6.3 线性组合与张成

一旦向量空间的定义确立，下一个问题便不只是“这些运算有没有意义”，而是：

若你手上有一列向量，究竟可以用加法与数乘造出多少新向量？

这正是线性组合与张成要回答的问题。

本节十分关键，因为它把“这些向量会生成一条线、生成一个平面”之类的几何语言，转化为精确的代数陈述；同时也把向量空间语言重新接回线性系统。

线性组合是最基本的构造单位

定义

线性组合

设 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 是向量空间 $V$ 里的向量，而 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \in R$ 。则

\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \cdots + \alpha_n u_n

称为 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 的线性组合。

这个定义的重点，在于系数完全不受限制。它们可以是正数、负数、分数、无理数，也可以是 0。

正因如此，线性组合才有足够的表达能力。

例题

几种典型的线性组合

若 $u_1, \ldots, u_n$ 是向量，则以下各式都是它们的线性组合：

23u_1 - \sqrt{2}\,u_2 + \pi u_n,

0 = 0u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n,

以及

u_1 = 1u_1 + 0u_2 + \cdots + 0u_n.

这里还有一个封闭事实：若 v 与 w 本身都是 $u_1, \ldots, u_n$ 的线性组合，则任何 $cv + dw$ 仍然是 $u_1, \ldots, u_n$ 的线性组合。

所以，线性组合对“由线性组合再做线性组合”这件事本身是封闭的。

是否属于某个张成，其实是可解性问题

在实际计算里，问题“b 是否是 $u_1, \ldots, u_n$ 的线性组合”通常不是靠肉眼判断，而是靠解一个线性系统。

定理

线性组合与线性系统

设 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 与 b 都是 $R^m$ 中的向量，并令

A = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_n \end{bmatrix}.

则 b 能写成 $u_1, \ldots, u_n$ 的线性组合，当且仅当线性系统

Ax = b

有解。

这个定理非常有用，因为它告诉你：一个“生成”问题，可以完全化成一个矩阵方程的一致性问题。

例题

检查一个向量是否是线性组合

令

u_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad u_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ -5 \\ 4 \end{bmatrix}.

再考虑向量

w = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ -16 \end{bmatrix}.

要问 w 是否为 $u_1$ 与 $u_2$ 的线性组合，就是要问是否存在数 $c_1, c_2$ 使得

c_1u_1 + c_2u_2 = w.

等价地，

\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -5 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ -16 \end{bmatrix}.

把这个系统做行化简，可得它是一致的，而且解为

c_1 = 8, \qquad c_2 = -2.

因此

w = 8u_1 - 2u_2.

所以 w 属于 $u_1$ 与 $u_2$ 的张成。

同一道理也可以用来证明某向量不属于张成：若对应系统不一致，便表示找不到系数，自然也就不在张成里。

系统化的属于判断流程

上面的定理给出一个实用流程。给定向量 $u_1,\ldots,u_q$ 和目标向量 v，可以这样做。

形成矩阵

U = \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & \cdots & u_q \end{bmatrix}.

对增广矩阵 [U|v] 做行化简。
如果化简后的系统出现矛盾，则 v 不属于 $\operatorname{Span}\{u_1,\ldots,u_q\}$ 。
如果系统一致，读出其中一个解 $c=(c_1,\ldots,c_q)^T$ ，并写成

v = c_1u_1 + c_2u_2 + \cdots + c_qu_q.

这个流程背后的理由很短，但非常重要。矩阵向量乘积

Uc

正是

c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_qu_q.

因此 $Uc=v$ 有解，正好等价于 v 可以写成 $U$ 各列的线性组合。行化简不是另一个零散技巧，而是用来判断系数向量 c 是否存在的计算方法。

例题

用不一致证明不属于张成

令

u_1=\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}, \qquad u_2=\begin{bmatrix}3\\6\\3\end{bmatrix}, \qquad v=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}.

$Uc=v$ 的增广矩阵是

\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 3 & 1\\ 2 & 6 & 0\\ 1 & 3 & 1 \end{array} \right].

在系数部分，第二行是第一行的两倍；但在增广部分，右端常数并不符合这个倍数关系。因此行化简会产生矛盾。所以 $Uc=v$ 不一致，并且

v\notin \operatorname{Span}\{u_1,u_2\}.

张成是所有可造出的结果

定义

张成

设 $u_1, u_2, \ldots, u_n$ 是向量空间 $V$ 里的向量。它们的张成定义为所有线性组合组成的集合：

\operatorname{Span}\{u_1, u_2, \ldots, u_n\} = \{\alpha_1u_1 + \alpha_2u_2 + \cdots + \alpha_nu_n \mid \alpha_i \in R\}.

因此，张成不是单个向量，而是由这些向量可造出的整个向量集合。

也正因如此，张成常被读作“由这组向量生成的子空间”。

$R^3$ 里的标准几何例子

例题

张成在 $R^3$ 里看起来像什么

令

e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad e_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

则 $\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}$ 中的每个向量都可写成

\alpha e_1 + \beta e_2 = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \end{bmatrix}.

因此

\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}

恰好就是 $R^3$ 里的 $x_1x_2$ 平面。

若再把 $e_3$ 加入，则 $R^3$ 中任意向量都可写成

\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2 + \alpha_3 e_3,

故

\operatorname{Span}\{e_1, e_2, e_3\} = R^3.

这个例子很重要，因为它说明张成可以描述：

一条直线；
一个平面；
甚至整个空间；

具体取决于你起始的向量列表。

为什么张成一定是子空间

张成并不是某个随意的子集合，它其实是由该组向量生成出来的最自然向量空间对象。

定理

任何向量组的张成都必定是子空间

若 $u_1, \ldots, u_n$ 是向量空间 $V$ 里的向量，则

\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}

是 $V$ 的一个子空间。

证明

为什么张成是子空间

这个定理是张成如此重要的主要原因之一：它给了我们一个系统方法，由一组向量直接构造子空间。

把交互模块当成辅助图像

下面的张成探索器只有在上面的代数意义先弄清楚之后才真正有用。它让你改变系数，观察向量如何在生成集合里移动，但它应被视为前述定义与定理的辅助图像，而不是主要内容。

边读边试

由张成组合出一个向量

互动探索让你改变系数，并看着结果向量如何在张成里移动。

(1, 0)

(0, 1)

结果

αu + βv = (1, 0)

每个输出向量都是由水平与垂直方向组合而成。

常见错误

张成不是‘正倍数集合’

线性组合里的系数可以是任何实数，所以负数与 0 都同样合法。若只允许正系数，那便不是本节所说的张成。

常见错误

要证明属于张成，就必须给出系数

只说一个向量“看起来差不多”并不够。要证明某向量属于一个张成，你必须明确给出系数，或把关系转成线性系统，证明它是一致的。

快速检查

任何有限向量列表的张成都一定包含零向量吗？

直接回到线性组合的定义回答。

解答

答案

快速检查

为什么 $\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}$ 在 $R^3$ 里会包含 $(2, -1, 0)$ ？

请把该向量写成 $e_1$ 与 $e_2$ 的线性组合。

解答

答案

练习

快速检查

为什么生成列表中的每一个向量 $u_i$ 都一定属于 $\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}$ ？

请用系数直接说明。

解答

引导解答

快速检查

为什么定理 $b \in \operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}$ 当且仅当 $Ax = b$ 可解，在计算上如此重要？

请用它带来的计算方法回答。

解答

6.3 线性组合与张成

MATH1030：线性代数 I

线性组合是最基本的构造单位

线性组合

几种典型的线性组合

是否属于某个张成，其实是可解性问题

线性组合与线性系统

检查一个向量是否是线性组合

系统化的属于判断流程

用不一致证明不属于张成

张成是所有可造出的结果

张成

R3R^3R3 里的标准几何例子

张成在 R3R^3R3 里看起来像什么

为什么张成一定是子空间

任何向量组的张成都必定是子空间

为什么张成是子空间

把交互模块当成辅助图像

由张成组合出一个向量

常见错误

张成不是‘正倍数集合’

要证明属于张成，就必须给出系数

快速检查

任何有限向量列表的张成都一定包含零向量吗？

答案

为什么 Span⁡{e1,e2}\operatorname{Span}\{e_1, e_2\}Span{e1​,e2​} 在 R3R^3R3 里会包含 (2,−1,0)(2, -1, 0)(2,−1,0)？

答案

练习

为什么生成列表中的每一个向量 uiu_iui​ 都一定属于 Span⁡{u1,…,un}\operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}Span{u1​,…,un​}？

引导解答

为什么定理 b∈Span⁡{u1,…,un}b \in \operatorname{Span}\{u_1, \ldots, u_n\}b∈Span{u1​,…,un​} 当且仅当 Ax=bAx = bAx=b 可解，在计算上如此重要？

引导解答

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