Evanalysis
3.1有来源支持嵌入式互动预计阅读时间: 1 分钟

3.1 矩阵乘法与单位矩阵

理解何时可以做矩阵乘法、行乘列规则怎样运作，以及单位矩阵为何对方程组与逆矩阵重要。

笔记系列

MATH1030：线性代数 I

以严谨方式整理的线性代数笔记，涵盖方程组、矩阵、结构与证明；互动只在真正有助理解数学时使用。

语言

EN英语繁繁体中文简简体中文
全部笔记系列系列总览

章节 1

方程组

学习把方程读成完整的解集。

1.1

1.1 方程与解集

章节 2

矩阵与消元

建立矩阵直觉，并有目的地使用行化简。

2.1

2.1 矩阵基础

2.2

2.2 增广矩阵与行变换

2.3

2.3 高斯消元与最简行阶梯形

2.4

2.4 解集的种类

章节 3

矩阵代数

矩阵乘法、转置与结构化矩阵记号。

3.1

3.1 矩阵乘法与单位矩阵

3.2

3.2 转置与特殊矩阵

章节 4

解的结构

齐次方程组、零空间与完整解集的结构。

4.1

4.1 齐次方程组与零空间

章节 5

可逆性

理解什么情况下矩阵可以被反转，以及这件事的重要性。

5.1

5.1 可逆矩阵

会员

章节 6

向量空间

由矩阵程序走向空间结构、张成、无关与基底。

6.1

6.1 向量空间

会员

6.2

6.2 子空间

会员

6.3

6.3 线性组合与张成

会员

6.4

6.4 线性相依与线性无关

会员

6.5

6.5 基底与维数

会员

6.6

6.6 列空间、行空间与秩

会员

矩阵乘法是第一个真正把“行”与“列”结合起来的矩阵运算。它也是矩阵之所以 能表达复合、线性方程组与逆矩阵的核心原因。所以这条规则不能只靠死记；你 要明白每一步的大小条件到底在做什么。

为什么矩阵乘法比加法微妙

矩阵加法与数乘都是逐项进行。矩阵乘法则不同：输出中的一个元素，是由左边 矩阵的一整行与右边矩阵的一整列共同决定。

定义

矩阵乘积何时有定义

若 AA 是 m×nm \times n 矩阵，BB 是 n×pn \times p 矩阵，则乘积 AB 有定义，且结果是 m×pm \times p 矩阵。

若 AA 的列数不等于 BB 的行数，则 AB 未定义。

内侧大小必须配对；外侧大小则给出结果矩阵的大小。

行乘列规则

定义

矩阵乘法

设 A=[aij]A = [a_{ij}] 是 m×nm \times n 矩阵，B=[bjk]B = [b_{jk}] 是 n×pn \times p 矩阵。

则 AB 的 (i,k) 元素为

(AB)ik=ai1b1k+ai2b2k+⋯+ainbnk.(AB)_{ik} = a_{i1}b_{1k} + a_{i2}b_{2k} + \cdots + a_{in}b_{nk}.

也就是说，输出中的一个元素，是 AA 的第 i 行与 BB 的第 k 列按位相 乘后再相加。

这个定义同时说明三件事：

  • 矩阵乘法不是逐项相乘；
  • 内侧大小必须吻合；
  • 一个输出元素会用到整行与整列中所有对应位置。

例题

细算一个矩阵乘积

令

A=[123−1],B=[4051].A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}.

由于两者都是 2×22 \times 2，所以 AB 有定义。其元素为

(AB)11=1⋅4+2⋅5=14,(AB)_{11} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 = 14,(AB)12=1⋅0+2⋅1=2,(AB)_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2,(AB)21=3⋅4+(−1)⋅5=7,(AB)_{21} = 3 \cdot 4 + (-1) \cdot 5 = 7,(AB)22=3⋅0+(−1)⋅1=−1.(AB)_{22} = 3 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1.

因此

AB=[1427−1].AB = \begin{bmatrix} 14 & 2 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}.

矩阵乘向量就是方程组语言

若 x 是列向量，那么 Ax 只是矩阵乘法的特例，但它刚好把线性方程组的左 边全部打包起来。

对

A=[12−13−15],x=[x1x2x3],A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 5 \end{bmatrix}, \qquad x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix},

有

Ax=[x1+2x2−x33x1−x2+5x3].Ax = \begin{bmatrix} x_1 + 2x_2 - x_3 \\ 3x_1 - x_2 + 5x_3 \end{bmatrix}.

所以 Ax=bAx = b 并不是纯粹缩写，而是把整个方程组写成一个矩阵乘积。

单位矩阵是刻意“什么也不改变”的矩阵

定义

单位矩阵

对每个正整数 n，InI_n 表示 n×nn \times n 单位矩阵：主对角线上全是 1， 其余位置全是 0。

例如

I2=[1001],I3=[100010001].I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.

单位矩阵之所以重要，是因为它对任何大小相容的矩阵都不起改变作用：

AIn=A,ImA=A.AI_n = A, \qquad I_m A = A.

例题

为什么乘上单位矩阵不会改变矩阵

若

A=[2−143],A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix},

则

AI2=[2−143][1001]=[2−143].AI_2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}.

因为 I2I_2 的第一列会抽出 AA 的第一列，第二列会抽出 AA 的第二列。

这正是往后定义逆矩阵的原因：若 A−1A^{-1} 存在，就要求 AA−1=IAA^{-1} = I。

乘法一般不交换

线性代数最早令学生不习惯的地方之一，就是

AB≠BAAB \ne BA

一般并不成立。

有时两个乘积都定义，但结果不同；有时其中一个有定义，另一个根本未定义。 所以次序同时影响“能不能做”与“做出来是什么”。

下面的图可以帮你直接看到：一个输出元素，是如何由一行与一列构成的。

边读边试

跟着看一格矩阵乘法

互动工具会在你改变 A 与 B 的元素时，即时更新 AB 的每一格。

结果

89
34

8 = 1×2 + 2×3

常见错误

常见错误

矩阵乘法不是逐项相乘

(AB)ik(AB)_{ik} 不是 aikbika_{ik}b_{ik}。它来自 AA 的第 i 行与 BB 的第 k 列。

常见错误

一个方向可乘，不代表反方向也可乘

若 AA 是 2×32 \times 3、BB 是 3×43 \times 4，则 AB 有定义，但 BA 没有。不要自动把顺序反过来。

快速检查

快速检查

若 AA 是 2×32 × 3、BB 是 3×53 × 5，那么 AB 的大小是什么？

先检查内侧大小，再读外侧大小。

解答

答案

快速检查

把一个大小相容的矩阵乘上 InI_n，会发生什么？

用一句话回答。

解答

答案

练习

快速检查

为什么 Ax=0Ax = 0 不论 AA 是什么，都至少有一个解？

把 x 看成列向量来回答。

解答

引导解答

相关笔记

本节建立在 2.1 矩阵基础 之上。 下一节可读 3.2 转置与特殊矩阵， 或直接跳到 5.1 可逆矩阵。

先备知识

2.1

2.1 矩阵基础

本单元重点词汇

本系列更多笔记

上一节

2.4 解集的种类

下一节

3.2 转置与特殊矩阵