4.1 序、界與完備性

集合 $S$ 配上關係 $\le$，若對任意 $a,b,c\in S$ 皆有

1. $a\le a$（自反），
2. $a\le b$ 且 $b\le a$ 推得 $a=b$（反對稱），
3. $a\le b$ 且 $b\le c$ 推得 $a\le c$（遞移），
4. $a\le b$ 或 $b\le a$（可比較），

就稱為全序。

設 $A\subseteq R$。

• 若對所有 $x\in A$ 都有 $x\le u$，則 u 是 $A$ 的上界。
• 若對所有 $x\in A$ 都有 $\ell\le x$，則 $\ell$ 是 $A$ 的下界。

對非空 $A\subseteq R$：

• $s=\sup A$：s 是上界，且任何上界 u 都滿足 $s\le u$。
• $t=\inf A$：t 是下界，且任何下界 $\ell$ 都滿足 $\ell\le t$。