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4.1 齐次方程组与零空间

用齐次方程组与零空间去系统描述所有解，而不是只找出某一个解。

笔记系列

MATH1030：线性代数 I

以严谨方式整理的线性代数笔记，涵盖方程组、矩阵、结构与证明；互动只在真正有助理解数学时使用。

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全部笔记系列系列总览

章节 1

方程组

学习把方程读成完整的解集。

1.1

1.1 方程与解集

章节 2

矩阵与消元

建立矩阵直觉，并有目的地使用行化简。

2.1

2.1 矩阵基础

2.2

2.2 增广矩阵与行变换

2.3

2.3 高斯消元与最简行阶梯形

2.4

2.4 解集的种类

章节 3

矩阵代数

矩阵乘法、转置与结构化矩阵记号。

3.1

3.1 矩阵乘法与单位矩阵

3.2

3.2 转置与特殊矩阵

章节 4

解的结构

齐次方程组、零空间与完整解集的结构。

4.1

4.1 齐次方程组与零空间

章节 5

可逆性

理解什么情况下矩阵可以被反转，以及这件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩阵

会员

章节 6

向量空间

由矩阵程序走向空间结构、张成、无关与基底。

6.1

6.1 向量空间

会员

6.2

6.2 子空间

会员

6.3

6.3 线性组合与张成

会员

6.4

6.4 线性相依与线性无关

会员

6.5

6.5 基底与维数

会员

6.6

6.6 列空间、行空间与秩

会员

当你已经懂得对方程组做行化简，下一步就不应只问“这一题怎样解”，而应问 “全部解究竟有什么结构”。齐次方程组是最适合开始问这个问题的地方，而零 空间正是回答这个问题的语言。

为什么齐次方程组特别

齐次线性方程组的常数项全部都是 0。用矩阵写，就是

Ax=0.Ax = 0.

这种情况有一个立刻可见的特点：零向量永远是它的解。

定义

齐次方程组

齐次线性方程组是形如

Ax=0Ax = 0

的线性方程组。

其中 x=0x = 0 称为平凡解。

真正的问题在于：除了平凡解之外，是否还有非平凡解。

零空间把所有齐次解收集起来

定义

零空间

若 AA 是矩阵，则 AA 的零空间定义为

N(A)={x:Ax=0}.N(A) = \{x : Ax = 0\}.

因此 N(A) 正正就是齐次方程组 Ax=0Ax = 0 的解集。

这个定义把“一些解”变成一个完整的数学对象。你不再只是在列例子，而是在 描述整个集合。

行化简会揭示零空间的形状

要找 N(A)，就是解 Ax=0Ax = 0，也就是对增广系统 [A∣0][A \mid 0] 做行化简。 主元告诉你哪些变量被决定，自由变量则告诉你剩下多少自由方向。

例题

解一个齐次方程组并描述零空间

令

A=[12−124−2].A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \end{bmatrix}.

要求解 Ax=0Ax = 0，把它行化简：

[12−1024−20]∼[12−100000].\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 0 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right].

所以方程变成

x1+2x2−x3=0.x_1 + 2x_2 - x_3 = 0.

令 x2=sx_2 = s、x3=tx_3 = t 为自由变量，则

x1=−2s+t.x_1 = -2s + t.

因此

x=[−2s+tst]=s[−210]+t[101].x = \begin{bmatrix} -2s + t \\ s \\ t \end{bmatrix} = s \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}.

所以

N(A)=Span⁡{[−210],[101]}.N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}.

这个例子说明：零空间描述的不只是“有没有解”，而是全部解如何被建立出来。

齐次解控制非齐次解的结构

同一个想法也可用来描述一致系统 Ax=bAx = b 的全部解。

定理

所有解都等于某个特解加上一个零空间向量

设 xpx_p 是 Ax=bAx = b 的一个特解。

则向量 x 是 Ax=bAx = b 的解，当且仅当

x=xp+vx = x_p + v

其中 v∈N(A)v \in N(A)。

这正是自由变量公式背后的结构定理。

证明

为什么全部解都具有 xp+N(A)x_p + N(A) 的形式

一个非齐次例子

例题

把所有解写成特解加零空间

假设系统 Ax=bAx = b 有一个特解

xp=[301],x_p = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix},

并且

N(A)=Span⁡{[1−10]}.N(A) = \operatorname{Span} \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}.

那么所有解都可写成

x=[301]+t[1−10]=[3+t−t1],t∈R.x = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + t \\ -t \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad t \in R.

零空间给出自由方向；特解则决定这整个解族位于哪里。

零空间如何决定唯一性

由这个结构定理可以立刻得到：

  • 若 N(A)={0}N(A) = \{0\}，则一致系统 Ax=bAx = b 只有唯一解；
  • 若 N(A) 含有非零向量，则每个一致系统 Ax=bAx = b 都有无限多解， 因为你可以在特解上加上任意标量倍的零空间向量。

所以零空间正好度量了系统中隐藏的自由度。

常见错误

常见错误

零向量永远属于零空间

有些同学会误以为齐次方程组可能没有解。这是不可能的，因为 x=0x = 0 永远 满足 Ax=0Ax = 0。

常见错误

找到一个特解，不等于已经找到全部解

即使你已经找到某个 xpx_p 满足 Axp=bAx_p = b，仍然要把整个零空间加上去，才 算完整描述了解集。

快速检查

快速检查

为什么 Ax=0Ax = 0 一定至少有一个解？

用一句话回答。

解答

答案

快速检查

若 N(A)={0}N(A) = \{0\} 且 Ax=bAx = b 一致，它有多少个解？

请用本节定理解释。

解答

答案

练习

快速检查

若 xpx_p 解 Ax=bAx = b，而 u,v∈N(A)u, v \in N(A)，为什么 xp+ux_p + u 与 xp+vx_p + v 都是 Ax=bAx = b 的解？

请用线性性质写一行。

解答

引导解答

相关笔记

本节建立在 2.3 高斯消元与最简行阶梯形 与 2.4 解集的种类 之上。 它会为 5.1 可逆矩阵 与 6.2 子空间 做准备。

先备知识

2.4

2.4 解集的种类

本单元重点词汇

本系列更多笔记

上一节

3.2 转置与特殊矩阵

下一节

5.1 可逆矩阵