先复习 2.1 集合与集合运算， 因为函数与关系都是用集合来定义的。
什么是函数
定义
函数
从 到 的函数，是 的一个子集，并且要求 中每个 x 都只配对到 中唯一一个 y。
这就是本地笔记使用的集合论定义。
先读懂基本语言
- 定义域（domain）是输入的集合。
- 目标集合（target）是可能输出的集合。
- 图像（graph）是所有配对
(x, y)的集合。 - 像（image）是实际能到达的输出。
- 原像（preimage）是会落到某个集合里的输入。
常见错误
函数不能让同一个输入对应多个输出
关系可以让一个输入连到多个输出，但函数不可以。每个输入都必须有且只有一个输出。
先看一个例子
例题
从规则阅读函数
考虑规则 。
和 2 都会送到 4，所以不同输入可以有相同输出。
不允许的是：同一个输入同时对应两个不同输出。
解答
像与原像
单射、满射、双射
定义
三个常用词
- 单射：不同输入不会撞车。
- 满射：目标集合里每个值都会被碰到。
- 双射：同时单射和满射。
本地材料也会用这些词来说明何时可以有反函数。
关系
定义
关系
和 之间的一个关系，就是 的任何子集。
如果 ，我们就说是定义在同一个集合上的关系。
关系可以有这些性质：
- 自反
- 对称
- 反对称
- 传递
两种特别重要的情况是：
- 等价关系
- 偏序
一个简短的关系例子
例题
等价关系会把集合分块
如果一个关系同时是自反、对称、传递，它就是等价关系。
这时等价类会把集合分成互不重叠的几块。
解答
要记住的重点
小检查
快速检查
在实数上是关系吗？是函数吗？
先把两个问题分开。先问它是否定义了一个 的子集，再问每个输入 是否只会对应唯一输出。
解答