空間模型的向量與矩陣工具

在使用張量或曲線坐標向量公式之前，需要掌握向量運算、矩陣作用和行列式的幾何意義。同一套工具可描述觀測系統、力、定向面積和坐標標架。本章明確建立這些基礎。

1 向量、點積與投影

$\mathbb R^2$ 或 $\mathbb R^3$ 中的向量逐坐標相加，並可由實數縮放。點積 $u\cdot v=\sum u_iv_i$ 給出歐氏長度 $\|u\|=\sqrt{u\cdot u}$。展開 $\|u-tv\|^2\ge0$ 並對 $t$ 取最小值可證明 Cauchy–Schwarz 不等式 $|u\cdot v|\le\|u\|\|v\|$。取等當且僅當向量線性相關，包括零向量情形。

對單位方向 $n$，$u\cdot n$ 是沿該方向的有符號分量，對應的向量分量為 $(u\cdot n)n$。若非零 $n$ 不一定是單位向量，則投影為 $[(u\cdot n)/(n\cdot n)]n$。對 $u=(3,1,2)$ 和 $n=(1,0,1)$，投影為 $(5/2,0,5/2)$；餘向量 $(1/2,1,-1/2)$ 與 $n$ 的點積為零。

2 叉積與行列式

在三維中，

$$u\times v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1).$$

直接代入可見它垂直於兩個輸入。展開模的平方得到 $\|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2$，故其模為平行四邊形面積。其方向遵循右手定則，交換輸入順序會反轉向量。

對於 $2\times2$ 矩陣，行列式是 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$。對於以 $u,v,w$ 為欄的 $3\times3$ 矩陣，定義 $\det A=u\cdot(v\times w)$，得到有符號體積。按第一行展開為

$$a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) -a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) +a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}).$$

如混合積所示，行列式對每一欄分別線性，交換兩欄改變符號。相同的行性質可由展開式得到。行倍加保持行列式不變，行縮放使其按相同比例縮放，行交換使其變號。因此消元證明方陣可逆當且僅當行列式非零。有符號體積為零意味著三個欄方向不能張成空間體積。

3 矩陣作用與高斯消元

對 $A\in\mathbb R^{m\times n}$，$(Ax)_i=\sum_j a_{ij}x_j$。這是線性映射：$A(su+tv)=sAu+tAv$。矩陣的欄是標準坐標向量的像。複合對應乘法 $(AB)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$，維數須相容。

求解 $Ax=b$ 時，對整個增廣矩陣進行可逆行變換。若一行系數為零而右端非零，方程組不相容；自由變量給出非唯一性。若只對 $A$ 做行變換而忽略 $b$，就改變了問題。

觀測系統例。 假設三個按比例縮放的觀測通道給出

$$u+v+w=6,\quad u+2v+3w=14,\quad2u+v+w=7.$$

第三式減去第一式得到 $u=1$。再由 $v+w=5$、$2v+3w=13$ 得到 $w=3$、$v=2$。代回所有原觀測式均成立。系數行列式為 1，確認解唯一。物理觀測需要單獨論證線性模型和相容單位；解出方程不等於驗證了模型。

4 正交矩陣與定向的作用

實方陣在 $Q^TQ=I$ 時為正交矩陣，等價地，其欄標準正交。於是 $\|Qv\|^2=v^TQ^TQv=\|v\|^2$。方陣的欄線性無關使 $Q$ 可逆，且 $Q^{-1}=Q^T$。行列式乘法給出 $(\det Q)^2=1$，因此其值為 $+1$ 或 $-1$。

繞 $z$ 軸的旋轉為

$$Q=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$

其行列式為 1。對角矩陣 $\operatorname{diag}(-1,1,1)$ 也保持長度，但行列式為 $-1$，反轉定向。因此並非所有正交變換都是正旋轉。

要區分物理變換和坐標變換。將 $Q$ 物理作用於原向量 $(1,0,0)$，在舊坐標中得到 $(\cos\theta,\sin\theta,0)$。若新基向量是 $Q$ 的欄，而物理向量不變，其新坐標為 $Q^T(1,0,0)=(\cos\theta,-\sin\theta,0)$。符號相反並不矛盾，因為問題不同。這一區別是後續張量分量規律與變化坐標標架的基礎。

零情形與行列式乘法法則

Cauchy–Schwarz 論證先處理 $v=0$，此時等號成立。否則在 $\|u-tv\|^2\ge0$ 中代入 $t=(u\cdot v)/\|v\|^2$，得到 $\|u\|^2-(u\cdot v)^2/\|v\|^2\ge0$。乘正分母再開平方即得不等式。在 $v\ne0$ 的分支，等號意味著 $u=tv$；連同零向量情形，恰為線性相關。

本工具中的二維、三維行列式公式，可由交替性和逐欄線性證明乘法法則。固定 $A$，將 $D(b_1,\ldots,b_n)=\det(Ab_1,\ldots,Ab_n)$ 視為 $B$ 的各欄的函數，其中 $n=2$ 或 $3$。將每欄按標準基展開；重複基向量的項因交替性為零，其餘每項為置換符號乘 $D(e_1,\ldots,e_n)=\det A$。相應係數乘積之和恰為 $\det B$ 的二維或三維展開。因此 $\det(AB)=\det A\det B$。交換展開式的行、欄指標也給出 $\det(A^T)=\det A$。特別地，$Q^TQ=I$ 給出 $(\det Q)^2=1$。這證明本工具空間坐標和張量例題所用的行列式事實。

5 分級練習

E1 基礎。 計算 $(1,0,1)\times(0,2,0)$ 及其模，並解釋該模的幾何意義。

E2 行列式。 計算 $\det\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\0&0&2\end{pmatrix}$，並判斷可逆性。

E3 正交性。 驗證 $Q=\operatorname{diag}(-1,1,1)$ 正交。它是正旋轉嗎？有符號混合積如何變化？

E4 消元。 求解 $2u+v=4$、$v+w=5$、$u+w=4$，並驗證所有方程。

6 詳解

S1. 叉積為 $(-2,0,2)$，模為 $2\sqrt2$。它是兩個輸入向量張成的平行四邊形面積；以它們為邊的三角形面積為其一半。

S2. 利用三角矩陣或直接展開得 $1\cdot1\cdot2=2$。它非零，因此矩陣可逆，三個欄向量線性無關。

S3. $Q^TQ=I$，但行列式為 $-1$，故它是反射而不是正旋轉。它將每個定向混合積乘以 $-1$，同時保持絕對體積和長度。

S4. 由 $u+w=4$ 得 $w=4-u$，再得 $v=1+u$。第一式給出 $3u+1=4$，因此 $u=1$、$v=2$、$w=3$。檢查為 $2+2=4$、$2+3=5$、$1+3=4$。

小結

點積與叉積描述空間長度、投影、面積及定向。行列式判斷可逆性和有符號體積。高斯消元求解所述線性觀測模型，而正交矩陣區分保持長度與保持定向。物理旋轉和坐標變換使用相關矩陣，但回答不同問題。