4.1 序、界与完备性

集合 $S$ 配上关系 $\le$，若对任意 $a,b,c\in S$ 都有

1. $a\le a$（自反），
2. $a\le b$ 且 $b\le a$ 推得 $a=b$（反对称），
3. $a\le b$ 且 $b\le c$ 推得 $a\le c$（传递），
4. $a\le b$ 或 $b\le a$（可比较），

就称为全序。

设 $A\subseteq R$。

• 若对所有 $x\in A$ 都有 $x\le u$，则 u 是 $A$ 的上界。
• 若对所有 $x\in A$ 都有 $\ell\le x$，则 $\ell$ 是 $A$ 的下界。

对非空 $A\subseteq R$：

• $s=\sup A$：s 是上界，且任何上界 u 都满足 $s\le u$。
• $t=\inf A$：t 是下界，且任何下界 $\ell$ 都满足 $\ell\le t$。