3.2 轉置與特殊矩陣

當矩陣乘法出現之後，「結構」便開始變得重要。有些矩陣因為元素排列有特定 形式，所以更容易分析。轉置正是辨認這些結構的主要工具之一。

轉置就是把行與列互換

所以 $A$ 的每一行都會變成 $A^T$ 的一列，而 $A$ 的每一列都會變成 $A^T$ 的一行。

有兩條基本恆等式值得熟記：

$$(A^T)^T = A, \qquad (A + B)^T = A^T + B^T.$$

若乘積有定義，轉置還會把乘積次序反過來：

$$(AB)^T = B^T A^T.$$

這個「反序」不是小細節，而是行乘列規則被反轉後的結果。

對稱矩陣與反對稱矩陣

有些方陣與自己的轉置一樣；有些則只差一個負號。

對稱矩陣沿主對角線反射後不變；反對稱矩陣反射後會整體變號。

要特別注意：實數反對稱矩陣的主對角線元素必定全是 0，因為每個對角元素 都要等於自己的相反數。

次序重要：可交換與不可交換

課堂筆記一再強調，矩陣乘法一般不具交換性。不過，也有某些矩陣對是可以交 換的。

可交換是特殊情況，不是預設情況。

所以任何矩陣恆等式都必須保留因子的次序，不能隨手調換。

特殊矩陣之所以重要，在於它的形狀

不少常見矩陣家族，都是由哪些位置必須是 0 來定義的。這些形狀往往令後 面的計算與判斷容易得多。

• 對角矩陣只容許主對角線上出現非零元素；
• 上三角矩陣在主對角線下方全是 0；
• 下三角矩陣在主對角線上方全是 0。

對這些矩陣來說，乘法與可逆性分析通常較簡單，因為零元素的排列具有穩定性。

分塊矩陣是在大矩陣內部整理結構

有時候，一個大矩陣最好視為若干較小矩陣拼接而成，這就是分塊記號。

例如

$$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}$$

就是由四個小塊組成的分塊矩陣。這不是一種新矩陣，而是一種較有紀律的閱讀 方法：把大矩陣拆成較清楚的部分。

只要大小配對正確，分塊加法與分塊乘法都遵循與普通矩陣運算相同的形式。好 處是你可以一次處理一塊，而不是每次都盯着全部元素。

常見錯誤

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練習

相關筆記

本節建立在 3.1 矩陣乘法與單位矩陣 之上。若想看解集結構，下一節可讀 4.1 齊次方程組與零空間。