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MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

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章節 1

方程組

學習把方程讀成完整的解集。

1.1

1.1 方程與解集

章節 2

矩陣與消元

建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。

2.1

2.1 矩陣基礎

2.2

2.2 增廣矩陣與行變換

2.3

2.3 高斯消元與最簡行階梯形

2.4

2.4 解集的種類

章節 3

矩陣代數

矩陣乘法、轉置與結構化矩陣記號。

3.1

3.1 矩陣乘法與單位矩陣

3.2

3.2 轉置與特殊矩陣

章節 4

解的結構

齊次方程組、零空間與完整解集的結構。

4.1

4.1 齊次方程組與零空間

章節 5

可逆性

理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩陣

章節 6

向量空間

由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。

6.1

6.1 向量空間

6.2

6.2 子空間

6.3

6.3 線性組合與張成

6.4

6.4 線性相依與線性無關

6.5

6.5 基底與維數

6.6

6.6 列空間、行空間與秩

MATH1030

MATH1030：線性代數 I

以嚴謹方式整理的線性代數筆記，涵蓋方程組、矩陣、結構與證明；互動只在真正有助理解數學時使用。

你可以用側欄逐章前進，或直接從下方進入某一節筆記。

6 章節

每一節都可以直接在頁面閱讀，亦可以在需要離線溫習時匯出成靜態版本。

章節 1

方程組

學習把方程讀成完整的解集。

1.1有來源支持嵌入式互動

1.1 方程與解集

把線性方程組看成一組條件，並小心描述它的完整解集。

閱讀筆記

章節 2

矩陣與消元

建立矩陣直覺，並有目的地使用行化簡。

2.1有來源支持嵌入式互動

2.1 矩陣基礎

在做行化簡前先建立矩陣直覺：大小、元素、行、列，以及運算意義。

閱讀筆記

2.2有來源支持嵌入式互動

2.2 增廣矩陣與行變換

把方程組翻譯成增廣矩陣，並理解每種行變換保留了甚麼。

閱讀筆記

2.3有來源支持嵌入式互動

2.3 高斯消元與最簡行階梯形

把高斯消元看成一連串有目的的操作，而不只是死記步驟。

閱讀筆記

2.4有來源支持嵌入式互動

2.4 解集的種類

透過最簡形式判斷方程組有唯一解、無限多解，還是無解。

閱讀筆記

章節 3

矩陣代數

矩陣乘法、轉置與結構化矩陣記號。

3.1有來源支持嵌入式互動

3.1 矩陣乘法與單位矩陣

理解何時可以做矩陣乘法、行乘列規則怎樣運作，以及單位矩陣為何在解線性方程組時重要。

閱讀筆記

3.2有來源支持

3.2 轉置與特殊矩陣

用轉置、對稱性、交換乘積與分塊記號去讀懂矩陣結構，而不是把公式當成零散技巧。

閱讀筆記

章節 4

解的結構

齊次方程組、零空間與完整解集的結構。

4.1有來源支持

4.1 齊次方程組與零空間

仔細研究齊次方程組，再用零空間把所有解描述成有結構的集合，而不是零散例子。

閱讀筆記

章節 5

可逆性

理解甚麼情況下矩陣可以被反轉，以及這件事的重要性。

5.1有來源支持嵌入式互動

5.1 可逆矩陣

把逆矩陣、行化簡與非奇異矩陣的實際意義連接起來。

閱讀筆記

章節 6

向量空間

由矩陣程序走向空間結構、張成、無關與基底。

6.1有來源支持

6.1 向量空間

由熟悉例子開始，理解向量空間公理到底想保護甚麼結構。

閱讀筆記

6.2有來源支持嵌入式互動

6.2 子空間

用子空間測試把真正的線性結構，和那些缺少封閉性或零向量的集合分開。

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6.3有來源支持嵌入式互動

6.3 線性組合與張成

把線性組合看成有控制的搭建指令，再把張成理解成所有能這樣搭出來的向量。

閱讀筆記

6.4有來源支持嵌入式互動

6.4 線性相依與線性無關

把相依看成冗餘，把無關看成每個係數都真正有作用的情況。

閱讀筆記

6.5有來源支持嵌入式互動

6.5 基底與維數

看清基底為何是空間最小而完整的座標系統，以及維數為何是在數真正需要多少個方向。

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6.6有來源支持

6.6 列空間、行空間與秩

把行化簡與基底觀念結合起來，讀懂列空間、行空間與秩，並分清楚行變換到底保留甚麼。

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