2.2 增广矩阵与行变换

一个线性方程组包含两类资料：变量前面的系数，以及右边的常数。当我们 解方程组时，变量符号、加号和等号的排列模式其实没有改变；真正会改变 的是那些数字。

这正是增广矩阵有用的原因。它把会被行变换改写的资料集中起来，让你不 必每做一步都重写所有变量符号。

为什么增广矩阵是恰当的包装

考虑一个有 m 条方程、n 个未知数的线性方程组：

$$\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1, \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2, \\ &\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m. \end{aligned}$$

参考笔记把它同时写成三种平行形式：

• 方程列表；
• 矩阵方程 $Ax = b$；
• 增广矩阵 [A|b]。

还有一种很重要的列向量读法。若 $A$ 的各列由左至右分别是 $a_1, a_2, \ldots, a_n$，那么

$$Ax = b \quad\Longleftrightarrow\quad x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots + x_n a_n = b.$$

这个观点在之后学习张成与列空间时会再出现。不过即使在现阶段，它也说 明了同一个线性系统可以从“按行阅读”和“按列阅读”两方面理解。

三种基本行变换

本地笔记只允许三种行变换：

1. 交换两行；
2. 用一个非零纯量乘一行；
3. 用一行的倍数加到另一行。

第二种操作里的“非零”非常重要。若你用 0 乘一行，就会把整条方程 抹掉，而不是把它等价地改写，所以这一步不再可逆。

为什么这些操作会保留解集

真正要紧的，不是行变换让矩阵“变得好看”；真正要紧的是它保留了解集。

参考笔记也特别强调“可逆”。这一点很重要，因为它把真正的等价改写， 和会破坏资料的捷径清楚分开。

把每一个行变换读成方程操作

做行变换时，不要只想“我在表格里改数字”。更准确的想法是：“我正在 用其中一条方程去改写另一条方程。”

下一节会仔细处理高斯消元。这里最重要的观念比较基础：增广矩阵只是同 一个系统的压缩记录，而行变换之所以合法，是因为它保留解集。

实际解题时的基本策略

参考笔记把矩阵方法概括成三步：

1. 先把方程组写成增广矩阵；
2. 用行变换把它化成较简单的矩阵；
3. 把较简单的矩阵重新读成较简单的方程组，或直接从够简单的形式读出 解答。

这个策略说起来很短，但只有当你一路清楚知道每一步保留了什么、想建立 哪种结构时，它才会真正可靠。

用下面的互动图去对照：每一个行变换符号，究竟对应系统的哪种受控改写。

常见错误与细节

快速检查

练习

预备链接

这一页建立在 1.1 方程与解集 和 2.1 矩阵基础， 并为 2.3 高斯消元与 RREF 作准备。