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3.4 有理数与良定运算

用整数对的等价类构造 Q，定义其运算，并理解为什么任何写在代表元上的公式都必须先检查良定性，才能成为真正关于有理数的叙述。

笔记系列

MATH1090：集合论

以严谨课程笔记方式整理的逻辑、集合与数系构造笔记，按相互关联的小节撰写，重视证明与例子。

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全部笔记系列系列总览

章节 1

逻辑

处理陈述、连接词与量词的推理工具。

1.1

1.1 命题逻辑

1.2

1.2 真值表与逻辑等价

1.3

1.3 量词与否定

章节 2

集合与关系

基本的集合语言、函数与关系。

2.1

2.1 集合与集合运算

2.2

2.2 函数与关系

章节 3

由构造得到的数系

自然数、整数与有理数如何构造，以及 Q 还欠缺什么。

3.1

3.1 自然数与 Peano 公理

3.2

3.2 归纳法与递归算术

3.3

3.3 由等价类构造整数

3.4

3.4 有理数与良定运算

3.5

3.5 Q 的缺口与 sqrt(2)

章节 4

序与完备性

全序、上下界、上确界与下确界，以及 Q 与 R 的完备性差异。

4.1

4.1 序、界与完备性

从整数走到有理数，构造问题有一个重要转变。对整数而言，不同的自然数对可以 表示同一个差；对有理数而言，不同的整数对也可以表示同一个商。记号 a/b 把这种重复性遮住了，所以本节要把它明确写出来。

核心思想很简单：有理数不是单一的有序对，而是整数对的等价类。凡是想在 QQ 上定义的运算，都必须尊重这个商结构。

为什么需要商集

分数

12,24,−3−6\frac{1}{2}, \qquad \frac{2}{4}, \qquad \frac{-3}{-6}

都表示同一个有理数。若要只用整数资料来构造 QQ，那么这些表示法就必须在构 造中自动被识别为同一个元素。

因此，我们不把一个有理数定义成单个有序对，而是定义成一整个等价类，把所有 代表同一商的整数对放在一起。

定义

用等价类构造有理数

令

Y=Z×(Z∖{0}).Y = Z \times (Z \setminus \{0\}).

所以 YY 的元素是有序对 (a, b)，其中 a∈Za \in Z 且 b∈Z∖{0}b \in Z \setminus \{0\}。

在 YY 上定义关系 ∼Q\sim_Q：

(a,b)∼Q(c,d)⟺ad=bc.(a, b) \sim_Q (c, d) \quad\Longleftrightarrow\quad ad = bc.

有理数集合定义为商集

Q=Y/∼Q.Q = Y / \sim_Q.

(a, b) 的等价类记作 [(a, b)]，它在非正式记号上对应分数 a/b。

第二个坐标必须非零，因为这个构造本来就是要描述商。若 b=0b = 0，那么 (a, b) 便无法代表任何有理数。

这个关系为什么合理

等式 ad=bcad = bc 正是我们熟悉的交叉相乘判准。在商集构造里，这个熟悉的判准不 再只是性质，而是直接成为“两组代表是否表示同一个有理数”的定义。

定理

∼Q\sim_Q 是等价关系

由

(a,b)∼Q(c,d)⟺ad=bc(a, b) \sim_Q (c, d) \quad\Longleftrightarrow\quad ad = bc

所定义的关系，在 YY 上是自反、对称、传递的等价关系。

证明

∼Q\sim_Q 为什么是等价关系

同一个有理数可以有很多代表元

一个等价类包含很多代表元。这不是漏洞，而正是这个构造要保留的信息。

例题

不同有序对可以表示同一个有理数

考虑 (1, 2)、(2, 4) 和 (−3,−6)(-3, -6)。

我们有

1⋅4=2⋅2,1⋅(−6)=2⋅(−3)1 \cdot 4 = 2 \cdot 2, \qquad 1 \cdot (-6) = 2 \cdot (-3)

因此

(1,2)∼Q(2,4)以及(1,2)∼Q(−3,−6)(1, 2) \sim_Q (2, 4) \qquad\text{以及}\qquad (1, 2) \sim_Q (-3, -6)

所以三者都属于同一个有理数：

[(1,2)]=[(2,4)]=[(−3,−6)][(1, 2)] = [(2, 4)] = [(-3, -6)]

这正是

12=24=−3−6\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{-3}{-6}

在商集语言中的写法。

记住一点很重要：有理数不会因为你换了代表元而改变。若同时把两个坐标乘上一 个非零整数，你只是改写了表示法，并没有得到新的有理数。

在 QQ 上定义运算

等价类定好之后，下一步便是在等价类本身上定义加法与乘法。

定义

QQ 上的加法、乘法与逆元

对 QQ 中的等价类，定义

[(a,b)]+[(c,d)]:=[(ad+bc,bd)][(a, b)] + [(c, d)] := [(ad + bc, bd)]

以及

[(a,b)]⋅[(c,d)]:=[(ac,bd)][(a, b)] \cdot [(c, d)] := [(ac, bd)]

加法逆元定义为

−[(a,b)]:=[(−a,b)]-[(a, b)] := [(-a, b)]

若 a≠0a \neq 0，则乘法逆元定义为

[(a,b)]−1:=[(b,a)][(a, b)]^{-1} := [(b, a)]

这些公式都写在代表元上，因此每一条都要先检查良定性。否则，公式的结果可能 会依赖你选择了哪一个代表元，而不是只依赖那个有理数本身。

“良定”到底是什么意思

若一条写在等价类上的公式在更换代表元之后仍给出同一个等价类，我们就说它 良定。

以加法为例，需要证明的是：

若 (a,b)∼Q(a′,b′)(a, b) \sim_Q (a', b') 且 (c,d)∼Q(c′,d′)(c, d) \sim_Q (c', d')，则

(ad+bc,bd)∼Q(a′d′+b′c′,b′d′)(ad + bc, bd) \sim_Q (a'd' + b'c', b'd')

定理

QQ 上的加法是良定的

若 (a,b)∼Q(a′,b′)(a, b) \sim_Q (a', b') 且 (c,d)∼Q(c′,d′)(c, d) \sim_Q (c', d')，则

[(ad+bc,bd)]=[(a′d′+b′c′,b′d′)][(ad + bc, bd)] = [(a'd' + b'c', b'd')]

因此，加法公式不会依赖所选代表元。

证明

加法公式为什么良定

乘法的证明精神完全相同，而且更短：由 ab′=ba′ab' = ba' 及 cd′=dc′cd' = dc' 可得

acb′d′=a′c′bdacb'd' = a'c'bd

所以乘法同样良定。

例题

先按等价类计算，再在概念上化简

令

x=[(1,2)],y=[(1,3)]x = [(1, 2)], \qquad y = [(1, 3)]

则

x+y=[(1⋅3+2⋅1,2⋅3)]=[(5,6)]x + y = [(1 \cdot 3 + 2 \cdot 1, 2 \cdot 3)] = [(5, 6)]

又有

x⋅y=[(1⋅1,2⋅3)]=[(1,6)]x \cdot y = [(1 \cdot 1, 2 \cdot 3)] = [(1, 6)]

若把 x 改写成等价代表 [(2, 4)]，同一公式会给出

[(2,4)]+[(1,3)]=[(10,12)][(2, 4)] + [(1, 3)] = [(10, 12)]

以及

[(2,4)]⋅[(1,3)]=[(2,12)][(2, 4)] \cdot [(1, 3)] = [(2, 12)]

这两个类分别与 [(5, 6)] 和 [(1, 6)] 表示同一个有理数，因此等价类上的 运算确实与所选代表元无关。

不是每条写在代表元上的公式都能下降到 QQ

一旦你开始用等价类思考，就应该对任何直接写在代表元上的关系或运算保持警惕。

例如，考虑以下几种候选规则，作用在 [(p, q)] 与 [(m, n)] 上：

  1. 比较 p 与 m；
  2. 比较 pn−qmpn - qm 的正负；
  3. 比较 (pn−mq)nq(pn - mq)nq 的正负。

前两条都不能在 QQ 上良定，因为更换代表元之后，真值可能改变。第三条则把分 母符号的变化一并补偿，因此在更换代表元后仍保持不变。

例题

为什么分母符号不能忽略

(1, 2) 与 (−1,−2)(-1, -2) 表示同一个有理数。

若某条关系只看 p>mp > m，或只看 pn−qmpn - qm 的正负，那么由 (1, 2) 改成 (−1,−2)(-1, -2) 时，结果便可能翻转；但所表示的有理数根本没有变化。

这正是良定性所禁止的事：任何关于有理数的叙述，都必须在更换代表元之后仍然 保持成立。

常见错误

常见错误

等价类不是某一个特权分数

[(1, 2)]、[(2, 4)] 和 [(−3,−6)][(-3, -6)] 不是三个不同的有理数，而是一个等价 类的三个代表元。

常见错误

看起来合理的公式，不代表一定良定

一条写在有序对上的公式，即使形式自然，也可能无法下降到商集。凡是想在 QQ 上定义的运算或关系，都必须先检查：更换代表元之后，结果是否保持同一等价 类。

快速检查

快速检查

为什么 (a, b) 中第二个坐标必须限制为 b≠0b \neq 0？

请用商集构造的语言回答，不要只讲日常算术口号。

解答

答案

快速检查

若 a≠0a \neq 0，[(a, b)] 的乘法逆元应该是什么？

把它与原来的等价类相乘检验即可。

解答

答案

练习

快速检查

证明 [(3,5)]=[(9,15)][(3, 5)] = [(9, 15)]，然后计算 [(3,5)]+[(1,5)][(3, 5)] + [(1, 5)]。

先用定义验证两个等价类相同，再套用加法公式。

解答

引导解答

快速检查

为什么把 [(p,q)]≺[(m,n)][(p, q)] \prec [(m, n)] 定义为 p>mp > m 的关系不是良定的？

请找一组等价代表元，使真值发生改变。

解答

引导解答

相关笔记

先读 3.3 整数与等价类 可回顾上一个商集构造；再读 3.5 Q 的缺口与为什么 sqrt(2) 不是有理数 则可看到有理数系统在完备性上的下一个限制。

先备知识

3.3

3.3 由等价类构造整数

本单元重点词汇

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