歸納法不是魔術。它是一種證明模式，專門處理「對每個自然數都成 立」的命題。
同一章也用到加法與乘法的遞歸定義，所以要一直把基本情況和步驟 放在眼前。
遞歸加法
定義
加法的遞歸定義
對自然數 a 和 b，加法定義為：
這是一個遞歸定義。你先知道第二個輸入是 0 時的結果，再由較早
的值推出之後的每一步。
例題
由定義計算
把 2 寫成 S(S(0))，把 3 寫成 S(S(S(0)))。
那麼：
。
這就是通常叫做 5 的數。
常見錯誤
遞歸公式本身還不是證明
這些公式只告訴你運算怎樣定義，不會自動證明一個關於所有自然數 的命題。要做那一步，你還是要用歸納法。
先看互動步驟
下面的步驟器把一個歸納證明拆成基本情況、歸納假設、歸納步驟和結論。
邊讀邊試
跟著走一遍歸納證明
互動步驟器把歸納證明拆成三個會動的部分。
命題
命題：對每個自然數 n，都有 0 + n = n。
證明草圖
證明
為甚麼 可由歸納法得到
快問快答
快速檢查
加法的遞歸定義中，基本情況是哪一句？
想想哪一個輸入先被固定。
解答
答案
快速檢查
在歸納證明中，歸納假設是甚麼？
用一句短句回答。
解答
答案
建議先讀
如果你想先看自然數的正式設定，可以先讀 3.1 自然數與 Peano 公理。