4.3 完備性與 Q 的缺口

完備性是一種存在性要求

有序域可以支持運算與比較，卻仍有非空且有上界的子集缺少最小上界。完備性 排除的正是這種情形。由有理條件 $x^2\lt2$ 定義的集合，將說明 $Q$ 並不 滿足這項更強的要求。

定義

定義

完備有序集

有序集 $X$ 稱為完備，如果：

• 每個在 $X$ 中有上界的非空子集 $Y\subseteq X$ 都有 supremum；
• 每個在 $X$ 中有下界的非空子集 $Y\subseteq X$ 都有 infimum。

完備性要求的界必須屬於同一個環境集合：非空且有上界的子集要有最小 上界，非空且有下界的子集要有最大下界。

例題

有限全序集一定完備

若 $X$ 是有限全序集，則其每個非空子集都已經有最大元素與最小元素。這 兩個元素自然就是 supremum 與 infimum。

因此，有限全序集之所以完備，是因為所需的極端元素本來就在集合裡被取 到。

真正有趣的問題，是像 $Q$、$R$ 這樣的無限有序集。

有理數裡的經典反例

標準反例是

$$S=\{x\in Q\mid x^2\lt 2\}.$$

這個集合非空，因為 $1\in S$。它也在 $Q$ 中上有界，例如 $2$ 就是一個 上界。

若 $Q$ 是完備的，會發生甚麼？那麼 $S$ 應該在 $Q$ 中有 supremum。以下 整個論證正是在說：沒有任何有理數可以充當這個角色。

定理

Q 不是完備的

有序集 $(Q,\le)$ 不是完備的。

為甚麼沒有有理數能當作 sup(S)

若 $s$ 是上界，由於 $1\in S$，必有 $s\ge1$。特別地，$s\le0$ 不可能 是上界。因此比較平方以前，可以把上確界候選限制為正有理數。

兩種有理擾動

設 $s\in Q$ 且 $s\gt 0$。若 $s^2\lt 2$，令 $M=2-s^2$，並明確選擇

$$h=\frac12\min\left\{1,\frac{M}{2s+1}\right\}\gt 0.$$

這是正有理數，且 $h\lt 1$、$h\lt M/(2s+1)$，所以

$$(s+h)^2=s^2+h(2s+h)\lt s^2+M=2.$$

於是 $s+h\in S$ 且 $s+h\gt s$，故 $s$ 不是上界。

若 $s^2\gt 2$，令 $M=s^2-2$，並選擇

$$h=\frac12\min\left\{s,\frac{M}{2s}\right\}\gt 0.$$

此時 $r=s-h\gt 0$，而且

$$r^2=s^2-2sh+h^2\gt s^2-2sh\gt 2.$$

每個 $x\in S$ 都滿足 $x\lt r$：否則 $x\ge r\gt 0$ 會推出 $x^2\ge r^2\gt 2$，矛盾。因此 $r$ 是比 $s$ 更小的上界，違反最小性。 這裏 $r\gt 0$ 不可省略；負有理數即使平方大於 $2$，也不是 $S$ 的上界。

最後，前面的奇偶性證明排除了有理數 $s$ 滿足 $s^2=2$ 的可能。這些 情形窮盡正有理候選，所以 $S$ 在 $Q$ 中沒有上確界。整個證明只使用 有理數運算，沒有假設實數平方根或完備性。

完備性不等於最大性

「最大元」描述的是集合成員資格，而完備性描述的是界的存在原則。最大元 必須屬於子集；上確界則可能是環境集合中的端點，而子集始終達不到它。 反過來，即使環境有序集不完備，某個具體集合仍可能有上確界。完備性說 的是：環境中的每個非空且有上界的子集都有上確界，每個非空且有下界的 子集都有下確界。

例題

一個明確的有限全序計算

令 $X=\{-2,0,3\}$ 帶通常次序，$Y=\{-2,3\}$。在環境 $X$ 中，$Y$ 的唯一 上界是 $3$，所以 $\sup_X(Y)=3$；唯一下界是 $-2$，所以 $\inf_X(Y)=-2$。兩者都屬於 $Y$，因此都被取到。若改令 $Z=\{0,3\}\subseteq X$，它在 $X$ 中的上界仍只有 $\{3\}$，但下界是 $\{-2,0\}$。環境集合決定界的列表，而最大元與最小元仍由子集成員資格 決定。

例題

有下確界卻沒有最小元

正有理數集合 $Q_{>0}$ 沒有最小元：任給 $q>0$，$q/2$ 仍是正數 而且更小。然而 $0$ 是它在 $Q$ 中的下確界。確實，$0$ 是下界；若下界 $\ell>0$，則下界條件會要求 $\ell\le\ell/2$，這是不可能的。因此 $\inf_Q(Q_{>0})=0$，但最小元不存在。環境中的界與子集本身的元素， 因此是不同的要求。

稠密不等於完備

若 $a<b$ 是有理數，其中點 $(a+b)/2$ 也是有理數，並且嚴格位於兩者之間。 反覆取中點，可以在每個有理區間內找到更多有理數。這種稠密性比較的 是 $Q$ 中已有的點；完備性則要求每個非空且有上界的子集，都在 $Q$ 中有 最小上界。集合 $S$ 滿足有界條件，卻沒有這樣的有理界。

常見錯誤

近似不等於已經構造出邊界

方程 $x^2=2$ 的有理數夾界可以不斷收窄，但這個過程本身既沒有提供 $S$ 的有理上確界，也沒有定義一個新數。構造仍須給出對象，並證明它具有所需 的次序性質。

把擾動證明看成完備性檢驗

兩種擾動分別否定上確界定義中的不同條件：$s+h$ 否定上界條件，較小的 上界 $s-h$ 則否定最小性。兩種比較都需要正的候選，因為平方函數並非在 整個 $Q$ 上遞增。這兩項檢驗都沒有預先指向一個已存在的無理邊界。

例題

端點屬於集合的有界有理集合

令 $T=\{q\in Q:0\lt q\le1\}$。$1$ 屬於 $T$ 且是上界，因此它是最大元，並有 $\sup_Q(T)=1$。$0$ 是下界。若 $\ell>0$ 是另一個下界，當 $\ell\le1$ 時， $\ell/2$ 屬於 $T$ 且小於 $\ell$，與下界條件矛盾；當 $\ell>1$ 時，集合中的 $1$ 已經與 $\ell\le1$ 矛盾。因此 $\inf_Q(T)=0$，而 $T$ 沒有最小元。 與集合 $S$ 比較，這裏使用相同的界語言，但端點 $1$ 是有理數 且確實屬於集合，所以沒有完備性缺口。

$T$ 的上確界 $1$ 屬於 $Q$，而 $S$ 的每個有理候選都被排除。因此，一個 集合有上確界，不能推出環境有序集完備。完備性要求每個非空且有上界的 子集都有上確界，並對非空且有下界的子集提出對偶要求。

待包含 $Q$ 的完備有序域構造完成後，$S$ 便會在其中有上確界。記號 $\sup_Q(S)$ 與 $\sup_R(S)$ 涉及不同的存在性命題：前者不存在，後者則將 由構造得到保證。明確寫出環境，可以區分「缺少最佳界」與「已有有理點 之間還有其他點」這兩種問題。

快速檢查

思考檢查

為甚麼 2 是 $S=\{x\in Q:x^2<2\}$ 的上界？

若 x>2，x^2 會變成甚麼？

解答 · 答案

若 $x\gt 2$，則 $x^2\gt 4\gt 2$，所以這樣的 $x$ 不可能屬於 $S$。因此 $S$ 的每 個元素都不超過 $2$，故 $2$ 是上界。

思考檢查

為甚麼 Q 的稠密性不能推出 Q 的完備性？

用一句嚴謹的話回答。

解答 · 答案

稠密性只保證任意兩個不同有理數之間還能再插入有理數；完備性則要求每個非空且有 上界的子集都在 $Q$ 內擁有最小上界。集合 $S=\{x\in Q\mid x^2\lt 2\}$ 雖有無窮 多接近邊界的有理近似，卻仍然沒有有理 supremum。

練習

思考檢查

解釋為甚麼每個有限全序集都是完備的。

利用有限非空子集一定能取到最大與最小元素。

解答 · 引導解答

取有限全序集 $X$ 的任一非空子集 $Y$。由於 $Y$ 有限，我們總能逐一比 較並找出最大的元素與最小的元素。這兩個元素分別就是 $Y$ 的 maximum 與 minimum，因此也就是 $\sup(Y)$ 與 $\inf(Y)$。所以有限全序集一定完 備。

思考檢查

假設 Q 是完備的，那麼集合 $S=\{x\in Q:x^2<2\}$ 會被迫滿足甚麼？為甚麼這不可能？

直接把完備性的定義套到這個反例上。

解答 · 引導解答

若 $Q$ 完備，則每個在 $Q$ 中上有界的非空子集都必有 supremum。集合 $S$ 非空且上有界，所以它必須有某個有理數 $s$ 滿足 $s=\sup(S)$。但上 面的三種情況的論證說明，沒有任何有理數可以做到這件事。因此 $Q$ 不可能 是完備的。

相關筆記

可先讀 3.5 Q 的缺口與 sqrt(2) 及 4.2 上下界、上確界與下確界。 之後可接著讀 4.4 實數公理與第一次近似構造。