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2.1 集合與集合運算

透過具體例子理解屬於、子集，以及主要的集合運算。

筆記系列

MATH1090：集合論

以嚴謹課程筆記方式整理的邏輯、集合與數系構造筆記，按互相關聯的小節撰寫，重視證明與例子。

語言

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章節 1

邏輯

處理陳述、連接詞與量詞的推理工具。

1.1

1.1 命題邏輯

1.2

1.2 真值表與邏輯等價

1.3

1.3 量詞與否定

章節 2

集合與關係

基本的集合語言、函數與關係。

2.1

2.1 集合與集合運算

2.2

2.2 函數與關係

章節 3

由構造得到的數系

自然數、整數與有理數如何構造，以及 Q 還欠缺甚麼。

3.1

3.1 自然數與 Peano 公理

3.2

3.2 歸納法與遞歸算術

3.3

3.3 由等價類構造整數

3.4

3.4 有理數與良定運算

3.5

3.5 Q 的缺口與 sqrt(2)

先複習 1.1 命題邏輯， 因為這一單元的記號常常要配合邏輯語言來讀。

甚麼是集合

定義

集合

集合是事物的集合。

若 x 是集合 AA 的元素，我們寫作 x∈Ax ∈ A；若不是，則寫作 x∉Ax ∉ A。

兩個集合相等，表示它們的元素完全一樣。

主要運算

| 運算 | 記號 | 讀法 | | --- | --- | --- | | 聯集 | A∪BA ∪ B | 屬於 AA 或 BB 的元素 | | 交集 | A∩BA ∩ B | 同時屬於 AA 和 BB 的元素 | | 差集 | A \ B | 屬於 AA 但不屬於 BB 的元素 | | 補集 | AcA^c | 在選定的全集中，位於 AA 外的元素 |

用一個具體例子看運算

例題

追蹤元素如何移動

設 A=1,2,4A = {1, 2, 4}，B=2,3,4B = {2, 3, 4}。

那麼：

  • A∪B=1,2,3,4A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
  • A∩B=2,4A ∩ B = {2, 4}
  • A B=1A \ B = {1}

若全集是 E=1,2,3,4,5E = {1, 2, 3, 4, 5}，則 Ac=3,5A^c = {3, 5}。

解答

快速檢查德摩根律

另外兩個你會見到的構造

本地材料亦會介紹兩個常用構造：

  • A×BA × B，笛卡兒積，是有序對 (a, b) 的集合。
  • P(A)，冪集，是 AA 的所有子集所組成的集合。

這兩個記號值得及早認得。

常見錯誤

常見錯誤

不要把補集和差集混為一談

AcA^c 要先有全集。A \ B 則是另一個集合運算。兩者不是同一回事。

小檢查

快速檢查

若 A=a,b,cA = {a, b, c} 且 B=b,c,dB = {b, c, d}，A∩BA ∩ B 是甚麼？

直接用交集的定義去想：只保留同時屬於兩個集合的元素。

解答

答案

讀到這裡，試一試

邊讀邊試

比較一對集合

互動探索器讓你把元素加入或移出 A 與 B，並即時看見運算結果改變。

集合 A

集合 B

聯集

{1, 2, 3, 4}

交集

{2, 4}

差集 A \ B

{1}

先備知識

這一節可以獨立閱讀。

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