呢一節會把命題公式變成可以逐步計算嘅對象。當原子命題一旦固定之後， 真值表就可以透過檢查所有可能真假指派，去判斷一個複合公式到底係真定假。
呢件事聽落似乎機械，但其實數學意義好清楚：如果一個公式只牽涉 n
個命題變數，就只會有 種真假配置。真值表正正係把全部情況列晒出嚟，
所以唔會有暗藏情況漏咗。
真值表記錄緊乜
定義
真值表
一個命題公式 嘅 真值表，會列出 入面所有變數嘅 每一種真假指派，並記錄 喺每一行嘅真假值。
例如，如果公式只涉及 同 ，咁就有四行：
所以真值表唔只係一張表，而係一個完整嘅分類討論。
點樣穩陣咁造一張表
學生喺真值表出錯，通常唔係因為唔識某個連接詞，而係因為：
- 行冇列齊；
- 次序混亂；
- 未先算中間公式就急住寫最後一列。
比較可靠嘅做法係：
- 先列出原子命題嘅全部真假配置；
- 先計較簡單嘅子公式；
- 最後先計整個公式。
當公式包含多重連接詞時，呢個習慣尤其重要。
一個最重要嘅等價式
例題
點解 同 係同一句意思
考慮公式 同 。
| | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | | T | T | F | T | T | | T | F | F | F | F | | F | T | T | T | T | | F | F | T | T | T |
最後兩列逐行完全一致。
因此
呢個等價式喺初等邏輯入面非常重要。佢講清楚咗蘊含式只會喺「前件真、 後件假」嗰一行失敗。
邏輯等價
定義
邏輯等價
如果兩個公式 同 喺所有變數指派之下都得到相同真假值， 就話佢哋 邏輯等價，記作
邏輯等價比「啱啱喺某個例子一致」強得多。佢表示兩個公式其實定義咗同一個 truth function。
源材料亦特別提醒我哋，以下兩種寫法唔可以混為一談：
- 係一個新嘅 Boolean 公式；
- 係一個關於兩個公式嘅陳述。
兩者有關，但唔係同一樣嘢。
定理
等價同雙條件
兩個公式 同 邏輯等價，當且僅當
係一個永真式。
所以雙條件可以當成檢查工具：如果佢嘅最後一列全部都係真，咁兩個公式就 喺每一行都一致。
永真式、矛盾式同偶然式
定義
三種基本類型
設 係一個命題公式。
- 如果 喺每一行都真，佢就係 永真式。
- 如果 喺每一行都假，佢就係 矛盾式。
- 如果 有啲行真、有啲行假，佢就係 偶然式。
標準例子係：
佢係永真式；而
就係矛盾式。
呢個區分好重要，因為好多簡短邏輯論證本質上都係證明某個公式永遠真， 或者永遠假。
第二個例題
例題
用真值表檢查 De Morgan 定律
我哋檢查
| | | | | | | | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | T | T | T | F | F | F | F | | T | F | T | F | F | T | F | | F | T | T | F | T | F | F | | F | F | F | T | T | T | T |
最後兩列逐行一致，所以兩個公式邏輯等價。
呢個例子顯示咗真值表嘅典型用途：唔只係計某一個公式，而係證明一條等價律。
點解呢一節之後仲有用
真值表唔係邏輯課程嘅終點，但佢訓練兩個一直都會用嘅習慣：
- 把語法同意思分開處理；
- 檢查「所有情況」而唔係只睇一兩個例子。
之後學量詞、集合同證明時，呢種完整分類討論嘅要求會以更成熟嘅形式再出現。
常見錯誤
常見錯誤
只啱一兩行唔足夠
如果兩個公式只係喺某一行，甚至幾行入面一致，都唔足以證明等價。 等價要求嘅係所有可能指派都一致。
常見錯誤
唔好把 同 當成同一個符號
係放入真值表裏面計算嘅公式。 就係講兩個公式定義同一個 truth function 嘅陳述。
讀到呢度，試一試
邊讀邊試
跟著看一張真值表
互動工具讓你切換公式，並觀察每一列如何影響最後的真假。
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
小檢查
快速檢查
如果一個公式涉及三個命題變數，真值表要有幾多行？
用真假配置數量嘅規則回答。
解答
答案
快速檢查
點解 係永真式？
逐行情況回答，唔好只背結論。
解答
答案
快速檢查
同 是否邏輯等價？
指出至少一行令佢哋表現唔同。
解答
答案
練習
快速檢查
用真值表證明 。
先加中間列，唔好一步跳到最後答案。
解答