邏輯先從已經足夠完整、可以判斷真假的陳述開始。這個分別很重要： 一旦句子仲未封閉，就唔可以當作命題處理。
命題與真假值
定義
命題
命題係一個有確定真假值嘅陳述。佢不是真，就是假，沒有第三種情況。
呢個定義嘅目的唔係令邏輯變得抽象，而係分清楚哪些句子已經可以檢驗， 哪些句子仲未完整。
例子：
- 係命題。
每個偶數都可以被 2 整除係命題。請打開門。不是命題，因為佢係命令。- 若未指定
x， 仲未係命題。
常見錯誤
含有自由變量嘅公式唔會自動變成命題
如果句子的真假仍然依賴未指定嘅變量，咁佢仍然係開放句，唔係完整陳述。 要先賦值，或者之後用量詞綁定佢。
例題
判斷哪些句子係命題
考慮以下三句：
7係質數。- 。
請交功課。
第 1 句係命題，而且係真。第 2 句唔係命題，因為要睇 x 取咩值。
第 3 句唔係命題，因為佢係請求，不是主張。
解答
點解要分清楚
布林字母表
課程反覆用到五個連接詞：
| 符號 | 讀法 | 核心意思 |
| --- | --- | --- |
| | 非 | 將真假值取反 |
| | 且 | 只有兩邊都真先真 |
| | 或 | 只要至少一邊真就真 |
| | 若 ，則 | 只有 真而 假時為假 |
| P ↔ Q | 當且僅當 | 兩邊真假一致時才真 |
呢啲唔係純粹嘅口語縮寫，而係邏輯語言嘅基本符號，用嚟拼出更複雜嘅陳述。
運算次序亦都固定：
- 同
- 同
↔
如果仍然有歧義，就要加括號。
例題
先解析，再閱讀
公式 應該讀成
即係話：或者 為假而 為真，或者 為真。
如果你想表達其他意思，就一定要明確加括號。
解答
點解括號唔係裝飾
真值表與邏輯等價
當你知道各個命題嘅真假值之後，就可以計算複合公式嘅真假。真值表就係用嚟記錄呢件事。
定理
常用等價式
以下幾條等價式係基本工具，應該盡量熟記：
呢啲唔係哲學命題，而係真值表恒等式。
例題
用真值表檢查蘊含
只會喺一種情況下為假： 真而 假。其餘情況都為真。
| | | | | --- | --- | --- | | | | | | | | | | | | | | | | |
所以 唔係話 同 都真，而係排除咗「前件真、後件假」呢種情況。
解答
呢點好重要
推理規則
課程入面會反覆用到幾種有效推理模式。
定理
常見推理模式
如果 同 都真，咁 一定真。呢個叫 modus ponens。
如果 同 都真，咁 一定真。呢個叫 modus tollens。
如果 同 都真，咁 都真。呢個叫 hypothetical syllogism。
如果 同 都真，咁 一定真。呢個叫 disjunctive syllogism。
呢啲模式之所以重要，係因為佢哋好似合法運算：前提真，結論就一定真。
例題
一條有效嘅推理鏈
假設你知道
你可以先由第一同第三句推出 ，再由第二句推出 。
所以結論 由前提邏輯上跟得出。
解答
如何辨認呢類推理
常見錯誤
唔好混淆有效同無效模式
由 同 ，你唔可以推出 。呢個謬誤叫 affirming the consequent。
由 同 ，你唔可以推出 。呢個謬誤叫 denying the antecedent。
快速檢查
快速檢查
以下哪些係命題：、請打開窗戶。、？
係命題。請打開窗戶。 不是。 要先指定 x 先算命題。
解答
答案
快速檢查
根據標準次序， 要加咩括號？
記住 最先，然後係 同 。
解答
答案
快速檢查
同 、，邊個等價？
睇蘊含嘅真假條件。
解答
答案
快速檢查
推理 、，所以 有效嗎？
試想 其實係假嘅情況。
解答
答案
嵌入式檢查
用互動表試驗你自己寫出嚟嘅公式。
邊讀邊試
跟著看一張真值表
互動工具讓你切換公式，並觀察每一列如何影響最後的真假。
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
先讀呢一頁
如果你想睇量詞版本，請讀 1.3 量詞與否定。