn:f(1)=0}E = \{f(x) \in P_n : f(1) = 0\} 是 PnP_n 的子空間？

把 x=1x = 1 時的函數值，當作需要在子空間測試下被保留下來的量。

解答

解答

快速檢查

設 W={X∈Mp,p(R):AX−XA=Op×p}W = \{X \in M_{p,p}(R) : AX - XA = O_{p \times p}\}。為甚麼這個集合形成子空間？

把定義方程 AX−XA=Op×pAX - XA = O_{p \times p} 當成 Ax=0Ax = 0 的矩陣版去處理。

解答

解答

快速檢查

為甚麼 {(x,y)∈R2:x+y=1}\{(x, y) \in R^2 : x + y = 1\} 不是子空間，雖然它仍然是一條直線？

不要畫圖，直接用子空間測試回答。

解答

解答

先讀這些內容

本節建立在 6.1 向量空間 的公理， 以及 4.1 齊次方程組與零空間 對 Ax=0Ax = 0 的解釋之上。

下一節

下一節 6.3 線性組合與張成 會把子空間當成生成過程的自然輸出來處理。

先備知識

6.1

6.1 向量空間

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