6.6 列空間、行空間與秩

呢一節係矩陣語言同向量空間語言真正接上嘅地方。固定咗一個矩陣之後， 自然會出現兩個子空間：

• 由各列向量張成嘅子空間；
• 由各行向量張成嘅子空間。

呢兩個定義唔係形式上加上去嘅裝飾，而係直接回答以下問題：

• 對於方程組 $Ax = b$，邊啲右端向量 b 真係可以出現？
• 各行裏面實際上保存住幾多獨立嘅線性資訊？
• 把冗餘完全刪走之後，仲剩返幾多個真正獨立嘅方向？

答案就叫做矩陣嘅 列空間、行空間 同 秩。

列空間：矩陣可以輸出啲乜？

設 $A$ 係一個 $m \times n$ 矩陣，將佢嘅列寫成

$$A = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{bmatrix}.$$

呢個定義最有用嘅讀法，係經由矩陣乘法理解。 如果 $x = (x_1, \ldots, x_n)^t$，咁就有

$$Ax = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n.$$

所以任何形如 Ax 嘅向量，都是各列向量嘅線性組合。 反過來講，任何由各列向量組成嘅線性組合，都可以寫成某個 Ax。

呢個就係點解列空間咁重要。佢精確講清楚邊啲右端向量係可以由矩陣產生出嚟嘅。

行空間：各行帶住啲乜線性資訊？

如果 $A$ 嘅各行係 $r_1, r_2, \ldots, r_m$，將每一行都睇成 $R^n$ 裏面嘅 row vector，咁我哋就定義第二個子空間。

一般情況下，呢兩個空間係住喺唔同 ambient space 入面：

• C(A) 屬於 $R^m$，因為每一列有 m 個分量；
• R(A) 屬於 $R^n$，因為每一行有 n 個分量。

就算 $A$ 係方陣，都唔應該把列空間同行空間混為一談。佢哋由唔同嘅向量生成， 亦都回答唔同問題。

同轉置之間有一個乾淨嘅關係：

$$R(A) = C(A^t).$$

所以關於行空間嘅敘述，往往可以翻譯成關於轉置矩陣列空間嘅敘述。

行化簡時，究竟保留咗啲乜？

最簡行階梯形係計算呢個主題最重要嘅工具，但一定要小心用。

點解呢個分別咁重要？

• 行變換會將新嘅一行寫成舊行嘅線性組合，所以行空間保持不變；
• 行變換係整行一齊動，唔係逐列獨立處理，所以實際嘅列空間通常會改變。

呢個就帶出一條學生成日背，但未必真正明白嘅規則：

樞紐位置係由 RREF 讀出嚟，但列空間嘅基底向量一定要返去原矩陣入面攞。

秩：數清楚獨立方向有幾多個

列空間嘅維數叫做 column rank， 行空間嘅維數叫做 row rank。 線性代數一條核心定理話我哋知，呢兩個數其實相等。

當你把矩陣行化簡到 RREF 之後，樞紐列嘅數目正正就係秩。 所以秩衡量嘅，係去除所有冗餘之後，仲保留咗幾多個獨立方向。

例題：一次行化簡讀晒列空間、行空間同秩

點解個基底規則成立？

設 $R$ 係 $A$ 嘅 RREF。

• $R$ 嘅樞紐列指出邊啲欄位位置係獨立嘅；
• 行變換會保留各列之間嘅線性關係；
• 所以原矩陣 $A$ 入面相應位置嘅列，仍然獨立，而且仍然張成整個 C(A)。

對於行空間就更加直接：因為行變換本身保留行空間，所以 $R$ 嘅非零行已經構成 R(A) 嘅一組基底。

常見錯誤

另一個常見錯誤，係因為列空間同埋行空間維數一樣，就話佢哋係同一個子空間。 維數相同只表示獨立方向嘅數目相同，唔表示兩個子空間本身相等。

快速檢查

練習

先讀呢幾節

呢一節特別依賴 2.3 高斯消去與 RREF、 3.2 轉置與特殊矩陣 同 6.5 基底與維度。