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2.3 高斯消元与最简行阶梯形

跟着一条完整的行化简路径，学会用 REF 与 RREF 读方程组，而不是靠猜。

笔记系列

MATH1030：线性代数 I

以严谨方式整理的线性代数笔记，涵盖方程组、矩阵、结构与证明；互动只在真正有助理解数学时使用。

语言

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全部笔记系列系列总览

章节 1

方程组

学习把方程读成完整的解集。

1.1

1.1 方程与解集

章节 2

矩阵与消元

建立矩阵直觉，并有目的地使用行化简。

2.1

2.1 矩阵基础

2.2

2.2 增广矩阵与行变换

2.3

2.3 高斯消元与最简行阶梯形

2.4

2.4 解集的种类

章节 3

矩阵代数

矩阵乘法、转置与结构化矩阵记号。

3.1

3.1 矩阵乘法与单位矩阵

3.2

3.2 转置与特殊矩阵

章节 4

解的结构

齐次方程组、零空间与完整解集的结构。

4.1

4.1 齐次方程组与零空间

章节 5

可逆性

理解什么情况下矩阵可以被反转，以及这件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩阵

会员

章节 6

向量空间

由矩阵程序走向空间结构、张成、无关与基底。

6.1

6.1 向量空间

会员

6.2

6.2 子空间

会员

6.3

6.3 线性组合与张成

会员

6.4

6.4 线性相依与线性无关

会员

6.5

6.5 基底与维数

会员

6.6

6.6 列空间、行空间与秩

会员

为什么要学消元

很多同学第一次接触高斯消元时，都会觉得它像一堆死规则：

  • 换行，
  • 乘一行，
  • 减一行，
  • 一直做到矩阵看起来“整齐”为止。

这个理解太弱。

高斯消元真正的作用，是把本来难读的方程组，逐步改写成容易阅读的 形式。每一步行变换都应该回答一个很清楚的问题，例如：

  • 我下一步想把哪个变量的位置弄清楚？
  • 哪个元素正在阻碍我？
  • 用哪个操作，可以在不改变解集的情况下制造更多 0？

如果你一直带着这些问题去做，消元就不再像机械重复，而会变成一种 有方向的阅读方法。

先讲直觉：我们想得到什么形状？

我们想得到的，不只是“比较简单的矩阵”，而是方便读出结构的矩 阵。

实际操作时，你会不断做下面几件事：

  1. 选一个主元，
  2. 把它下面的元素清掉，
  3. 转到右下角更小的子矩阵，
  4. 如果想得到最容易直接阅读的形式，再把主元上面的元素也清掉。

所以，消元其实是在一步一步建立一条主元阶梯。

定义

REF 与 RREF

矩阵属于 行阶梯形（REF），表示：

  1. 全 0 行都放在最下面；
  2. 每一个非零行的第一个非零元素，都比上一行的第一个非零元素更靠 右。

矩阵属于 最简行阶梯形（RREF），则还要再满足：

  1. 每个主元都等于 1；
  2. 每个主元所在的列，除了那个主元之外，其余位置全部都是 0。

每一个非零行最左边的第一个非零元素，叫做 主元。含有主元的列， 叫做 主元列。没有主元的列，对应的是 自由变量。

这些词汇很重要，因为后面判断“唯一解 / 无限多解 / 无解”时，就是靠 它们。

定理

为什么行化简是安全的？

如果两个增广矩阵是行等价的，那么它们代表的是等价方程组，也就是 说，它们有相同的解集。

所以，行化简不是在改题目，而是在重新排列同一题的信息。

走一次完整的消元路径

本地讲义 MATH1030-Notes.pdf §2.2 的核心做法，是由增广矩阵开始， 然后反复利用主元去清掉它下面的元素。现在我们跟着这个思路看一个 小例子：

x+2y+2z=4,x+3y+3z=5,2x+6y+5z=6.\begin{aligned} x + 2y + 2z &= 4, \\ x + 3y + 3z &= 5, \\ 2x + 6y + 5z &= 6. \end{aligned}

它的增广矩阵是

[122413352656].\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 5 \\ 2 & 6 & 5 & 6 \end{bmatrix}.

例题

把每个行变换都读成一个目的

左上角的 1 已经是一个很方便的主元，所以第一个目标很清楚：

把这个主元下面的元素全部变成 0。

做

R2←R2−R1,R3←R3−2R1.R_2 \leftarrow R_2 - R_1, \qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1.

就得到

[12240111021−2].\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & -2 \end{bmatrix}.

现在第 1 列已经完成。下一个主元在第 2 行第 2 列，所以用它清掉下面 的 2：

R3←R3−2R2.R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.

矩阵变成

[1224011100−1−4].\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -4 \end{bmatrix}.

到这一步，其实已经是 REF，可以用回代法解题。不过，如果你想得到最 方便直接阅读的形式，就继续做成 RREF。

先把最后一个主元改成 1：

R3←−R3⇒[122401110014].R_3 \leftarrow -R_3 \quad\Rightarrow\quad \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}.

然后清掉这个主元上方的元素：

R1←R1−2R3,R2←R2−R3,R_1 \leftarrow R_1 - 2R_3, \qquad R_2 \leftarrow R_2 - R_3,

得到

[120−4010−30014].\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}.

最后，再把第二个主元上方的 2 清掉：

R1←R1−2R2,R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2,

就得到 RREF

[1002010−30014].\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}.

这时解可以直接读出：

x=2,y=−3,z=4.x = 2,\qquad y = -3,\qquad z = 4.

这个例子要你记住的，不是孤立的步骤，而是下面的节奏：

  • 清主元下面的元素，建立 REF；
  • 清主元上面的元素，建立 RREF；
  • 到了 RREF，就可以直接读解。

用互动步骤器再走一次

下面的步骤器保留同一条消元路径，但刻意放慢节奏。每到一步，都请你 同时观察：

  1. 正在处理哪一个主元；
  2. 正在做哪一个行变换；
  3. 做完之后，哪一部分变得更容易读。

边读边试

跟着走完一条行化简路径

互动步骤器会带你走完一条完整的消元路径，逐步显示行变换、正在处理的主元，以及每一步得到的矩阵。

1224
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2656

行变换

先在第 1 列选主元。

要留意什么

第 1 列的第一行已经有方便的主元 1，所以暂时不用换行。

先由增广矩阵开始。第一个主元的工作，是帮我们把它下面的元素清掉。

怎样读一个 RREF 矩阵

当矩阵已经在 RREF 时，最重要的阅读问题有三个：

  • 每个变量列都有主元吗？
  • 有没有自由变量？
  • 有没有矛盾行？

例题

先读结构，再做计算

假设你最后得到

[103501−210000].\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

这里第 1、2 列是主元列，但第 3 列不是，所以第三个变量是自由变量。

因此，这个系统不是唯一解。它会有无限多解，因为你可以先自由选 第三个变量，再回头求出另外两个主元变量。

定理

矛盾行代表什么？

如果行化简后出现

[0001],\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix},

它对应的方程就是 0=10 = 1。这不可能成立，所以原方程组不相容，也就 是无解。

常见错误

常见错误

REF 不等于 RREF

很多人只要看到主元下面全是 0 就停手。那样可能已经足够做回代，但 还没有到 RREF。RREF 要求主元所在的列，其他位置也全部是 0。

常见错误

做操作时没有明确目标

不要因为“好像要减一下”就随便做行变换。每一步之前，先把目的说清 楚：

  • 你现在用的是哪个主元？
  • 你想消去哪一个元素？
  • 为什么这一步是最自然的下一步？

这个习惯会让你的计算更稳定，也更容易检查符号错误。

快速检查

快速检查

什么情况下应该先换行，再继续消元？

想一想当前的主元位置。如果那个位置是 0，但同一列更下面有非零元 素，会怎样处理？

解答

答案

快速检查

[0 0 0 | 1] 是一行无害的数据吗？

先把它翻译回一条方程，再决定答案。

解答

答案

练习

练习 1

由

[112323580112]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 & 8 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix}

开始，如果你的目标是清掉第一个主元下面的元素，最自然的第一步行变 换是什么？

解答

练习 1 引导解答

练习 2

考虑矩阵

[102401−130000].\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.

它代表的系统有唯一解、无限多解，还是无解？

解答

练习 2 引导解答

先读这一页

这一页直接建立在 2.2 增广矩阵与行变换 之上。如果你对“为什么行变换不会改变解集”仍然觉得不稳，请先回去 重读那一页，再练这里的长消元路径。

Section mastery checkpoint

Complete the questions below to run a final section checkpoint. Progress: 0%.

Skills: rref, pivot-columns, row-reduction

In RREF, which statement is always true about pivot columns of a matrix A?

先备知识

2.2

2.2 增广矩阵与行变换

本单元重点词汇

本系列更多笔记

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2.2 增广矩阵与行变换

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2.4 解集的种类