2.1 矩阵基础

在课程一开始，矩阵似乎只是把线性方程组整理得更紧凑的方法。但很快你就会 看到，矩阵本身也是需要独立研究的对象。往后的消元、零空间、可逆性与向量 空间语言，都依赖你先把下面几件事分清：

• 矩阵到底是什么；
• 两个矩阵什么时候才算相等；
• 在矩阵乘法出现之前，哪些基本运算已经定义好；
• 线性方程组如何被记录成矩阵叙述。

这一节先把这套语言讲清楚。

什么是矩阵

若一个矩阵有 m 行、n 列，就称它是 $m \times n$ 矩阵。本课中的元素通常 是实数，但定义本身并不限于实数。

矩阵写成长方形，不是排版习惯而已。每一行、每一列都带着位置信息；后面定 义矩阵相等、矩阵加法与矩阵乘法时，这些位置都不能随便打乱。

先看大小，再看元素

矩阵的大小写作 $m × n$。

• m 是行数。
• n 是列数。

如果 $m = n$，这个矩阵就是方阵。

不同大小的矩阵，不只是“看起来不同”，而是根本属于不同类型的对象。例 如 $2 \times 3$ 与 $3 \times 2$ 矩阵连逐项比较都做不到，因为位置对不上。

逐个元素去读

若 $A$ 是一个矩阵，$a_{ij}$ 表示第 i 行第 j 列的元素。这种记号很重 要，因为之后你可以精确指出一个数在矩阵中的位置。

记号 $a_{ij}$ 不是繁琐标记，而是往后处理矩阵相等、加法、数乘与乘法时的 正式语言。

矩阵相等要逐项检查

两个矩阵要相等，必须大小一致，而且所有对应位置的元素完全一样。

所以证明两个矩阵相等，往往就是逐项比较。

先有加法与数乘

矩阵乘法出场之前，已有两个基本运算。

其中“同样大小”是关键条件。若大小不同，矩阵加法根本未定义。

所有元素都是 0 的矩阵叫做零矩阵。对固定大小来说，它是加法单位元：

$$A + O = A.$$

矩阵把方程组整理成一个叙述

矩阵在课程中之所以这么早出现，正是因为它可以把线性方程组打包成较容易系 统处理的形式。

考虑方程组

$$\begin{aligned} x_1 + 2x_2 - x_3 &= 4, \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 &= 7. \end{aligned}$$

它的系数矩阵是

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix},$$

未知向量是

$$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},$$

常数向量是

$$b = \begin{bmatrix} 4 \\ 7 \end{bmatrix}.$$

于是整个系统就可以写成

$$Ax = b.$$

这不是单纯的缩写，而是把同一组系数、未知数与常数整理成一个往后可以做行 变换、谈零空间与可逆性的数学对象。

先预告一下乘法

下一节才正式讲矩阵乘法。这里先让你看到，为什么“行”与“列”的角色如此 重要：左矩阵的一行，会和右矩阵的一列共同决定输出中的一个元素。

你可以把下面的图当成下一节的预告。

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练习

相关笔记

若想看方程组如何变成矩阵，可先回看 1.1 方程与解集。 下一节可读 3.1 矩阵乘法与单位矩阵。