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2.1 集合与集合运算

通过具体例子理解属于、子集，以及主要的集合运算。

笔记系列

MATH1090：集合论

以严谨课程笔记方式整理的逻辑、集合与数系构造笔记，按相互关联的小节撰写，重视证明与例子。

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全部笔记系列系列总览

章节 1

逻辑

处理陈述、连接词与量词的推理工具。

1.1

1.1 命题逻辑

1.2

1.2 真值表与逻辑等价

1.3

1.3 量词与否定

章节 2

集合与关系

基本的集合语言、函数与关系。

2.1

2.1 集合与集合运算

2.2

2.2 函数与关系

章节 3

由构造得到的数系

自然数、整数与有理数如何构造，以及 Q 还欠缺什么。

3.1

3.1 自然数与 Peano 公理

3.2

3.2 归纳法与递归算术

3.3

3.3 由等价类构造整数

3.4

3.4 有理数与良定运算

3.5

3.5 Q 的缺口与 sqrt(2)

章节 4

序与完备性

全序、上下界、上确界与下确界，以及 Q 与 R 的完备性差异。

4.1

4.1 序、界与完备性

先复习 1.1 命题逻辑， 因为这一单元的符号常常要配合逻辑语言来读。

什么是集合

定义

集合

集合是事物的集合。

若 x 是集合 AA 的元素，我们写作 x∈Ax ∈ A；若不是，则写作 x∉Ax ∉ A。

两个集合相等，表示它们的元素完全一样。

主要运算

| 运算 | 符号 | 读法 | | --- | --- | --- | | 并集 | A∪BA ∪ B | 属于 AA 或 BB 的元素 | | 交集 | A∩BA ∩ B | 同时属于 AA 和 BB 的元素 | | 差集 | A \ B | 属于 AA 但不属于 BB 的元素 | | 补集 | AcA^c | 在选定的全集中，位于 AA 外的元素 |

用一个具体例子看运算

例题

追踪元素如何移动

设 A=1,2,4A = {1, 2, 4}，B=2,3,4B = {2, 3, 4}。

那么：

  • A∪B=1,2,3,4A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
  • A∩B=2,4A ∩ B = {2, 4}
  • A B=1A \ B = {1}

如果全集是 E=1,2,3,4,5E = {1, 2, 3, 4, 5}，则 Ac=3,5A^c = {3, 5}。

解答

快速检查德摩根律

另外两个你会见到的构造

本地材料还会介绍两个常用构造：

  • A×BA × B，笛卡儿积，是有序对 (a, b) 的集合。
  • P(A)，幂集，是 AA 的所有子集所组成的集合。

这两个符号值得及早认识。

常见错误

常见错误

不要把补集和差集混为一谈

AcA^c 要先有全集。A \ B 则是另一个集合运算。两者不是同一回事。

小检查

快速检查

若 A=a,b,cA = {a, b, c} 且 B=b,c,dB = {b, c, d}，A∩BA ∩ B 是什么？

直接用交集的定义去想：只保留同时属于两个集合的元素。

解答

答案

读到这里，试一试

边读边试

比较一对集合

互动探索器让你把元素加入或移出 A 与 B，并即时看见运算结果改变。

集合 A

集合 B

并集

{1, 2, 3, 4}

交集

{2, 4}

差集 A \ B

{1}

先备知识

这一节可以独立阅读。

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