3.3 由等價類構造整數

自然數唔足以處理所有代數問題。好簡單嘅方程

$$1 = x + 2$$

喺 $N$ 入面就冇解。若果我哋想令減法可以有系統咁做，就要建立一個比自然數 更大嘅數系。

源材料唔係單靠直覺去「引入負數」，而係由我哋已經理解嘅對象，即自然數有序對， 去形式化地構造整數。

指導思想

一個對子 (a,b) 可以視為形式差值

$$a-b.$$

照住呢個觀點，好多唔同對子都可能代表同一個整數。例如

$$(3,1), \quad (5,3), \quad (8,6)$$

都自然地指向同一個差值 2。

所以整數唔應該係某一個有序對本身，而應該係「所有代表同一差值嘅對子」所形成 嘅等價類。

$N^2$ 上嘅關係

條件 $a+d=b+c$ 正好反映咗 (a,b) 同 (c,d) 代表同一個形式差值：

$$a-b=c-d.$$

將上式移項，就係 $a+d=b+c$。

點解呢條關係係對嘅

呢個證明唔算難，但值得理解，因為佢解釋咗點解 quotient construction 行得通。

整數而家究竟係乜

因此，一個整數唔係一個對子，而係一整個等價類。

熟悉嘅整數就喺呢個構造入面重新出現：

• [(0,0)] 表現得好似 0；
• [(1,0)] 表現得好似 1；
• [(0,1)] 表現得好似 $-1$；
• 一般而言，[(n,0)] 對應我哋熟悉嘅自然數 n。

點樣把 $N$ 嵌入 $Z$

自然數並冇消失，而係以一種新方式出現喺整數入面。

呢個現象顯示 quotient construction 唔係摧毀舊數系，而係保留住一個可識別 嘅拷貝，再把範圍擴大。

正、負與零

源材料強調，正負零唔係貼喺某一個代表元身上，而係整個等價類嘅性質。

• 若一個類有代表元 (a,b) 滿足 $a>b$，就視為 正；
• 若有代表元滿足 $a<b$，就視為 負；
• 若有代表元滿足 $a=b$，就視為 零。

因為呢啲性質唔可以隨代表元改變，所以亦要證明符號係 well-defined。

等價類上的運算

要令商集真正成為數系，仲需要定義運算。加法定義為

$$[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].$$

呢個定義同形式差值嘅直覺完全一致：

$$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d).$$

之後關鍵一步就係檢查呢類定義係 well-defined，亦即唔會因為你換咗代表元 而改變答案。

一個具體計算

常見錯誤

快問快答

練習

建議先讀

呢一節依賴 2.2 函數與關係 入面嘅 等價關係語言，並且會接到 3.4 有理數與良定運算。