5.1 可逆矩阵

可逆性是线性代数中最早让你感受到“一个矩阵表示一个可逆过程”的地方。对于方阵，如果它可逆，就表示有另一个方阵能够把它完全还原。更重要的是，这个概念和许多其他说法其实等价：可以行化简成单位矩阵、每个方程组 $Ax = b$ 都有解、列向量线性无关，以及矩阵乘法可以被系统地反向处理。

这一页会把这些等价关系分开讲清楚。目标不只是会写 $A^{-1}$ ，而是能严格判断一个方阵什么时候可逆，以及怎样可靠地算出它的逆矩阵。

开始之前

可逆性会同时用到前面几节的多个概念。读这一节之前，最好已经熟悉以下习惯。

矩阵乘法有顺序：一般来说，AB 和 BA 是不同表达式。
单位矩阵 $I_p$ 的作用是让每个相容向量保持不变。
行化简是一串受控制的行变换；只要每一步基本行变换合法，它就是可逆的。
齐次系统 $Ax = 0$ 用来检测 $A$ 的列向量里是否有隐藏自由度。
方程组 $Ax = b$ 唯一可解，等价于行化简后没有自由变量。

本节的新重点是：对方阵来说，这些事实不是零散知识。可逆、能行化简到单位矩阵、没有非零零空间向量、每个系统都有唯一解，其实都是同一个定理包里的不同语言。

左逆和右逆

先不要直接进入方阵。对一般矩阵，左逆和右逆是两个不同概念。

定义

左逆与右逆

设 $A$ 是一个 $p \times q$ 矩阵。

如果一个 $q \times p$ 矩阵 $H$ 满足 $HA = I_q$ ，那么 $H$ 是 $A$ 的左逆。
如果一个 $q \times p$ 矩阵 $G$ 满足 $AG = I_p$ ，那么 $G$ 是 $A$ 的右逆。

这两个定义很重要，因为矩阵乘法不交换。对于长方形矩阵，左逆和右逆不一定同时存在；即使都存在，也不一定相同。方阵的情况更特殊。

维度也解释了“左”和“右”的含义。若 $H$ 是左逆，它出现在 $A$ 左边，满足 $HA = I_q$ ；若 $G$ 是右逆，它出现在 $A$ 右边，满足 $AG = I_p$ 。这两个要求不同，因为两个乘积的大小和数学意义都不同。

常见错误

不要把单侧逆命题当成对称命题

由 $HA = I_q$ 不能直接把乘法顺序反过来，推出 $AH = I_p$ 。矩阵乘法有方向。方阵可逆的强处，正是左右两个方向同时成立。

定义

可逆矩阵

如果 $A$ 是一个 $p \times p$ 方阵，并且存在另一个 $p \times p$ 矩阵 $B$ 使得

BA = AB = I_p,

那么 $A$ 称为可逆。矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作 $A^{-1}$ 。

定理

逆矩阵是唯一的

如果 $B$ 是 $A$ 的左逆，而 $C$ 是 $A$ 的右逆，那么 $B = C$ 。所以可逆矩阵只有一个逆矩阵。

证明

为什么逆矩阵唯一

什么叫可逆

可逆本质上就是“可以完全反过来”。 $A$ 做一次变换之后，如果 $A^{-1}$ 存在，就能把结果准确地拉回原位。

单位矩阵 $I_p$ 之所以出现，是因为它不会改变任何向量：

I_p x = x

对任何相容向量 x 都成立。逆矩阵就是让你回到这个“不被改变”的状态的矩阵。

例题

对角矩阵最容易看出逆矩阵

设

D = \operatorname{diag}(2, -1, 3).

那么

D^{-1} = \operatorname{diag}\left(\tfrac{1}{2}, -1, \tfrac{1}{3}\right).

原因很直接：对角线上的非零元素变成倒数，其余位置的零保持不变。把 $D$ 和 $D^{-1}$ 相乘，就会得到 $I_3$ 。

行化简和逆矩阵

实际计算逆矩阵时，最可靠的方法是行化简。课程材料的核心想法分成两步：

行变换矩阵本身可逆，而且它的逆就是反向行变换矩阵；
一个方阵可逆，当且仅当它能够被行化简到 $I_p$ 。

定理

行变换矩阵是可逆的

如果 $\rho$ 是一个对 p 行矩阵进行的行变换，而 $\bar{\rho}$ 是对应的反向行变换，那么行变换矩阵 $M[\rho]$ 和 $M[\bar{\rho}]$ 满足

M[\rho]^{-1} = M[\bar{\rho}], \qquad M[\bar{\rho}]^{-1} = M[\rho].

所以每一步行化简，其实都是在左乘一个可逆矩阵。这个观点会让后面的很多证明更清楚。

定理

可逆性和行化简

对一个方阵 $A$ ，以下命题等价：

$A$ 可逆；
$A$ 与 $I_p$ 行等价；
$A$ 是若干个行变换矩阵的乘积；
$A$ 是非奇异矩阵。

所以当你把 $A$ 和 $I_p$ 并排写成 $[A | I_p]$ ，再做行化简时，如果左边最后变成 $I_p$ ，右边就会读出 $A^{-1}$ 。

边读边试

跟着看一个用行化简求逆的例子

互动示范让你逐步把 [A | I] 化简，直到左边变成 I。

由 [A | I] 开始。若 A 可逆，行化简会把左边化成 I。

1	2	1	1	0	0
0	1	1	0	1	0
2	3	4	0	0	1

上面的交互示范直接展示“把 [A | I] 化到左边变成 $I$ ”到底是什么意思。它不是定义本身，而是和定义完全一致的计算方法。

边读边试

跟着走完一条行化简路径

互动步骤器会带你走完一条完整的消元路径，逐步显示行变换、正在处理的主元，以及每一步得到的矩阵。

1	2	2	4
1	3	3	5
2	6	5	6

行变换

先在第 1 列选主元。

要留意什么

第 1 列的第一行已经有方便的主元 1，所以暂时不用换行。

先由增广矩阵开始。第一个主元的工作，是帮我们把它下面的元素清掉。

第二个交互工具显示一条完整的消元路径。对于可逆矩阵，重点不是“做了多少步”，而是“左边最后真的化成了 $I_p$ ”。

等价表述

可逆性有一个非常重要的“字典”：它可以用很多不同语言来描述。

定理

识别可逆矩阵的等价条件

设 $A$ 是一个 $p \times p$ 矩阵。以下命题等价：

$A$ 可逆。
$A$ 与 $I_p$ 行等价。
$A$ 是若干个行变换矩阵的乘积。
$A$ 有左逆。
$A$ 有右逆。
$A$ 是非奇异矩阵。
对每个 p 维列向量 b，方程组 $Ax = b$ 都相容。
对每个 p 维列向量 b，方程组 $Ax = b$ 都有唯一解，且解为 $x = A^{-1}b$ 。

其中两个最实用：

第 7 点说明： $A$ 的列向量张成 $R^p$ 。
第 8 点说明：一旦可逆，就不只是“有解”，而是可以直接写出解。

所以可逆性正是矩阵解方程组时最核心的代数条件。

如何使用可逆性的等价字典

上面的等价条件不是拿来死背的一长串列表，而是解题工具。做题时，应选择最接近已知信息的那一种表述。

如果题目给了行化简过程，就读主元位置：方阵可逆，当且仅当每一列都有主元。
如果题目给了 $A^{-1}$ 或某个方阵的单侧逆，就用单位矩阵和矩阵乘法做代数推理。
如果题目给了非零向量 v 且 $Av = 0$ ，就用零空间条件证明 $A$ 不可逆。
如果题目问所有系统 $Ax = b$ ，就把问题翻译成“每个 b 是否都有唯一原像”。

例题

非零零空间向量可以证明不可逆

设 $A$ 是方阵，并且

v = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} \ne 0, \qquad Av = 0.

那么 $A$ 不可能可逆。理由是：若 $A^{-1}$ 存在，把 $Av = 0$ 左乘 $A^{-1}$ ，就会得到

A^{-1}Av = A^{-1}0.

左边等于 v，右边等于 0，于是会推出 $v = 0$ 。这和已知的非零向量矛盾。因此，只要找到一个非零的 $Ax = 0$ 解，就已经证明 $A$ 是奇异矩阵。

例题

用逆矩阵解方程组

设

A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad b = \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix}.

若 $Ax = b$ ，两边左乘 $A^{-1}$ ：

x = A^{-1}b = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ -3 \end{bmatrix}.

逆矩阵不只是“把 $A$ 反过来”的符号，它给出了唯一解的明确公式。

从可逆矩阵角度理解行等价

现在把行变换观点再向前推进一步：不只把行等价理解成一连串行变换，而是把整个过程打包成左边乘上一个可逆矩阵。

定理

行等价等同于左乘一个可逆矩阵

设 $A$ 和 $B$ 是有 p 行的矩阵。以下命题等价：

$A$ 和 $B$ 行等价；
存在一个可逆的 $p \times p$ 矩阵 $G$ ，使得

B = GA.

并且一旦 $B = GA$ ，就同时有

A = G^{-1}B.

这个定理不是另一种计算技巧，而是对同一现象更干净的表达。任何有限步行变换都可以压缩成左边一个可逆矩阵 $G$ ；反向行变换则由 $G^{-1}$ 编码。

例题

把行等价读成一条矩阵等式

设

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad G = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

矩阵 $G$ 正是行变换

R_2 \leftarrow R_2 - R_1

对应的行变换矩阵。所以

GA = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}.

如果把这个新矩阵记作 $B$ ，那么就有 $B = GA$ 。这一条等式已经完整记录了这次行变换。因为 $G$ 可逆，所以 $A$ 和 $B$ 行等价。

它的理论价值很高。只要知道行等价就是左乘一个可逆矩阵，后面很多“什么量被保留”的结论都可以一行说明。

定理

行变换保留对应列向量之间的线性关系

设 $A$ 和 $B$ 是行等价的 $p \times q$ 矩阵，并把它们的列写成

A = [a_1 \; a_2 \; \cdots \; a_q], \qquad B = [b_1 \; b_2 \; \cdots \; b_q].

如果

a_j = \alpha_1 a_{k_1} + \alpha_2 a_{k_2} + \cdots + \alpha_n a_{k_n},

那么必然有

b_j = \alpha_1 b_{k_1} + \alpha_2 b_{k_2} + \cdots + \alpha_n b_{k_n}.

特别地，对应列之间的线性相关和线性无关，都会被行等价保留。

一旦知道 $B = GA$ ，证明就很短。把 $A$ 的列关系左乘 $G$ ，由矩阵乘法的线性性质可得

Ga_j = \alpha_1 G a_{k_1} + \alpha_2 G a_{k_2} + \cdots + \alpha_n G a_{k_n},

这正是 $B$ 的对应列满足同一组系数关系。

这个结果就是从行化简走向列语言的桥梁。行变换会改变列向量本身，但不会改变哪些列是多余的，也不会改变某一列如何由其他列线性表示。

为什么 RREF 是唯一的

在每个行等价类里，最简行阶梯形其实只有一个。这一点很容易被忽略，但它正是后面定义能够成立的基础。

定理

每个行等价类只有一个最简行阶梯形

设 $A$ 是一个矩阵， $B$ 和 $C$ 都是 reduced row-echelon form。若 $B$ 与 $A$ 行等价，而 $C$ 也与 $A$ 行等价，那么

B = C.

标准证明会对秩做数学归纳。核心策略是：

从左到右比较主元列；
用“线性关系被保留”来迫出相同的主元位置；
再证明每一个自由列都必须以同样的系数由前面的主元列组合而成。

所以 RREF 不只是“某个方便的最后形状”，而是该行等价类中唯一的最后形状。

定义

秩

一个矩阵的秩，就是它的 reduced row-echelon form 中主元的数目。

这个定义之所以成立，正因为 RREF 是唯一的。如果不同消元路径会得到不同 RREF，那么主元数目就会跟算法一起改变，rank 便不会是良定的。

列向量的无关与线性组合

可逆性也可以用列向量语言来读。

定理

可逆性和列向量

对一个 $p \times p$ 矩阵 $A$ ，以下命题等价：

$A$ 可逆；
$A$ 的列向量线性无关；
$R^p$ 中每个向量都可以写成 $A$ 的列向量的线性组合。

这三句话其实是同一件事的三种说法。

如果列向量线性无关，就表示没有一列是多余的。如果列向量张成 $R^p$ ，就表示每个目标向量都能构造出来。对方阵来说，这两个条件同时成立，正是可逆。

转置和幂次

可逆性和转置也相容。

定理

转置与幂次

如果 $A$ 可逆，那么：

$A^t$ 也可逆，而且 $(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t$ ；
$A^n$ 对每个整数 n 都可逆，而且 $(A^n)^{-1} = (A^{-1})^n$ 。

转置结果方便你把关于列的命题改写成关于行的命题；幂次结果则适合处理重复出现的变换。

乘积等于单位矩阵时怎样推理

有些练习题不会直接给你一个矩阵并要求求逆，而是给出

ABCD=I

这类乘积关系，然后问哪些较短乘积或循环重排必然可逆。正确方法不是把矩阵任意交换顺序，而是小心分组，并使用方阵情形下的一侧逆信息。

定理

方阵情形下，一侧单位等式已经足够

设 $P$ 和 $Q$ 是同大小方阵。若

PQ=I,

则 $P$ 和 $Q$ 都可逆，而且

Q=P^{-1}, \qquad QP=I.

这是方阵特别重要的原因之一。对于长方形矩阵，一侧逆不一定是双侧逆；但在本节的方阵设定中，可逆性等价字典允许我们把一侧单位等式提升为真正的逆矩阵关系。

例题

由 $ABCD=I$ 得到循环恒等式

假设 A,B,C,D 都是 $5 \times 5$ 矩阵，且

ABCD=I_5.

先把乘积分组成

(ABC)D=I_5.

由一侧单位等式的定理，ABC 和 $D$ 互为逆矩阵。因此

DABC=I_5.

再用已经证明的循环等式继续分组，可以得到

CDAB=I_5, \qquad BCDA=I_5.

所以 BCDA、CDAB 和 DABC 确实必然等于 $I_5$ 。但像 DCBA 或 DBAC 这些任意重排则没有被迫成立；矩阵乘法仍然不可交换。

安全的解题流程是：

除非有定理支持，否则保持题目给出的顺序；
把相邻因子分组成 $PQ=I$ ；
用方阵可逆性把它反向成 $QP=I$ ；
只在已证明的等式上继续推理。

如何处理可逆性题目

当题目问一个矩阵是否可逆时，不要一开始就随机猜逆矩阵的元素。先判断哪种证据最省力。

先确认矩阵是方阵。非方阵没有本节意义下的双侧逆。
如果给出具体元素，就行化简，并检查每一列是否都有主元。
如果后面课程中已经给出行列式，可用 $det(A) \ne 0$ ；在行列式出现之前，主要用主元、秩或零空间。
如果题目给出候选逆矩阵，就按需要的顺序相乘，检查是否得到单位矩阵。
如果题目给出非零零空间向量或列关系，就可以立即推出不可逆。

这样的顺序能避免无意义的长计算。关键不是做最多步骤，而是选一个合法的等价条件，并把它用清楚。

例题

用行化简求逆矩阵

设

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}.

先写出 $[A | I_2]$ ：

\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 5 & 0 & 1 \end{array}\right].

先消去左下角的 3：

\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -3 & 1 \end{array}\right].

再把第二行除以 $-1$ ，然后清掉第一行第二列：

\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & -1 \end{array}\right].

因此

A^{-1} = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}.

重点不只是算出答案，而是看清楚：当左边变成单位矩阵时，右边自然就是逆矩阵。

练习式逆矩阵计算

在进阶练习中，逆矩阵问题通常不会像第一个 $2 \times 2$ 例子那样短。矩阵可能含有参数，或者行化简只以压缩步骤呈现。不过核心规则不变：

[A \mid I_p] \sim [I_p \mid B] \quad\Longrightarrow\quad B = A^{-1}.

若左边不能化成 $I_p$ ，矩阵就不可逆；若左边化成 $I_p$ ，右边不是附属计算，而正是逆矩阵。

例题

由行化简得到参数化逆矩阵

对实数 $\alpha$ ，令

A_\alpha = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & \alpha \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}.

把增广矩阵 $[A_\alpha \mid I_4]$ 行化简，得到

\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 5-\alpha & -2 & -1 & \alpha-2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \alpha & 0 & 1 & -\alpha \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].

由于左边对每个实数 $\alpha$ 都是 $I_4$ ，矩阵 $A_\alpha$ 对每个实数 $\alpha$ 都可逆，而且

A_\alpha^{-1} = \begin{bmatrix} 5-\alpha & -2 & -1 & \alpha-2 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ \alpha & 0 & 1 & -\alpha \\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

请注意这个结论的意思。参数仍然留在逆矩阵中；它不是需要解出的未知数。行化简真正说明的是：没有任何 $\alpha$ 会让左边失去主元。

常见错误

不要把每个参数都当成限制条件

有时参数出现，是因为答案是一族逆矩阵，而不是因为矩阵在某些值下失效。限制来自缺少主元或非法除以零，不是来自符号本身。

读取已给出的行化简表格

较长的逆矩阵题目，往往不会要求你从头把每一个步骤都重做，而是给出行化简链中的某些中间阶段。只要能读懂这条链的结构，这些资料已经足够。每次应先问：

左边区块是什么形状？这迫使右边区块代表什么？

如果某个行操作序列把

[A \mid I_p] \quad\text{化成}\quad [I_p \mid D],

那么 $A$ 可逆，而且 $D=A^{-1}$ 。如果最后左边区块只是一个缺少主元列的行阶梯形，即使右边区块看起来很复杂，也不能把它读成逆矩阵。

例题

由行化简表格恢复 $A$ 并解转置系统

假设一个行化简表格显示 $[A \mid I_4]$ 与 $[I_4 \mid D]$ 行等价，其中

D= \begin{bmatrix} 3 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ -3 & 1 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.

这个最终形状本身已经说明

A^{-1}=D.

如果表格前半部允许我们反向读取最初几个行操作，原本的左边区块可恢复为

A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}.

现在令

g= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}.

要求解 $A^t x=g$ ，不需要从头再行化简一次。因为 $A$ 可逆，所以 $A^t$ 也可逆，并且

(A^t)^{-1}=(A^{-1})^t=D^t.

因此

x=(A^t)^{-1}g=D^t g = \begin{bmatrix} -6 \\ 1 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix}.

这个计算很短，是因为行化简表格已经完成了主要工作。

例题

用主元列读四个逆矩阵计算

以下每个矩阵都用同一个方法处理：先行化简 $[A \mid I_4]$ ，先看左边区块的主元模式；只有当左边区块变成 $I_4$ 时，右边区块才可读作逆矩阵。

情况 (a)。 对

A_1= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 2 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & 3 & 0 & 3 \\ 4 & 2 & 2 & 4 \end{bmatrix},

其中一个行阶梯阶段的左边区块是

A_1^\sharp= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 1 & -4 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

第四列没有主元，所以 $A_1$ 不可逆。

情况 (b)。 对

A_2= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 4 & 3 \end{bmatrix},

行化简可达到 $[I_4 \mid A_2^{-1}]$ ，其中

A_2^{-1}= \begin{bmatrix} 3 & -2 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ -3 & 1 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}.

情况 (c)。 对

A_3= \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 30 \\ 3 & 2 & 0 & 15 \\ 0 & 1 & 3 & 15 \\ 1 & 1 & 1 & 10 \end{bmatrix},

其中一个行阶梯阶段的左边区块是

A_3^\sharp= \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 30 \\ 0 & 1 & 3 & 15 \\ 0 & 0 & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

同样有主元列缺失，所以 $A_3$ 不可逆。

情况 (d)。 对

A_4= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 3 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix},

行化简可达到 $[I_4 \mid A_4^{-1}]$ ，其中

A_4^{-1}= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & -2 \\ -2 & -2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & -2 \\ 0 & -3 & 1 & 3 \end{bmatrix}.

这个例子故意重复同一种判读。重点正在于：每一个情况都先由左边区块判断可逆性，然后才决定能否把右边区块解读为逆矩阵。

例题

最后的单位区块控制整条行操作链

假设一条行操作链把 $[A \mid I_5]$ 经过中间矩阵 $[B \mid C]$ ，最后化成 $[D \mid E]$ 。在最后几步之后，所得增广矩阵是

[D \mid E] = \left[ \begin{array}{ccccc|ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 9 & 1 & -18 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -6 & 2 & 11 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -3 & 0 & 6 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -6 & 0 & 12 & 2 & 1 \end{array} \right].

左边区块是 $I_5$ ，所以 $D=I_5$ ，而

A^{-1}=E= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 9 & 1 & -18 & -3 & -2 \\ -6 & 2 & 11 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 6 & 1 & 0 \\ -6 & 0 & 12 & 2 & 1 \end{bmatrix}.

于是可以立即推出 $A^t$ 可逆，且

(A^t)^{-1}=E^t = \begin{bmatrix} 1 & 9 & -6 & -3 & -6 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ -2 & -18 & 11 & 6 & 12 \\ 0 & -3 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

同一条行操作链也可以被读成一次左乘。令 $H$ 为整条链中所有行操作矩阵的乘积。因为 $HA=I_5$ 且 $HI_5=E$ ，所以 $H=A^{-1}$ 。因此，如果同一批行操作把 $F+I_5$ 化成 $A^3+3A+I_5$ ，就有

A^3+3A+I_5=A^{-1}(F+I_5).

左乘 $A$ 得到

F+I_5=A(A^3+3A+I_5)=A^4+3A^2+A,

所以

F=A^4+3A^2+A-I_5.

这里的教训是：行化简表格不只是数值计算，它也记录了一个在左边相乘的可逆矩阵。

不用行列式的证明练习

有些证明练习会刻意要求不用行列式处理可逆性。这是很好的训练：很多逆矩阵事实其实是关于乘积、单位矩阵与零空间的事实。

例题

由向量恒等式证明可逆

假设 $A$ 是 $7 \times 7$ 矩阵，而且

A^2x = Ax + x

对每个 $x \in R^7$ 都成立。把含有 $A$ 的项移到左边：

(A^2-A)x = x \qquad\text{对每个 }x.

因为 $A^2-A=(A-I_7)A$ ，这就是

((A-I_7)A)x = I_7x \qquad\text{对每个 }x.

若两个矩阵作用在每个向量上的结果都相同，它们就是同一个矩阵，所以

(A-I_7)A = I_7.

因此 $A-I_7$ 是 $A$ 的左逆。由于 $A$ 是方阵，一侧单位等式已经足够推出： $A$ 可逆，而且其逆矩阵是 $A-I_7$ 。

例题

用反证法证明某个多项式矩阵不可逆

假设 $A$ 和 $B$ 是两个不同的 $6 \times 6$ 矩阵，且

A^3=B^3, \qquad A^2B=B^2A.

我们证明 $A^2+B^2$ 不可逆。令

C=A^2+B^2.

先比较 CB 与 CA：

CB=(A^2+B^2)B=A^2B+B^3,

而

CA=(A^2+B^2)A=A^3+B^2A.

利用已知的 $A^2B=B^2A$ 和 $B^3=A^3$ ，可得

CB=CA.

如果 $C$ 可逆，左乘 $C^{-1}$ 就会得到 $B=A$ ，这与 $A$ 、 $B$ 不同矛盾。所以 $C=A^2+B^2$ 不可逆。

常见错误

不要把长方形矩阵的一侧逆当成另一侧逆

对于非方阵，左逆不一定等于右逆，甚至不一定存在。方阵则不同：一旦逆矩阵存在，它就同时是左逆和右逆，而且一定唯一。

常见错误

不要只凭外表判断可逆性

一个矩阵看起来简单，也不代表它一定可逆。正确方法是行化简，或者使用上面列出的等价条件。

常见错误

不要在未证明时任意交换因子

由 $ABCD=I$ 可以通过逆矩阵理论推出某些循环恒等式，例如 $DABC=I$ 。但这不代表可以把因子任意改排成 DCBA；除非已知矩阵彼此可交换，否则不能这样做。

练习

快速检查

假设 $A$ 可逆，而且 $AB = I_p$ 。证明 $B = A^{-1}$ 。

可以利用逆矩阵唯一性，也可以左乘 $A^{-1}$ 。

解答

引导解答

快速检查

假设 $(A-B)A=I$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是方阵。证明 $A$ 和 $B$ 可交换。

先使用方阵的一侧单位等式定理，再展开 $AB-BA$ 。

解答

引导解答

先读这些页

这一页特别依赖 2.3 高斯消元与 RREF、 3.1 矩阵乘法与单位矩阵和 3.2 转置与特殊矩阵。

5.1 可逆矩阵

MATH1030：线性代数 I

开始之前

左逆和右逆

左逆与右逆

不要把单侧逆命题当成对称命题

可逆矩阵

逆矩阵是唯一的

为什么逆矩阵唯一

什么叫可逆

对角矩阵最容易看出逆矩阵

行化简和逆矩阵

行变换矩阵是可逆的

可逆性和行化简

跟着看一个用行化简求逆的例子

跟着走完一条行化简路径

等价表述

识别可逆矩阵的等价条件

如何使用可逆性的等价字典

非零零空间向量可以证明不可逆

用逆矩阵解方程组

从可逆矩阵角度理解行等价

行等价等同于左乘一个可逆矩阵

把行等价读成一条矩阵等式

行变换保留对应列向量之间的线性关系

为什么 RREF 是唯一的

每个行等价类只有一个最简行阶梯形

秩

列向量的无关与线性组合

可逆性和列向量

转置和幂次

转置与幂次

乘积等于单位矩阵时怎样推理

方阵情形下，一侧单位等式已经足够

由 ABCD=IABCD=IABCD=I 得到循环恒等式

如何处理可逆性题目

例题

用行化简求逆矩阵

练习式逆矩阵计算

由行化简得到参数化逆矩阵

不要把每个参数都当成限制条件

读取已给出的行化简表格

由行化简表格恢复 AAA 并解转置系统

用主元列读四个逆矩阵计算

最后的单位区块控制整条行操作链

不用行列式的证明练习

由向量恒等式证明可逆

用反证法证明某个多项式矩阵不可逆

常见错误

不要把长方形矩阵的一侧逆当成另一侧逆

不要只凭外表判断可逆性

不要在未证明时任意交换因子

快速检查

如果 AAA 可逆，A−1AA^{-1}AA−1A 是什么？

答案

如果 AAA 可逆，齐次方程组 Ax=0Ax = 0Ax=0 会不会有非零解？

答案

如果 AAA 可逆，AtA^tAt 是否可逆？

答案

若 B=GAB = GAB=GA，而 GGG 可逆，同时 AAA 的列满足 a3=2a1−a2a_3 = 2a_1 - a_2a3​=2a1​−a2​，那么 BBB 的对应列必须满足什么关系？

答案

为什么定义 rank 时，RREF 的唯一性这么重要？

答案

若 v≠0v \ne 0v=0 且 Av=0Av = 0Av=0，AAA 可以可逆吗？

答案

假设 A,B,C,D 都是方阵，且 ABCD=IABCD=IABCD=I。哪一个循环等式必然成立：DABC=IDABC=IDABC=I 还是 DCBA=IDCBA=IDCBA=I？

答案

在上面的参数化逆矩阵中，当 α=3\alpha=3α=3 时，Aα−1A_\alpha^{-1}Aα−1​ 的 (1,4) 元素是多少？

答案

若对每个向量 x 都有 A2x=Ax+xA^2x=Ax+xA2x=Ax+x，哪个矩阵可作为 AAA 的逆矩阵？

答案

若行操作把 [A∣Ip][A \mid I_p][A∣Ip​] 化成 [Ip∣D][I_p \mid D][Ip​∣D]，DDD 是什么？

答案

若某个行操作乘积 HHH 满足 HA=IpHA=I_pHA=Ip​ 且 HIp=EHI_p=EHIp​=E，HHH 是什么？

答案

练习

假设 AAA 可逆，而且 AB=IpAB = I_pAB=Ip​。证明 B=A−1B = A^{-1}B=A−1。

引导解答

假设 (A−B)A=I(A-B)A=I(A−B)A=I，其中 AAA 和 BBB 是方阵。证明 AAA 和 BBB 可交换。

引导解答

由 $ABCD=I$ 得到循环恒等式

由行化简表格恢复 $A$ 并解转置系统

如果 $A$ 可逆， $A^{-1}A$ 是什么？

如果 $A$ 可逆，齐次方程组 $Ax = 0$ 会不会有非零解？

如果 $A$ 可逆， $A^t$ 是否可逆？

若 $B = GA$ ，而 $G$ 可逆，同时 $A$ 的列满足 $a_3 = 2a_1 - a_2$ ，那么 $B$ 的对应列必须满足什么关系？

若 $v \ne 0$ 且 $Av = 0$ ， $A$ 可以可逆吗？

假设 `A,B,C,D` 都是方阵，且 $ABCD=I$ 。哪一个循环等式必然成立： $DABC=I$ 还是 $DCBA=I$ ？

在上面的参数化逆矩阵中，当 $\alpha=3$ 时， $A_\alpha^{-1}$ 的 `(1,4)` 元素是多少？

若对每个向量 `x` 都有 $A^2x=Ax+x$ ，哪个矩阵可作为 $A$ 的逆矩阵？

若行操作把 $[A \mid I_p]$ 化成 $[I_p \mid D]$ ， $D$ 是什么？

若某个行操作乘积 $H$ 满足 $HA=I_p$ 且 $HI_p=E$ ， $H$ 是什么？

假设 $A$ 可逆，而且 $AB = I_p$ 。证明 $B = A^{-1}$ 。

假设 $(A-B)A=I$ ，其中 $A$ 和 $B$ 是方阵。证明 $A$ 和 $B$ 可交换。