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3.4有來源支持

3.4 有理數與良定運算

用整數對的等價類構造 Q，定義其運算，並理解為甚麼任何寫在代表元上的公式都必須先檢查良定性，才算是真正關於有理數的敘述。

筆記系列

MATH1090：集合論

以嚴謹課程筆記方式整理的邏輯、集合與數系構造筆記，按互相關聯的小節撰寫，重視證明與例子。

語言

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章節 1

邏輯

處理陳述、連接詞與量詞的推理工具。

1.1

1.1 命題邏輯

1.2

1.2 真值表與邏輯等價

1.3

1.3 量詞與否定

章節 2

集合與關係

基本的集合語言、函數與關係。

2.1

2.1 集合與集合運算

2.2

2.2 函數與關係

章節 3

由構造得到的數系

自然數、整數與有理數如何構造，以及 Q 還欠缺甚麼。

3.1

3.1 自然數與 Peano 公理

3.2

3.2 歸納法與遞歸算術

3.3

3.3 由等價類構造整數

3.4

3.4 有理數與良定運算

3.5

3.5 Q 的缺口與 sqrt(2)

由整數走到有理數，構造問題有一個重要轉變。對整數而言，不同的自然數對可 以代表同一個差；對有理數而言，不同的整數對也可以代表同一個商。記號 a/b 把這種重複性遮住了，所以本節要把它明確寫出來。

核心思想很簡單：有理數不是單一的有序對，而是整數對的等價類。凡是想在 QQ 上定義的運算，都必須尊重這個商結構。

為甚麼需要商集

分數

12,24,−3−6\frac{1}{2}, \qquad \frac{2}{4}, \qquad \frac{-3}{-6}

都表示同一個有理數。若要只用整數資料來構造 QQ，那麼這些表示法就必須在構 造中自動被識別為同一個元素。

因此，我們不把一個有理數定義成單一有序對，而是定義成一整個等價類，把所有 代表同一商的整數對放在一起。

定義

用等價類構造有理數

令

Y=Z×(Z∖{0}).Y = Z \times (Z \setminus \{0\}).

所以 YY 的元素是有序對 (a, b)，其中 a∈Za \in Z 且 b∈Z∖{0}b \in Z \setminus \{0\}。

在 YY 上定義關係 ∼Q\sim_Q：

(a,b)∼Q(c,d)⟺ad=bc.(a, b) \sim_Q (c, d) \quad\Longleftrightarrow\quad ad = bc.

有理數集合定義為商集

Q=Y/∼Q.Q = Y / \sim_Q.

(a, b) 的等價類記作 [(a, b)]，它在非正式記號上對應分數 a/b。

第二個坐標必須非零，因為這個構造本來就是要描述商。若 b=0b = 0，那麼 (a, b) 便無法代表任何有理數。

這個關係為甚麼合理

等式 ad=bcad = bc 正是我們熟悉的交叉相乘判準。在商集構造裡，這個熟悉的判準不 再只是性質，而是直接成為「兩個代表是否表示同一有理數」的定義。

定理

∼Q\sim_Q 是等價關係

由

(a,b)∼Q(c,d)⟺ad=bc(a, b) \sim_Q (c, d) \quad\Longleftrightarrow\quad ad = bc

所定義的關係，在 YY 上是自反、對稱、傳遞的等價關係。

證明

∼Q\sim_Q 為何是等價關係

同一有理數可以有很多代表元

一個等價類包含很多代表元。這不是漏洞，而正是這個構造要保留的訊息。

例題

不同有序對可以表示同一個有理數

考慮 (1, 2)、(2, 4) 和 (−3,−6)(-3, -6)。

我們有

1⋅4=2⋅2,1⋅(−6)=2⋅(−3)1 \cdot 4 = 2 \cdot 2, \qquad 1 \cdot (-6) = 2 \cdot (-3)

因此

(1,2)∼Q(2,4)以及(1,2)∼Q(−3,−6)(1, 2) \sim_Q (2, 4) \qquad\text{以及}\qquad (1, 2) \sim_Q (-3, -6)

所以三者都屬於同一個有理數：

[(1,2)]=[(2,4)]=[(−3,−6)][(1, 2)] = [(2, 4)] = [(-3, -6)]

這正是

12=24=−3−6\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6}

在商集語言中的寫法。

記住一點很重要：有理數不會因你換了代表元而改變。若同時把兩個坐標乘上一個 非零整數，你只是改寫了表示法，並沒有得到新的有理數。

在 QQ 上定義運算

等價類定好之後，下一步便是在等價類本身上定義加法和乘法。

定義

QQ 上的加法、乘法與逆元

對 QQ 中的等價類，定義

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)][(a, b)] + [(c, d)] := [(ad + bc, bd)]

以及

[(a,b)]⋅[(c,d)]:=[(ac,bd)][(a, b)] \cdot [(c, d)] := [(ac, bd)]

加法逆元定義為

−[(a,b)]:=[(−a,b)]-[(a, b)] := [(-a, b)]

若 a≠0a \neq 0，則乘法逆元定義為

[(a,b)]−1:=[(b,a)][(a, b)]^{-1} := [(b, a)]

這些公式都寫在代表元上，因此每一條都要先檢查良定性。否則，公式的結果可能會 依賴你選哪一個代表元，而不是只依賴那個有理數本身。

「良定」到底是甚麼意思

若一條寫在等價類上的公式在更換代表元之後仍給出同一個等價類，我們便說它 良定。

以加法為例，需要證明的是：

若 (a,b)∼Q(a′,b′)(a, b) \sim_Q (a', b') 且 (c,d)∼Q(c′,d′)(c, d) \sim_Q (c', d')，則

(ad+bc,bd)∼Q(a′d′+b′c′,b′d′)(ad + bc, bd) \sim_Q (a'd' + b'c', b'd')

定理

QQ 上的加法是良定的

若 (a,b)∼Q(a′,b′)(a, b) \sim_Q (a', b') 且 (c,d)∼Q(c′,d′)(c, d) \sim_Q (c', d')，則

[(ad+bc,bd)]=[(a′d′+b′c′,b′d′)][(ad + bc, bd)] = [(a'd' + b'c', b'd')]

因此，加法公式不會依賴所選代表元。

證明

加法公式為何良定

乘法的證明精神完全相同，而且更短：由 ab′=ba′ab' = ba' 及 cd′=dc′cd' = dc' 可得

acb′d′=a′c′bdacb'd' = a'c'bd

所以乘法同樣良定。

例題

先按等價類計算，再在概念上化簡

令

x=[(1,2)],y=[(1,3)]x = [(1, 2)], \qquad y = [(1, 3)]

則

x+y=[(1⋅3+2⋅1,2⋅3)]=[(5,6)]x + y = [(1 \cdot 3 + 2 \cdot 1, 2 \cdot 3)] = [(5, 6)]

又有

x⋅y=[(1⋅1,2⋅3)]=[(1,6)]x \cdot y = [(1 \cdot 1, 2 \cdot 3)] = [(1, 6)]

若把 x 改寫成等價代表 [(2, 4)]，同一公式會給出

[(2,4)]+[(1,3)]=[(10,12)][(2, 4)] + [(1, 3)] = [(10, 12)]

以及

[(2,4)]⋅[(1,3)]=[(2,12)][(2, 4)] \cdot [(1, 3)] = [(2, 12)]

這兩個類分別與 [(5, 6)] 和 [(1, 6)] 表示同一有理數，因此等價類上的運 算確實與所選代表元無關。

不是每條寫在代表元上的公式都能下降到 QQ

一旦你開始用等價類思考，就應對任何直接寫在代表元上的關係或運算保持警覺。

例如，考慮以下幾種候選規則，作用在 [(p, q)] 與 [(m, n)] 上：

  1. 比較 p 與 m；
  2. 比較 pn−qmpn - qm 的正負；
  3. 比較 (pn−mq)nq(pn - mq)nq 的正負。

前兩條都不能在 QQ 上良定，因為更換代表元之後，真值可能改變。第三條則把分 母符號的變化一併補償，因此在更換代表元後仍保持不變。

例題

為甚麼分母符號不能忽略

(1, 2) 與 (−1,−2)(-1, -2) 表示同一個有理數。

若某條關係只看 p>mp > m，或只看 pn−qmpn - qm 的正負，那麼由 (1, 2) 改成 (−1,−2)(-1, -2) 時，結果便可能翻轉；但所代表的有理數根本沒有變。

這正是良定性所禁止的事：任何關於有理數的敘述，都必須在更換代表元後仍然保 持真確。

常見錯誤

常見錯誤

等價類不是某一個特權分數

[(1, 2)]、[(2, 4)] 和 [(−3,−6)][(-3, -6)] 不是三個不同的有理數，而是一個等價 類的三個代表元。

常見錯誤

看起來合理的公式，不代表一定良定

一條寫在有序對上的公式，即使形式自然，也可能無法下降到商集。凡是想在 QQ 上定義的運算或關係，都必須先檢查：更換代表元之後，結果會否保持同一等價 類。

快速檢查

快速檢查

為甚麼 (a, b) 中第二個坐標必須限制為 b≠0b \neq 0？

請用商集構造的語言回答，不要只講日常算術口號。

解答

答案

快速檢查

若 a≠0a \neq 0，[(a, b)] 的乘法逆元應是甚麼？

把它與原來的等價類相乘檢查即可。

解答

答案

練習

快速檢查

證明 [(3,5)]=[(9,15)][(3, 5)] = [(9, 15)]，然後計算 [(3,5)]+[(1,5)][(3, 5)] + [(1, 5)]。

先用定義驗證兩個等價類相同，再套用加法公式。

解答

引導解答

快速檢查

為甚麼由 [(p,q)]≺[(m,n)][(p, q)] \prec [(m, n)] 定義為 p>mp > m 的關係不是良定的？

請找一組等價代表元，令真值發生改變。

解答

引導解答

相關筆記

先讀 3.3 整數與等價類 可回顧上一個商集構造；再讀 3.5 Q 的缺口與為甚麼 sqrt(2) 不是有理數 則可看到有理數系統在完備性上的下一個限制。

先備知識

3.3

3.3 由等價類構造整數

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