3.5 Q 的缺口與為甚麼 sqrt(2) 不是有理數

這一節開始，數系建構的重點會稍微轉向。之前你一直在建構 $N$、$Z$ 和 $Q$，並檢查它們的運算是否良定。現在要問的問題不同了：

$Q$ 是否已經包含了做次序與極限論證所需的所有數？

答案是否定的，而最經典的例子就是 $\sqrt{2}$。

先用直覺理解：稠密不等於完備

很多人第一次看到這題時，直覺會說：

「有理數已經那麼多，怎會還有缺口？」

這種想法把兩個不同概念混在一起了。

• 稠密，意思是兩個不同有理數之間總能再找到另一個有理數；
• 完備，意思是某些有上界的集合，真的會在你工作的數系裡擁有最小上界。

講義正是用 $Q$ 來說明：稠密性並不能保證完備性。即使有理數排得很密， 仍然可能缺少某個關鍵的邊界點。

先講清楚次序語言

「最小」這個詞很重要。上確界不是隨便一個上界，而是所有上界之中最貼 近集合的那一個。

這個集合怎樣暴露出缺口

經典集合是

$$S = \{q \in Q \mid q^2 < 2\}.$$

這個集合把所有平方仍然小於 2 的有理數收集起來。

表面上，它似乎應該有一個有理邊界。畢竟像 1、1.4、1.41 這些數 都在裡面，而像 2 或 3/2 這些數都在它上方。

問題在於，那個真正的邊界應該是 $\sqrt{2}$，而這個數並不在 $Q$ 裡。

為甚麼 $S$ 在 $Q$ 中有上界

在證明 $S$ 在 $Q$ 中沒有上確界之前，你應先確認：$S$ 的確是一個有上界 集合。

所以問題不是 $S$ 沒有上界，而是：在所有有理上界之中，找不到最小那一 個。

為甚麼 $\sqrt{2}$ 不是有理數

源材料先回顧了最標準的反證法。

這一步很關鍵。若 $\sqrt{2}$ 真的是有理數，它便會是 $S$ 在 $Q$ 中最明顯 的上確界候選；但反證法告訴你，這個候選點根本不在 $Q$ 裡。

正式的缺口命題

講義的做法，是把每個有理候選 s 分成三種情況處理。

這結果告訴你 $Q$ 缺了甚麼

這不只是一道關於某個特定集合的小技巧。

它告訴你：$Q$ 會漏掉某些次序上的極限。一個有上界的有理數集合，可以愈 來愈逼近某個邊界，卻始終找不到屬於 $Q$ 的最小上界。

這正是講義所說的：$Q$ 不完備。

常見錯誤

另一個常見錯誤，是以為上確界一定要屬於集合本身。這也是錯的。上確界 只需要是外層有序集合中的最小上界。

快速檢查

練習

建議先讀

如果你想先重溫 $Q$ 的構造，可以先讀 3.4 有理數與良定運算。