3.2 转置与特殊矩阵

当矩阵乘法已经出现之后，矩阵的“形状”开始和它的数值一样重要。转置是本节最基本的工具：行与列对调，主对角线变成反射轴。这个简单想法，足以说明对称、反对称、可交换现象，以及分块矩阵的阅读方法。

转置就是把行与列对调

定义

转置

若 $A = [a_{ij}]$ 是一个 $m \times n$ 矩阵，则它的转置 $A^T$ 是 $n \times m$ 矩阵，其 (j,i) 位置的元素为 $a_{ij}$ 。

也就是

(A^T)_{ji} = a_{ij}.

所以 $A$ 的每一行都会变成 $A^T$ 的一列，而 $A$ 的每一列都会变成 $A^T$ 的一行。

这不是一个神秘的新运算，只是把同一批元素用相反方向重新阅读。

例题

计算一个转置

设

A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2 \\ 0 & 3 & 5 \end{bmatrix}.

则

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 3 \\ -2 & 5 \end{bmatrix}.

原来的 $2 \times 3$ 矩阵变成 $3 \times 2$ ，因为行与列的角色对调了。

几条基本恒等式，应当视作本节的核心语言：

(A^T)^T = A, \qquad (A + B)^T = A^T + B^T, \qquad (cA)^T = cA^T.

若乘积有定义，转置会把次序反过来：

(AB)^T = B^T A^T.

这个“反序”不是小事，而是行乘列配对被转向之后的必然结果。

例题

转置恒等式的例子

取

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}.

则

A + B = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}, \qquad (A + B)^T = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}.

另一方面，

A^T + B^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}.

乘积也是同样道理，只是次序一定要反过来：

AB = \begin{bmatrix} 11 & 10 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \qquad (AB)^T = \begin{bmatrix} 11 & 4 \\ 10 & 5 \end{bmatrix},

而

B^T A^T = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 4 \\ 10 & 5 \end{bmatrix}.

定理

转置的基本性质

对所有尺寸相容的矩阵，

$(A^T)^T = A$
$(A + B)^T = A^T + B^T$
$(cA)^T = cA^T$
$(AC)^T = C^T A^T$

乘积公式的证明值得细读一次：比较 $(AC)^T$ 和 $C^T A^T$ 的对应元素，你会发现求和中的数字没有改变，只是读取方向变了。

对称矩阵与反对称矩阵

定义

对称矩阵与反对称矩阵

设 $A$ 为方阵。

若 $A^T = A$ ，则 $A$ 称为对称矩阵。
若 $A^T = -A$ ，则 $A$ 称为反对称矩阵。

对称表示沿主对角线反射后不变。反对称表示反射后整个矩阵变号。

例题

辨认对称性

矩阵

\begin{bmatrix} 2 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 5 \end{bmatrix}

是对称矩阵，因为 (i,j) 与 (j,i) 位置的元素相同。

矩阵

\begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ -2 & 0 & 4 \\ 1 & -4 & 0 \end{bmatrix}

是反对称矩阵，因为转置之后每个非对角元素都改变符号，而对角线保持 0。

三个直接后果很重要：

实数反对称矩阵的对角元素全部都是 0
零矩阵既对称又反对称
单位矩阵是对称矩阵

第三项其实只是“对角矩阵在转置下不变”的特例。

定理

两个常用的转置型态

对每一个方阵 $A$ ，

(A + A^T)^T = A + A^T, \qquad (A - A^T)^T = -(A - A^T).

因此 $A + A^T$ 是对称矩阵，而 $A - A^T$ 是反对称矩阵。

证明

为什么成立

上一结果是最重要结构定理的起点。

定理

分解为对称部分与反对称部分

每一个方阵 $A$ 都可以唯一写成

A = S + K,

其中 $S$ 是对称矩阵， $K$ 是反对称矩阵。事实上，

S = \frac{1}{2}(A + A^T), \qquad K = \frac{1}{2}(A - A^T).

这个证明是本节最重要的推理范例之一，因为它把直觉变成了可检查的公式。

例题

把矩阵分解成两部分

设

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \end{bmatrix}.

则

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \end{bmatrix}.

所以

\frac{1}{2}(A + A^T) = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \frac{5}{2} \\ 1 & -1 & \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} & \frac{5}{2} & 0 \end{bmatrix},

而

\frac{1}{2}(A - A^T) = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -\frac{3}{2} \\ 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix}.

第一个矩阵是对称矩阵，第二个矩阵是反对称矩阵，而二者相加正好回到 $A$ 。

还有一个非常有用的对称型态，会在后面课题反复出现。

定理

含转置的乘积是对称的

只要乘积有定义， $A^T A$ 和 $A A^T$ 都是对称矩阵。

证明

一行证明

这也是转置在后续的正交、投影和最小平方型论证里反复出现的原因之一。

可交换与不可交换的矩阵

定义

可交换矩阵

若两个同大小的矩阵 $A$ 和 $B$ 满足

AB = BA,

则称它们可交换。

对加法而言，可交换性是预设；对乘法而言，可交换性却是特例。这是矩阵代数与纯量代数最重要的差别之一。

零矩阵与单位矩阵都会和任何同大小方阵可交换。相同大小的对角矩阵彼此也可交换，因为它们的乘积仍是对角矩阵，而且对角元素相乘本身就交换。

例题

一对不可交换的矩阵

取

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}.

则

AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad BA = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}.

因此 $AB \ne BA$ 。

这种例子不是小插曲，而是提醒我们：矩阵恒等式里，因子的次序绝不能乱改。

定理

反对称矩阵的可交换测试

若 $A$ 和 $B$ 都是反对称方阵，则

AB \text{ 对称 } \iff AB = BA.

证明

为什么成立

例题

对称矩阵与反对称矩阵的组合

设

S = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad K = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}.

这里 $S$ 是对称矩阵， $K$ 是反对称矩阵，但二者不交换：

SK = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}, \qquad KS = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}.

若某一对同类矩阵真的可交换，则它们的乘积便会继续保留清楚的对称型态。

特殊矩阵

特殊矩阵的定义方式很直接：看哪些位置必须是 0。这使它们比一般矩阵更容易阅读与计算。

定义

对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵

对角矩阵的所有非对角元素都是 0
上三角矩阵的主对角线下方全部是 0
下三角矩阵的主对角线上方全部是 0

例题

三角矩阵的转置

若

U = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix},

则

U^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}.

所以上三角矩阵的转置是下三角矩阵。

几个结构性事实要一起记：

两个对角矩阵相乘仍是对角矩阵
两个上三角矩阵相乘仍是上三角矩阵
两个下三角矩阵相乘仍是下三角矩阵

对角矩阵尤其简单：

\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)\, \operatorname{diag}(e_1,\dots,e_n) = \operatorname{diag}(d_1 e_1,\dots,d_n e_n).

这也是为什么同大小的对角矩阵彼此都可交换。

常见错误

不要把零结构和矩阵本身混淆

上三角矩阵可以在对角线上方有很多非零元素，但对角线下方一定是 0。对角矩阵更严格：所有非对角元素都必须是 0。

分块矩阵

大矩阵若分成几个小块，往往更容易阅读。分块矩阵仍然只是矩阵，只是多了一层组织方式。

定义

分块矩阵

若把矩阵用横线和竖线分隔成若干子矩阵，这些子矩阵就叫做 block（分块）。

例如

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 6 & 3 \\ 7 & 8 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix},

其中

A_{11} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad A_{12} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}, \quad A_{21} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}, \quad A_{22} = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.

在分块层面，转置只会把块的位置互换，并且把每一块本身也转置：

A^T = \begin{bmatrix} A_{11}^T & A_{21}^T \\ A_{12}^T & A_{22}^T \end{bmatrix}.

这其实就是同一条“行与列对调”原理，只是从元素层面推广到分块层面。

例题

分块乘法

若分块大小相容，设

M = \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}, \qquad N = \begin{bmatrix} E & F \\ G & H \end{bmatrix}.

则

MN = \begin{bmatrix} AE + BG & AF + BH \\ CE + DG & CF + DH \end{bmatrix}.

这个公式看起来就像 $2 \times 2$ 的普通矩阵乘法，只不过每一个位置现在都是一个分块。

真正要留意的是相容性：只有当内部块的尺寸对得上，分块乘法才有意义。若分块方式不配合，这种写法就不能直接使用。

常见错误

转置乘积时，次序一定反转

正确公式是 $(AB)^T = B^T A^T$ ，不是 $A^T B^T$ 。

常见错误

对称不等于可交换

对称是单一矩阵的性质，可交换是两个矩阵之间的性质。两者不是同一件事。

常见错误

实数反对称矩阵的对角线一定是零

若 $A^T = -A$ ，每个对角元素都要等于自己的相反数，所以只能是 0。

常见错误

分块大小一定要相容

只有在块与块的尺寸能匹配时，才能把分块矩阵当成一个整体来乘。

快速检查

若 $A$ 是 $3 × 2$ 矩阵， $A^T$ 的大小是什么？

把行与列对调。

解答

答案

快速检查

实数反对称矩阵的对角元素必须是什么？

把 $A^T = -A$ 套在对角位置。

解答

答案

快速检查

哪一条公式正确： $(AB)^T = A^T B^T$ 还是 $(AB)^T = B^T A^T$ ？

记住转置会反转乘法次序。

解答

答案

快速检查

若 $S$ 是对称矩阵， $K$ 是反对称矩阵，则 $S^T$ 和 $K^T$ 各是多少？

直接读定义。

解答

答案

引导练习

快速检查

把 $A = [[2,1],[4,3]]$ 分解成对称部分与反对称部分。

使用 $S = 1/2 (A + A^T)$ 及 $K = 1/2 (A - A^T)$ 。

解答

引导解答

快速检查

若 $A$ 与 $B$ 都是对称矩阵，而 $AB = BA$ ，为什么 `AB` 也是对称矩阵？

使用转置公式与可交换假设。

解答

3.2 转置与特殊矩阵

MATH1030：线性代数 I

转置就是把行与列对调

转置

计算一个转置

转置恒等式的例子

转置的基本性质

对称矩阵与反对称矩阵

对称矩阵与反对称矩阵

辨认对称性

两个常用的转置型态

为什么成立

分解为对称部分与反对称部分

把矩阵分解成两部分

含转置的乘积是对称的

一行证明

可交换与不可交换的矩阵

可交换矩阵

一对不可交换的矩阵

反对称矩阵的可交换测试

为什么成立

对称矩阵与反对称矩阵的组合

特殊矩阵

对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵

三角矩阵的转置

不要把零结构和矩阵本身混淆

分块矩阵

分块矩阵

分块乘法

常见错误

转置乘积时，次序一定反转

对称不等于可交换

实数反对称矩阵的对角线一定是零

分块大小一定要相容

快速检查

若 AAA 是 3×23 × 23×2 矩阵，ATA^TAT 的大小是什么？

答案

实数反对称矩阵的对角元素必须是什么？

答案

哪一条公式正确：(AB)T=ATBT(AB)^T = A^T B^T(AB)T=ATBT 还是 (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T(AB)T=BTAT？

答案

若 SSS 是对称矩阵，KKK 是反对称矩阵，则 STS^TST 和 KTK^TKT 各是多少？

答案

引导练习

把 A=[[2,1],[4,3]]A = [[2,1],[4,3]]A=[[2,1],[4,3]] 分解成对称部分与反对称部分。

引导解答

若 AAA 与 BBB 都是对称矩阵，而 AB=BAAB = BAAB=BA，为什么 AB 也是对称矩阵？

引导解答

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若 $A$ 是 $3 × 2$ 矩阵， $A^T$ 的大小是什么？

哪一条公式正确： $(AB)^T = A^T B^T$ 还是 $(AB)^T = B^T A^T$ ？

若 $S$ 是对称矩阵， $K$ 是反对称矩阵，则 $S^T$ 和 $K^T$ 各是多少？

把 $A = [[2,1],[4,3]]$ 分解成对称部分与反对称部分。

若 $A$ 与 $B$ 都是对称矩阵，而 $AB = BA$ ，为什么 `AB` 也是对称矩阵？