6.6 列空間、行空間與秩

這一節是矩陣語言和向量空間語言真正接上的地方。固定一個矩陣之後， 自然會出現兩個子空間：

• 由各列向量張成的子空間；
• 由各行向量張成的子空間。

這兩個定義不是形式上加上去的裝飾，而是直接回答以下問題：

• 對於方程組 $Ax = b$，哪些右端向量 b 真的可以出現？
• 各行實際上保存了多少獨立的線性資訊？
• 把冗餘完全刪走之後，還剩下多少個真正獨立的方向？

答案就是矩陣的 列空間、行空間 和 秩。

列空間：矩陣可以輸出甚麼？

設 $A$ 是一個 $m \times n$ 矩陣，將它的列寫成

$$A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}.$$

這個定義最有用的讀法，是經由矩陣乘法理解。 如果 $x = (x_1, \ldots, x_n)^t$，那麼

$$Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n.$$

所以任何形如 Ax 的向量，都是各列向量的線性組合。 反過來講，任何由各列向量組成的線性組合，都可以寫成某個 Ax。

這正是列空間重要的原因：它精確說明哪些右端向量可以由矩陣產生。

行空間：各行帶着甚麼線性資訊？

如果 $A$ 的各行是 $r_1, r_2, \ldots, r_m$，將每一行都視為 $R^n$ 中的 行向量，就得到第二個子空間。

一般情況下，這兩個空間屬於不同的 ambient space：

• C(A) 屬於 $R^m$，因為每一列有 m 個分量；
• R(A) 屬於 $R^n$，因為每一行有 n 個分量。

即使 $A$ 是方陣，也不應該把列空間和行空間混為一談。它們由不同的向量生成， 也回答不同問題。

它們和轉置之間有一個乾淨的關係：

$$R(A) = C(A^t).$$

所以關於行空間的敘述，往往可以翻譯成關於轉置矩陣列空間的敘述。

行化簡時，究竟保留了甚麼？

最簡行階梯形是計算這個主題最重要的工具，但一定要小心使用。

為甚麼這個分別很重要？

• 行變換會將新的一行寫成舊行的線性組合，所以行空間保持不變；
• 行變換是整行一起改動，而不是逐列獨立處理，所以實際的列空間通常會改變。

這就帶出一條學生常背、但未必真正理解的規則：

樞紐位置由 RREF 讀出，但列空間的基底向量一定要回到原矩陣中取得。

秩：數清楚獨立方向有多少個

列空間的維數叫做 column rank， 行空間的維數叫做 row rank。 線性代數一條核心定理告訴我們，這兩個數其實相等。

當你把矩陣行化簡到 RREF 之後，樞紐列的數目正正就是秩。 所以秩衡量的，是去除所有冗餘之後，還保留了多少個獨立方向。

例題：由一次行化簡讀出列空間、行空間與秩

這張靜態圖整理上面的例題：樞紐位置由 RREF 讀出，列空間的基底向量取自原矩陣，RREF 的非零行形成行空間的一組基底，而兩個空間的維數同樣等於秩。

為甚麼這個基底規則成立？

設 $R$ 是 $A$ 的 RREF。

• $R$ 的樞紐列指出哪些欄位位置是獨立的；
• 行變換會保留各列之間的線性關係；
• 所以原矩陣 $A$ 中相應位置的列，仍然獨立，而且仍然張成整個 C(A)。

對於行空間就更直接：因為行變換本身保留行空間，所以 $R$ 的非零行已經構成 R(A) 的一組基底。

常見錯誤

另一個常見錯誤，是因為列空間和行空間維數一樣，就說它們是同一個子空間。 維數相同只表示獨立方向的數目相同，不表示兩個子空間本身相等。

快速檢查

練習

先讀這幾節

這一節特別依賴 2.3 高斯消去與 RREF、 3.2 轉置與特殊矩陣 和 6.5 基底與維度。