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3.1 自然數與 Peano 公理

由日常計數轉入形式化描述，透過零、後繼與歸納去界定自然數。

筆記系列

MATH1090：集合論

以嚴謹課程筆記方式整理的邏輯、集合與數系構造筆記，按互相關聯的小節撰寫，重視證明與例子。

語言

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章節 1

邏輯

處理陳述、連接詞與量詞的推理工具。

1.1

1.1 命題邏輯

1.2

1.2 真值表與邏輯等價

1.3

1.3 量詞與否定

章節 2

集合與關係

基本的集合語言、函數與關係。

2.1

2.1 集合與集合運算

2.2

2.2 函數與關係

章節 3

由構造得到的數系

自然數、整數與有理數如何構造，以及 Q 還欠缺甚麼。

3.1

3.1 自然數與 Peano 公理

3.2

3.2 歸納法與遞歸算術

3.3

3.3 由等價類構造整數

3.4

3.4 有理數與良定運算

3.5

3.5 Q 的缺口與 sqrt(2)

乍看之下，自然數太熟悉，好似根本唔需要定義。我哋由細數到大，彷彿

0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots

已經把內容講晒。

但源材料採取更嚴格嘅立場：佢會問，到底乜嘢結構令自然數成為自然數？ 答案唔在於符號本身，而在於一個起點、一個後繼運算，同埋一條歸納原理。

點解要形式定義

如果我哋只係寫低 0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots，其實未曾真正解釋：

  • 個省略號究竟代表乜；
  • 點解個過程會一直延續；
  • 點解歸納法有效。

Peano 觀點就係直接把呢啲核心性質講出嚟。佢唔靠直覺，而係講明：凡係 自然數模型，都必須具備某幾條基本公理。

一個模型包含啲乜

定義

自然數的模型

設 NN 係一個集合，並且有：

  • 一個指定元素 0∈N0 \in N；
  • 一個函數 S:N→NS : N \to N，稱為 後繼映射。

如果三元組 (N, 0, S) 滿足以下 Peano 公理，就叫做 自然數模型：

  1. SS 係單射：若 S(x)=S(y)S(x)=S(y)，則 x=yx=y。
  2. 冇元素會等於自己嘅後繼：對每個 x∈Nx \in N，都有 S(x)≠xS(x)\ne x。
  3. 零唔係任何元素嘅後繼：唔存在 x∈Nx \in N 使 S(x)=0S(x)=0。
  4. 歸納成立：若某性質 PP 對 0 成立，而且每當 P(x) 成立時， P(S(x)) 都成立，咁 PP 就對所有 x∈Nx \in N 成立。

核心思想係：自然數由佢哋之間嘅結構關係決定，而唔係由寫法決定。

每條公理各自做緊乜

每條公理都排除某一類病態情況。

  • 單射性表示兩個唔同數唔可以喺做一步後繼之後突然合流。
  • S(x)≠xS(x)\ne x 排除固定點。
  • S(x)≠0S(x)\ne 0 表示零係起點，而唔係之後先返到去嘅位置。
  • 歸納排除額外斷開嘅部分，確保所有元素都喺由 0 出發生成嘅鏈上。

合埋一齊，呢幾條公理就迫出我哋熟悉嘅「一步一步向前數」嘅圖像。

用後繼去讀出各個數

例題

平時嘅數字其實由 0 同 SS 生出嚟

一旦 0 同後繼映射固定，接住落嚟嘅數就可以理解為

1=S(0),2=S(S(0)),3=S(S(S(0))).1 = S(0), \qquad 2 = S(S(0)), \qquad 3 = S(S(S(0))).

所以記號 2 只係「由 0 開始連做兩次後繼得到嘅對象」嘅簡寫。 方便係方便，但結構先係根本。

因此，當講義想保留定義感而唔想被熟悉記號遮蔽時，就會再寫返後繼形式。

歸納唔係附加技巧

好多學生會先把歸納法當成一種證明工具，之後先覺得自然數已經理解完成。 源材料正好倒轉呢個次序。

喺 Peano 觀點入面，歸納原理本身就屬於自然數定義嘅一部分。即係話， 歸納唔只係用嚟證明 NN 上命題嘅技巧；佢本身就係令 NN 成為自然數嘅 結構事實之一。

定理

歸納真正給你甚麼

要證明命題 P(n) 對所有 n∈Nn \in N 成立，只需要證明：

  1. P(0) 成立；
  2. 對每個 x∈Nx \in N，若 P(x) 成立，則 P(S(x)) 成立。

一旦兩步完成，歸納公理就保證 P(n) 對每個自然數 n 都成立。

一個失敗例子

例題

點解有限循環唔係自然數模型

考慮集合 \{0,1,2\}，並定義後繼為

S(0)=1,S(1)=2,S(2)=0.S(0)=1, \qquad S(1)=2, \qquad S(2)=0.

呢個結構唔滿足 Peano 公理。

首先，因為 S(2)=0S(2)=0，所以 0 竟然係某個元素嘅後繼，第三條公理失敗。 其次，歸納亦會失敗：整個結構會兜圈，而唔係由 0 開始形成一條單向向前 嘅鏈。

因此，雖然符號睇落熟悉，呢個結構都唔係自然數模型。

呢個例子重要，因為佢講清楚 Peano 公理唔係裝飾，而係用嚟排除「表面似數數， 實際上唔係」嘅結構。

點解公理比省略號更有內容

寫

0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots

雖然方便，但本身唔足以解釋算術同歸納點解成立。

Peano 形式化就真係講清楚：

  • 從邊度開始；
  • 前進一步係乜意思；
  • 點解唔會兜圈；
  • 點解歸納可以覆蓋全部自然數。

所以形式定義比起單靠直覺列表，更能揭示自然數嘅本質。

常見錯誤

常見錯誤

唔好把記號同角色混為一談

Peano 觀點唔係話寫出嚟個符號 2 天生有神秘意思，而係話 2 所代表嘅對象，就係 0 嘅第二個後繼。

常見錯誤

歸納唔係可有可無的附加品

如果冇歸納公理，一個結構即使包含由 0 開始嘅熟悉後繼鏈，仍然可以有額外 斷開嘅部分，甚至循環。歸納原理正正係用來排除呢啲情況。

快問快答

快速檢查

點解公理 S(x)≠0S(x)\ne 0 咁重要？

想想若果 0 可以係某個數嘅後繼，會對整體結構造成乜影響。

解答

答案

快速檢查

後繼映射係單射，究竟防止咗乜事發生？

用「兩個唔同數想共享同一個下一步」去回答。

解答

答案

快速檢查

當你證明咗基本情況同後繼步驟之後，可以精確推出乜嘢？

答案要講清楚範圍。

解答

答案

練習

快速檢查

證明結構 \{0,1,2\} 配上 S(0)=1S(0)=1、S(1)=2S(1)=2、S(2)=2S(2)=2 並唔係自然數模型。究竟邊條公理失敗？

逐條檢查公理，唔好靠感覺估。

解答

引導解答

建議先讀

呢一節係構造數系篇章嘅起點。之後會接到 3.2 歸納法與遞歸算術， 而佢使用嘅語言則可追溯到 2.2 函數與關係。

先備知識

這一節可以獨立閱讀。

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