3.3 由等价类构造整数

自然数不足以处理所有代数问题。一个很简单的方程

$$1 = x + 2$$

在 $N$ 里就没有解。如果我们希望减法可以系统地成立，就必须建立一个比自然数 更大的数系。

源材料并不是单靠直觉去“引入负数”，而是从我们已经理解的对象，也就是自然数 有序对，形式化地构造整数。

指导思想

一个对子 (a,b) 可以看成形式差值

$$a-b.$$

按这个想法，很多不同对子都可能代表同一个整数。例如

$$(3,1), \quad (5,3), \quad (8,6)$$

都自然地指向同一个差值 2。

所以整数不应该是某一个有序对本身，而应该是“所有代表同一差值的对子”构成 的等价类。

$N^2$ 上的关系

条件 $a+d=b+c$ 正好反映了 (a,b) 与 (c,d) 代表同一个形式差值：

$$a-b=c-d.$$

把上式移项，就得到 $a+d=b+c$。

为什么这条关系是对的

这个证明并不难，但值得理解，因为它解释了为什么 quotient construction 可以成立。

整数现在究竟是什么

因此，一个整数不是一个对子，而是一整个等价类。

熟悉的整数在这个构造中重新出现：

• [(0,0)] 表现得像 0；
• [(1,0)] 表现得像 1；
• [(0,1)] 表现得像 $-1$；
• 一般来说，[(n,0)] 对应熟悉的自然数 n。

怎样把 $N$ 嵌入 $Z$

自然数并没有消失，而是以新的方式出现在整数中。

这说明 quotient construction 并不是摧毁旧数系，而是保留其中一个可辨认 的副本，同时把范围扩张。

正、负与零

源材料强调，正负零并不是贴在某个代表元上的标签，而是整个等价类的性质。

• 如果一个类有代表元 (a,b) 满足 $a>b$，就视为 正；
• 如果有代表元满足 $a<b$，就视为 负；
• 如果有代表元满足 $a=b$，就视为 零。

因为这些性质不能随着代表元改变，所以还要证明它们在等价类上是 well-defined。

等价类上的运算

为了让商集真正成为数系，还需要定义运算。加法定义为

$$[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].$$

这个定义与形式差值的直觉完全一致：

$$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d).$$

接下来关键的一步，就是检验这类定义是 well-defined，也就是说不会因为更换 代表元而改变结果。

一个具体计算

常见错误

快问快答

练习

建议先读

这一节依赖 2.2 函数与关系 中的等价关系 语言，并会衔接到 3.4 有理数与良定运算。