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2.4 解集的类型

用 RREF 严格分类线性方程组的解集，辨认主变量与自由变量，并说明为什么系统只能有唯一解、无穷多解或无解。

笔记系列

MATH1030：线性代数 I

以严谨方式整理的线性代数笔记，涵盖方程组、矩阵、结构与证明；互动只在真正有助理解数学时使用。

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全部笔记系列系列总览

章节 1

方程组

学习把方程读成完整的解集。

1.1

1.1 方程与解集

章节 2

矩阵与消元

建立矩阵直觉，并有目的地使用行化简。

2.1

2.1 矩阵基础

2.2

2.2 增广矩阵与行变换

2.3

2.3 高斯消元与最简行阶梯形

2.4

2.4 解集的种类

章节 3

矩阵代数

矩阵乘法、转置与结构化矩阵记号。

3.1

3.1 矩阵乘法与单位矩阵

3.2

3.2 转置与特殊矩阵

章节 4

解的结构

齐次方程组、零空间与完整解集的结构。

4.1

4.1 齐次方程组与零空间

章节 5

可逆性

理解什么情况下矩阵可以被反转，以及这件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩阵

会员

章节 6

向量空间

由矩阵程序走向空间结构、张成、无关与基底。

6.1

6.1 向量空间

会员

6.2

6.2 子空间

会员

6.3

6.3 线性组合与张成

会员

6.4

6.4 线性相依与线性无关

会员

6.5

6.5 基底与维数

会员

6.6

6.6 列空间、行空间与秩

会员

高斯消元并不是把矩阵化简之后就结束。做行化简的目的，是让化简后的矩阵可以 直接读出解集的结构。本节要把这种读法说清楚。

线性系统只有三种可能的结果：

  1. 恰好一个解；
  2. 无穷多个解；
  3. 没有解。

这个分类不是靠猜测，而是由增广矩阵在 RREF 中的主元位置决定。

主变量与自由变量

当一个一致的线性系统化成 RREF 之后，主元列会告诉你哪些变量是由其他变量所 决定；没有主元的列，则对应可以自由选取的变量。

定义

主变量与自由变量

设某一致线性系统的增广矩阵与一个 RREF 矩阵 BB 行等价。若 BB 的第 j 列 是主元列，则变量 xjx_j 称为主变量或依变量。没有主元的变量称为自由 变量。

这个术语很重要，因为它告诉你最后的答案应该如何写：自由变量成为参数，主变 量则用这些参数表示出来。

一致性的判准

第一个问题不是系统有一个解还是很多解，而是它到底有没有解。

定理

由 RREF 判断一致性

设 AA 为一个 m×nm \times n 线性系统的增广矩阵，BB 为与 AA 行等价的 RREF。则该系统不一致，当且仅当 BB 的最后一列是主元列。

等价地说，系统不一致，当且仅当 BB 含有如下形式的一行：

[00⋯0d]其中 d≠0\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & \cdots & 0 & d \end{array} \right] \qquad\text{其中 } d \neq 0

这样的一行代表方程

0=d0 = d

当 d≠0d \neq 0 时显然不可能成立，所以一旦出现矛盾行，就立刻知道系统无解。

为什么只有三种情况

一旦知道系统是一致的，剩下的问题便只剩下自由变量有多少个。

定理

用主元数目分类

假设一个 m×nm \times n 线性系统是一致的，且其增广矩阵与某个有 r 个主元列 的 RREF 行等价。则 r≤nr \le n。此外：

  1. 若 r=nr = n，系统有唯一解；
  2. 若 r<nr < n，系统有无穷多解。

原因其实是结构性的：

  • 若 r=nr = n，每一个变量列都有主元，因此没有自由变量。
  • 若 r<nr < n，则 n−r>0n - r > 0，至少有一个自由变量。
  • 只要系统一致，而又有自由变量，该自由变量便可取任意实数值，因此立刻产生 无穷多个解。

把一致性定理与主元数目定理合起来，便得到标准的三分法。

定理

线性系统解集的三分法

任何线性方程组的解集恰好属于以下三类之一：

  1. 唯一解；
  2. 无穷多解；
  3. 无解。

三个 RREF，三种读法

化简后的矩阵已经把整个故事写在眼前，关键只在于你是否知道要看什么。

例题

先读矩阵，再谈求解

考虑以下三个 RREF 增广矩阵。

第一个：

[10301−2]\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \right]

两个变量列都是主元列，所以没有自由变量。系统有唯一解

x1=3,x2=−2x_1 = 3,\qquad x_2 = -2

第二个：

[12050000]\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

第 1 列是主元列，但第 2、3 列都不是，所以 x2x_2 与 x3x_3 是自由变量。方 程为

x1+2x2=5x_1 + 2x_2 = 5

故

x1=5−2x2x_1 = 5 - 2x_2

因此解集可写成

{(5−2s, s, t)∣s,t∈R}\{(5 - 2s,\ s,\ t) \mid s, t \in R\}

第三个：

[103001]\left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

最后一行表示 0=10 = 1，因此系统不一致，没有解。

要养成的阅读习惯是：

  1. 先检查有没有矛盾行；
  2. 再找主元列；
  3. 然后数自由变量；
  4. 最后把主变量用自由变量写出来。

一个较大的参数化例子

源材料特别强调：当系统有自由变量时，答案必须写成完整的集合，而不能只说 “有很多解”就结束。

例题

把解集完整写出来

设某个五变量系统的 RREF 为

[1−100360010−21000149000000]\left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 & 3 & 6 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

第 1、3、4 列是主元列，所以 x1x_1、x3x_3、x4x_4 是主变量；第 2、5 列不 是主元列，所以 x2x_2 与 x5x_5 是自由变量。

由各行可读得

x1−x2+3x5=6,x3−2x5=1,x4+4x5=9\begin{aligned} x_1 - x_2 + 3x_5 &= 6, \\ x_3 - 2x_5 &= 1, \\ x_4 + 4x_5 &= 9 \end{aligned}

令

x2=s,x5=tx_2 = s,\qquad x_5 = t

则

x1=6+s−3t,x3=1+2t,x4=9−4t\begin{aligned} x_1 &= 6 + s - 3t, \\ x_3 &= 1 + 2t, \\ x_4 &= 9 - 4t \end{aligned}

因此解集为

{(6+s−3t, s, 1+2t, 9−4t, t)∣s,t∈R}\{(6 + s - 3t,\ s,\ 1 + 2t,\ 9 - 4t,\ t) \mid s, t \in R\}

两个自由变量便产生两个参数，所以解集是一个二参数族。

当变量比方程还多时的一个推论

课堂里经常遇到的情况，是变量数多于方程数，而系统又是一致的。

定理

若 n>mn > m 而系统一致，则必有无穷多解

假设一个一致线性系统有 m 条方程、n 个变量，且 n>mn > m。则该系统必有 无穷多解。

原因是：在 RREF 中最多只会有 m 个非零行，因此主元列最多只有 m 个。若 n>mn > m，则 n 个变量列中必然至少有一列不是主元列，所以至少有一个自由变 量。一致性再加上自由变量，便立刻推出无穷多解。

这个推论不是说每个未知数更多的系统都一定有解；它只是在说，一旦这类系 统一致，便不可能只有唯一解。

用交互模块比较三种情况

以下分类器的价值，在于它把阅读步骤拆清楚：先看矛盾行，再找主元，然后数剩 下多少自由变量。

边读边试

读出解集的形状

互动分类器会比较三个代表性的化简矩阵，并解释它们各自代表什么。

1002
010-1
0013

为什么成立

每个变量都是主元变量，因此方程组有唯一解。

常见错误

常见错误

自由变量不是“还没算完”

自由变量是系统本身的真实结构，不是计算尚未完成。它表示解集需要用参数表 示；代数工作其实已经完成，只是答案是一族向量，而不是单一点。

常见错误

零行不等于矛盾行

[00000]\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]

这一行不会增加任何条件，与一致性完全相容；但

[00001]\left[ \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

则是一条矛盾行，会使系统不一致。

快速检查

快速检查

行 [0001]\left[\begin{array}{ccc|c}0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right] 告诉你这个系统具有什么性质？

把这一行直接读成一条方程。

解答

答案

快速检查

若一个四变量的一致系统有三个主元列，它有多少个自由变量？

数一数哪一列变量列不是主元列。

解答

答案

练习

快速检查

判断 RREF [102401−3−10000]\left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] 的解集类型，并把解集完整写出来。

先找自由变量，再求主变量。

解答

引导解答

快速检查

为什么一致线性系统不可能恰好只有两个解？

请用自由变量定理回答，不要只靠图像直觉。

解答

引导解答

相关笔记

先读 2.3 Gaussian elimination 与 RREF 可回顾行化简的操作流程；再读 2.2 增广矩阵与行变换 可重温增广矩阵与初等行变换的意义。

先备知识

2.3

2.3 高斯消元与最简行阶梯形

本单元重点词汇

本系列更多笔记

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2.3 高斯消元与最简行阶梯形

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