先複習 2.1 集合與集合運算， 因為函數與關係都是用集合來定義的。
甚麼是函數
定義
函數
由 到 的函數，是 的一個子集，並且要求 中每個 x 都只配對到 中唯一一個 y。
這就是本地筆記使用的集合論定義。
先讀懂基本語言
- 定義域（domain）是輸入的集合。
- 目標集合（target）是可能輸出的集合。
- 圖像（graph）是所有配對
(x, y)的集合。 - 像（image）是實際能到達的輸出。
- 原像（preimage）是會落到某個集合裡的輸入。
常見錯誤
函數不能讓同一個輸入對應多個輸出
關係可以讓一個輸入連到多個輸出，但函數不可以。每個輸入都必須有且只有一個輸出。
先看一個例子
例題
從規則閱讀函數
考慮規則 。
和 2 都會送到 4，所以不同輸入可以有相同輸出。
不允許的是：同一個輸入同時對應兩個不同輸出。
解答
像與原像
單射、滿射、雙射
定義
三個常用詞
- 單射：不同輸入不會撞車。
- 滿射：目標集合裡每個值都會被碰到。
- 雙射：同時單射和滿射。
本地材料亦會用這些詞來說明何時可以有反函數。
關係
定義
關係
和 之間的一個關係，就是 的任何子集。
若 ，我們就說是定義在同一個集合上的關係。
關係可以有這些性質：
- 自反
- 對稱
- 反對稱
- 傳遞
兩種特別重要的情況是：
- 等價關係
- 偏序
一個簡短的關係例子
例題
等價關係會把集合分塊
若一個關係同時是自反、對稱、傳遞，它就是等價關係。
這時等價類會把集合分成互不重疊的幾塊。
解答
要記住的重點
小檢查
快速檢查
在實數上是關係嗎？是函數嗎？
先把兩個問題分開。先問它是否定義了一個 的子集，再問每個輸入 是否只會對應唯一輸出。
解答