Evanalysis
3.1有来源支持预计阅读时间: 1 分钟

3.1 自然数与 Peano 公理

从日常计数进入形式化描述，通过零、后继与归纳来界定自然数。

笔记系列

MATH1090：集合论

以严谨课程笔记方式整理的逻辑、集合与数系构造笔记，按相互关联的小节撰写，重视证明与例子。

语言

EN英语繁繁体中文简简体中文
全部笔记系列系列总览

章节 1

逻辑

处理陈述、连接词与量词的推理工具。

1.1

1.1 命题逻辑

1.2

1.2 真值表与逻辑等价

1.3

1.3 量词与否定

章节 2

集合与关系

基本的集合语言、函数与关系。

2.1

2.1 集合与集合运算

2.2

2.2 函数与关系

章节 3

由构造得到的数系

自然数、整数与有理数如何构造，以及 Q 还欠缺什么。

3.1

3.1 自然数与 Peano 公理

3.2

3.2 归纳法与递归算术

3.3

3.3 由等价类构造整数

3.4

3.4 有理数与良定运算

3.5

3.5 Q 的缺口与 sqrt(2)

章节 4

序与完备性

全序、上下界、上确界与下确界，以及 Q 与 R 的完备性差异。

4.1

4.1 序、界与完备性

乍看之下，自然数太熟悉了，好像根本不需要定义。我们从小数到大，仿佛

0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots

已经把内容讲完了。

但源材料采取更严格的立场：它会问，到底什么结构使自然数成为自然数？ 答案不在于符号本身，而在于一个起点、一个后继运算，以及一条归纳原理。

为什么要有形式定义

如果我们只是写下 0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots，其实并没有真正解释：

  • 省略号到底代表什么；
  • 为什么这个过程会一直继续；
  • 为什么归纳法有效。

Peano 观点就是直接把这些核心性质说出来。它不依赖直觉，而是说明：凡是 自然数模型，都必须满足若干条基本公理。

一个模型包含什么

定义

自然数的模型

设 NN 是一个集合，并且有：

  • 一个指定元素 0∈N0 \in N；
  • 一个函数 S:N→NS : N \to N，称为 后继映射。

如果三元组 (N, 0, S) 满足以下 Peano 公理，就称为 自然数模型：

  1. SS 是单射：若 S(x)=S(y)S(x)=S(y)，则 x=yx=y。
  2. 没有元素会等于自己的后继：对每个 x∈Nx \in N，都有 S(x)≠xS(x)\ne x。
  3. 零不是任何元素的后继：不存在 x∈Nx \in N 使 S(x)=0S(x)=0。
  4. 归纳成立：若某个性质 PP 对 0 成立，而且每当 P(x) 成立时， P(S(x)) 也成立，那么 PP 对所有 x∈Nx \in N 都成立。

核心思想是：自然数由它们之间的结构关系刻画，而不是由写法刻画。

每条公理各自做什么

每条公理都排除一种病态结构。

  • 单射性表示两个不同的数不可能在做一步后继以后突然合并。
  • S(x)≠xS(x)\ne x 排除固定点。
  • S(x)≠0S(x)\ne 0 表示零是起点，而不是后来又绕回去的位置。
  • 归纳排除额外断开的部分，保证所有元素都位于从 0 出发生成的链上。

这几条合起来，就强迫出我们熟悉的“每次前进一步”的计数图像。

用后继读出各个数字

例题

平常的数字其实由 0 和 SS 生成

一旦 0 与后继映射固定，接下来的数就可以理解为

1=S(0),2=S(S(0)),3=S(S(S(0))).1 = S(0), \qquad 2 = S(S(0)), \qquad 3 = S(S(S(0))).

所以记号 2 只是“从 0 开始连续做两次后继所得到的对象”的简写。 记号固然方便，但结构才是根本。

因此，当讲义想让定义保持可见、不想被熟悉记号遮住时，就会重新写回后继形式。

归纳不是额外技巧

很多学生先把归纳法当成一种证明工具，之后才觉得自然数已经理解完毕。 源材料正好把这个顺序倒过来。

在 Peano 观点里，归纳原理本身就是自然数定义的一部分。换句话说， 归纳不只是用来证明 NN 上命题的技巧；它本身就是使 NN 成为自然数的 结构事实之一。

定理

归纳真正给你什么

要证明命题 P(n) 对所有 n∈Nn \in N 成立，只需要证明：

  1. P(0) 成立；
  2. 对每个 x∈Nx \in N，若 P(x) 成立，则 P(S(x)) 成立。

一旦这两步完成，归纳公理就保证 P(n) 对每个自然数 n 都成立。

一个失败的例子

例题

为什么有限循环不是自然数模型

考虑集合 \{0,1,2\}，并定义后继为

S(0)=1,S(1)=2,S(2)=0.S(0)=1, \qquad S(1)=2, \qquad S(2)=0.

这个结构不满足 Peano 公理。

首先，因为 S(2)=0S(2)=0，所以 0 竟然是某个元素的后继，第三条公理失败。 其次，归纳也会失败：整个结构会绕成一个圈，而不是从 0 开始形成一条单向 向前的链。

因此，虽然符号看起来熟悉，这个结构也不是自然数模型。

这个例子很重要，因为它说明 Peano 公理不是装饰，而是用来排除“表面像数数， 实际上并不是”的结构。

为什么公理比省略号更有内容

写

0,1,2,3,…0,1,2,3,\ldots

虽然方便，但本身不足以解释算术与归纳为什么成立。

Peano 的形式化则真正说清楚：

  • 从哪里开始；
  • 前进一步是什么意思；
  • 为什么不会绕成循环；
  • 为什么归纳可以覆盖全部自然数。

所以形式定义比单靠直观列表更能揭示自然数的本质。

常见错误

常见错误

不要把记号和结构角色混为一谈

Peano 观点并不是说写出来的符号 2 天生带有某种神秘意义，而是说 2 所代表的对象是 0 的第二个后继。

常见错误

归纳不是可有可无的附加品

如果没有归纳公理，一个结构即使包含从 0 开始的熟悉后继链，仍然可能有额外 断开的部分，甚至出现循环。归纳原理正是用来排除这些情况的。

快问快答

快速检查

为什么公理 S(x)≠0S(x)\ne 0 很重要？

想一想如果 0 可以是某个数的后继，会对整体结构造成什么影响。

解答

答案

快速检查

后继映射是单射，到底防止了什么事情发生？

请用“两 个不同数想共享同一个下一步”来回答。

解答

答案

快速检查

当你证明了基本情形和后继步骤之后，可以精确推出什么？

答案要把结论范围说清楚。

解答

答案

练习

快速检查

证明结构 \{0,1,2\} 配上 S(0)=1S(0)=1、S(1)=2S(1)=2、S(2)=2S(2)=2 并不是自然数模型。究竟哪条公理失败？

逐条检查公理，不要凭感觉猜。

解答

引导解答

建议先读

这一节是数系构造章节的起点。接下来会衔接到 3.2 归纳法与递归算术， 而它所使用的语言则可追溯到 2.2 函数与关系。

先备知识

这一节可以独立阅读。

本单元重点词汇

本系列更多笔记

上一节

2.2 函数与关系

下一节

3.2 归纳法与递归算术