3.2 转置与特殊矩阵

当矩阵乘法出现之后，“结构”便开始变得重要。有些矩阵因为元素排列有特定 形式，所以更容易分析。转置正是辨认这些结构的主要工具之一。

转置就是把行与列互换

所以 $A$ 的每一行都会变成 $A^T$ 的一列，而 $A$ 的每一列都会变成 $A^T$ 的一行。

有两条基本恒等式值得熟记：

$$(A^T)^T = A, \qquad (A + B)^T = A^T + B^T.$$

若乘积有定义，转置还会把乘积次序反过来：

$$(AB)^T = B^T A^T.$$

这个“反序”不是小细节，而是行乘列规则被反转后的结果。

对称矩阵与反对称矩阵

有些方阵与自己的转置一样；有些则只差一个负号。

对称矩阵沿主对角线反射后不变；反对称矩阵反射后会整体变号。

要特别注意：实数反对称矩阵的主对角线元素必定全是 0，因为每个对角元素 都要等于自己的相反数。

次序重要：可交换与不可交换

课堂笔记一再强调，矩阵乘法一般不具交换性。不过，也有某些矩阵对是可以交 换的。

可交换是特殊情况，不是默认情况。

所以任何矩阵恒等式都必须保留因子的次序，不能随手调换。

特殊矩阵之所以重要，在于它的形状

不少常见矩阵家族，都是由哪些位置必须是 0 来定义的。这些形状往往令后 面的计算与判断容易得多。

• 对角矩阵只容许主对角线上出现非零元素；
• 上三角矩阵在主对角线下方全是 0；
• 下三角矩阵在主对角线上方全是 0。

对这些矩阵来说，乘法与可逆性分析通常较简单，因为零元素的排列具有稳定性。

分块矩阵是在大矩阵内部整理结构

有时候，一个大矩阵最好视为若干较小矩阵拼接而成，这就是分块记号。

例如

$$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}$$

就是由四个小块组成的分块矩阵。这不是一种新矩阵，而是一种较有纪律的阅读 方法：把大矩阵拆成较清楚的部分。

只要大小配对正确，分块加法与分块乘法都遵循与普通矩阵运算相同的形式。好 处是你可以一次处理一块，而不是每次都盯着全部元素。

常见错误

快速检查

练习

相关笔记

本节建立在 3.1 矩阵乘法与单位矩阵 之上。若想看解集结构，下一节可读 4.1 齐次方程组与零空间。