逻辑从已经足够完整、可以判断真假的陈述开始。这个区别看起来简单， 但在整门课里都非常重要：一旦一句话还没有封闭，就不能把它当作命题来处理。
命题与真假值
定义
命题
命题是一个具有确定真假值的陈述。它要么是真的，要么是假的，没有第三种情况。
这个定义的目的不是把逻辑弄得更抽象，而是区分哪些句子已经可以检验， 哪些句子仍然不完整。
例子：
- 是命题。
每个偶数都可以被 2 整除是命题。请打开门。不是命题，因为它是命令。- 如果没有指定
x， 还不是命题。
常见错误
含有自由变量的公式不会自动变成命题
如果一句话的真假仍然依赖未指定的变量，那么它就是开放句，不是完整陈述。 你必须先赋值，或者以后用量词把它绑定起来。
例题
判断哪些句子是命题
考虑以下三句：
7是质数。- 。
请交作业。
第 1 句是命题，而且是真的。第 2 句不是命题，因为要看 x 取什么值。
第 3 句不是命题，因为它是请求，不是主张。
解答
为什么要分清楚
布尔连接词
课程里会反复用到五个连接词：
| 符号 | 读法 | 核心意思 |
| --- | --- | --- |
| | 非 | 将真假值取反 |
| | 且 | 只有两边都真才真 |
| | 或 | 只要至少一边真就真 |
| | 若 ，则 | 只有 真而 假时为假 |
| P ↔ Q | 当且仅当 | 两边真假一致时才真 |
这些不是普通口语的缩写，而是逻辑语言的基本符号，用来拼出更复杂的陈述。
运算次序也固定：
- 和
- 和
↔
如果仍然有歧义，就必须加括号。
例题
先解析，再阅读
公式 应该读成
也就是说：或者 为假而 为真，或者 为真。
如果你想表达别的意思，就一定要明确加括号。
解答
为什么括号不是装饰
真值表与逻辑等价
当你知道各个命题的真假值之后，就可以计算复合公式的真假。真值表就是用来记录这件事的。
定理
常用等价式
下面这些等价式是基本工具，应该尽量熟记：
这些不是哲学命题，而是真值表恒等式。
例题
用真值表检查蕴含
只会在一种情况下为假： 真而 假。其余情况都为真。
| | | | | --- | --- | --- | | | | | | | | | | | | | | | | |
所以 不是说 和 都真，而是排除了“前件真、后件假”这种情况。
解答
这一点很重要
推理规则
课程里会反复用到几种有效推理模式。
定理
常见推理模式
如果 和 都真，那么 一定真。这叫 modus ponens。
如果 和 都真，那么 一定真。这叫 modus tollens。
如果 和 都真，那么 一定真。这叫 hypothetical syllogism。
如果 和 都真，那么 一定真。这叫 disjunctive syllogism。
这些模式之所以重要，是因为它们像合法运算：前提真，结论就一定真。
例题
一条有效的推理链
假设你知道
你可以先由第一句和第三句推出 ，再由第二句推出 。
所以结论 能从前提逻辑地推出。
解答
如何识别这类推理
常见错误
不要混淆有效与无效的推理模式
由 和 ，你不能推出 。这个谬误叫 affirming the consequent。
由 和 ，你不能推出 。这个谬误叫 denying the antecedent。
快速检查
快速检查
以下哪些是命题：、请打开窗户。、？
是命题。请打开窗户。 不是。 要先指定 x 才算命题。
解答
答案
快速检查
按照标准次序， 应该加什么括号？
记住 最先，然后是 和 。
解答
答案
快速检查
和 、，哪个等价？
看蕴含的真假条件。
解答
答案
快速检查
推理 、，所以 有效吗？
试想 其实为假的情况。
解答
答案
嵌入式检查
用互动表试验你自己写出来的公式。
边读边试
跟着看一张真值表
互动工具让你切换公式，并观察每一列如何影响最后的真假。
| P | Q | P → Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
先读这一页
如果你想看量词版本，请读 1.3 量词与否定。