3.2 轉置與特殊矩陣

當矩陣乘法已經出現之後，矩陣的「形狀」開始和它的數值一樣重要。轉置是本節最基本的工具：行與列對調，主對角線變成反射軸。這個簡單的想法，足以說明對稱、反對稱、可交換現象，以及分塊矩陣的閱讀方法。

轉置就是把行與列對調

定義

轉置

若 $A = [a_{ij}]$ 是一個 $m \times n$ 矩陣，則它的轉置 $A^T$ 是 $n \times m$ 矩陣，其 (j,i) 位置的元素為 $a_{ij}$ 。

也就是

(A^T)_{ji} = a_{ij}.

所以 $A$ 的每一行都會變成 $A^T$ 的一列，而 $A$ 的每一列都會變成 $A^T$ 的一行。

這不是一個神秘的新運算，只是把同一批元素用相反方向重新閱讀。

例題

計算一個轉置

設

A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 5 \end{bmatrix}.

則

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}.

原來的 $2 \times 3$ 矩陣變成 $3 \times 2$ ，因為行與列的角色對調了。

幾條基本恆等式，應該視作本節的核心語言：

(A^T)^T = A, \qquad (A + B)^T = A^T + B^T, \qquad (cA)^T = cA^T.

若乘積有定義，轉置會把次序反過來：

(AB)^T = B^T A^T.

這個「反序」不是小事，而是行乘列配對被轉向之後的必然結果。

例題

轉置恆等式的例子

取

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}.

則

A + B = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}, \qquad (A + B)^T = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}.

另一方面，

A^T + B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}.

乘積亦然，只是次序一定要反過來：

AB = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \qquad (AB)^T = \begin{bmatrix} 11 & 4 \\ 10 & 5 \end{bmatrix},

而

B^T A^T = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 4 \\ 10 & 5 \end{bmatrix}.

定理

轉置的基本性質

對所有尺寸相容的矩陣，

$(A^T)^T = A$
$(A + B)^T = A^T + B^T$
$(cA)^T = cA^T$
$(AC)^T = C^T A^T$

乘積公式的證明值得細讀一次：比較 $(AC)^T$ 和 $C^T A^T$ 的對應元素，你會發現求和中的數字沒有改變，只是讀取方向變了。

對稱矩陣與反對稱矩陣

定義

對稱矩陣與反對稱矩陣

設 $A$ 為方陣。

若 $A^T = A$ ，則 $A$ 稱為對稱矩陣。
若 $A^T = -A$ ，則 $A$ 稱為反對稱矩陣。

對稱表示沿主對角線反射後不變。反對稱表示反射後整個矩陣變號。

例題

辨認對稱性

矩陣

\begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{bmatrix}

是對稱矩陣，因為 (i,j) 與 (j,i) 位置的元素相同。

矩陣

\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \end{bmatrix}

是反對稱矩陣，因為轉置之後每個非對角元素都改變符號，而對角線保持 0。

三個直接後果很重要：

實數反對稱矩陣的對角元素全部都是 0
零矩陣既對稱又反對稱
單位矩陣是對稱矩陣

第三項其實只是「對角矩陣在轉置下不變」的特例。

定理

兩個常用的轉置型態

對每一個方陣 $A$ ，

(A + A^T)^T = A + A^T, \qquad (A - A^T)^T = -(A - A^T).

因此 $A + A^T$ 是對稱矩陣，而 $A - A^T$ 是反對稱矩陣。

證明

為甚麼成立

上一個結果是最重要的結構定理的起點。

定理

分解為對稱部分與反對稱部分

每一個方陣 $A$ 都可以唯一寫成

A = S + K,

其中 $S$ 是對稱矩陣， $K$ 是反對稱矩陣。事實上，

S = \frac{1}{2}(A + A^T), \qquad K = \frac{1}{2}(A - A^T).

這個證明是本節最重要的推理範例之一，因為它把直覺變成了可檢查的公式。

例題

把矩陣分解成兩部分

設

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}.

則

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}.

所以

\frac{1}{2}(A + A^T) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{bmatrix},

而

\frac{1}{2}(A - A^T) = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -\frac{3}{2} \\ 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}.

第一個矩陣是對稱矩陣，第二個矩陣是反對稱矩陣，而二者相加正好回到 $A$ 。

還有一個非常有用的對稱型態，會在後面課題反覆出現。

定理

含轉置的乘積是對稱的

只要乘積有定義， $A^T A$ 和 $A A^T$ 都是對稱矩陣。

證明

一行證明

這是轉置在後續的正交、投影和最小平方型論證裡反覆出現的原因之一。

可交換與不可交換的矩陣

定義

可交換矩陣

若兩個同大小的矩陣 $A$ 和 $B$ 滿足

AB = BA,

則稱它們可交換。

對加法而言，可交換性是預設；對乘法而言，可交換性卻是特例。這是矩陣代數與純量代數最重要的差別之一。

零矩陣與單位矩陣都會與任何同大小的方陣可交換。相同大小的對角矩陣彼此也可交換，因為它們的乘積仍是對角矩陣，而且對角元素相乘本身就交換。

例題

一對不可交換的矩陣

取

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.

則

AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.

因此 $AB \ne BA$ 。

這種例子不是小插曲，而是提醒我們：矩陣恆等式裡，因子的次序絕不能亂改。

定理

反對稱矩陣的可交換測試

若 $A$ 和 $B$ 都是反對稱方陣，則

AB \text{ 對稱 } \iff AB = BA.

證明

為甚麼成立

例題

對稱矩陣與反對稱矩陣的組合

設

S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad K = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}.

這裡 $S$ 是對稱矩陣， $K$ 是反對稱矩陣，但二者不交換：

SK = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}, \qquad KS = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}.

若某一對同類矩陣真的可交換，則它們的乘積便會繼續保留清楚的對稱型態。

特殊矩陣

特殊矩陣的定義方式很直接：看哪些位置必須是 0。這使它們比一般矩陣更容易閱讀與計算。

定義

對角矩陣、上三角矩陣、下三角矩陣

對角矩陣的所有非對角元素都是 0
上三角矩陣的主對角線下方全部是 0
下三角矩陣的主對角線上方全部是 0

例題

三角矩陣的轉置

若

U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix},

則

U^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}.

所以上三角矩陣的轉置是下三角矩陣。

幾個結構性事實要一起記：

兩個對角矩陣相乘仍是對角矩陣
兩個上三角矩陣相乘仍是上三角矩陣
兩個下三角矩陣相乘仍是下三角矩陣

對角矩陣尤其簡單：

\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)\, \operatorname{diag}(e_1,\dots,e_n) = \operatorname{diag}(d_1 e_1,\dots,d_n e_n).

這也是為甚麼同大小的對角矩陣彼此都可交換。

常見錯誤

不要把零結構和矩陣本身混淆

上三角矩陣可以在對角線上方有很多非零元素，但對角線下方一定是 0。對角矩陣更嚴格：所有非對角元素都必須是 0。

分塊矩陣

大矩陣若分成幾個小塊，往往更容易閱讀。分塊矩陣仍然只是矩陣，只是多了一層組織方式。

定義

分塊矩陣

若把矩陣用橫線和直線分隔成若干子矩陣，這些子矩陣就叫做 block（分塊）。

例如

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 6 & 3 \\ 7 & 8 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix},

其中

A_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad A_{12} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad A_{21} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}, \quad A_{22} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.

在分塊層面，轉置只會把塊的位置互換，並且把每一塊本身也轉置：

A^T = \begin{bmatrix} A_{11}^T & A_{21}^T \\ A_{12}^T & A_{22}^T \end{bmatrix}.

這其實就是同一條「行與列對調」原理，只是從元素層面推廣到分塊層面。

例題

分塊乘法

若分塊大小相容，設

M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}, \qquad N = \begin{bmatrix} E & F \\ G & H \end{bmatrix}.

則

MN = \begin{bmatrix} AE + BG & AF + BH \\ CE + DG & CF + DH \end{bmatrix}.

這個公式看起來就像 $2 \times 2$ 的普通矩陣乘法，只不過每一個位置現在都是一個分塊。

真正要留意的是相容性：只有當內部塊的尺寸對得上，分塊乘法才有意義。若分塊方式不配合，這種寫法就不能直接使用。

常見錯誤

轉置乘積時，次序一定反轉

正確公式是 $(AB)^T = B^T A^T$ ，不是 $A^T B^T$ 。

常見錯誤

對稱不等於可交換

對稱是單一矩陣的性質，可交換是兩個矩陣之間的性質。兩者不是同一件事。

常見錯誤

實數反對稱矩陣的對角線一定是零

若 $A^T = -A$ ，每個對角元素都要等於自己的相反數，所以只能是 0。

常見錯誤

分塊大小一定要相容

只有在塊與塊的尺寸能匹配時，才能把分塊矩陣當成一個整體來乘。

快速檢查

若 $A$ 是 $3 × 2$ 矩陣， $A^T$ 的大小是甚麼？

把行與列對調。

解答

答案

快速檢查

實數反對稱矩陣的對角元素必須是甚麼？

把 $A^T = -A$ 套在對角位置。

解答

答案

快速檢查

哪一條公式正確： $(AB)^T = A^T B^T$ 還是 $(AB)^T = B^T A^T$ ？

記住轉置會反轉乘法次序。

解答

答案

快速檢查

若 $S$ 是對稱矩陣， $K$ 是反對稱矩陣，則 $S^T$ 和 $K^T$ 各是多少？

直接讀定義。

解答

答案

引導練習

快速檢查

把 $A = [[2,1],[4,3]]$ 分解成對稱部分與反對稱部分。

使用 $S = 1/2 (A + A^T)$ 及 $K = 1/2 (A - A^T)$ 。

解答

引導解答

快速檢查

若 $A$ 與 $B$ 都是對稱矩陣，而 $AB = BA$ ，為甚麼 `AB` 也是對稱矩陣？

使用轉置公式與可交換假設。

解答

3.2 轉置與特殊矩陣

MATH1030：線性代數 I

轉置就是把行與列對調

轉置

計算一個轉置

轉置恆等式的例子

轉置的基本性質

對稱矩陣與反對稱矩陣

對稱矩陣與反對稱矩陣

辨認對稱性

兩個常用的轉置型態

為甚麼成立

分解為對稱部分與反對稱部分

把矩陣分解成兩部分

含轉置的乘積是對稱的

一行證明

可交換與不可交換的矩陣

可交換矩陣

一對不可交換的矩陣

反對稱矩陣的可交換測試

為甚麼成立

對稱矩陣與反對稱矩陣的組合

特殊矩陣

對角矩陣、上三角矩陣、下三角矩陣

三角矩陣的轉置

不要把零結構和矩陣本身混淆

分塊矩陣

分塊矩陣

分塊乘法

常見錯誤

轉置乘積時，次序一定反轉

對稱不等於可交換

實數反對稱矩陣的對角線一定是零

分塊大小一定要相容

快速檢查

若 AAA 是 3×23 × 23×2 矩陣，ATA^TAT 的大小是甚麼？

答案

實數反對稱矩陣的對角元素必須是甚麼？

答案

哪一條公式正確：(AB)T=ATBT(AB)^T = A^T B^T(AB)T=ATBT 還是 (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T(AB)T=BTAT？

答案

若 SSS 是對稱矩陣，KKK 是反對稱矩陣，則 STS^TST 和 KTK^TKT 各是多少？

答案

引導練習

把 A=[[2,1],[4,3]]A = [[2,1],[4,3]]A=[[2,1],[4,3]] 分解成對稱部分與反對稱部分。

引導解答

若 AAA 與 BBB 都是對稱矩陣，而 AB=BAAB = BAAB=BA，為甚麼 AB 也是對稱矩陣？

引導解答

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