耦合系統與二階微分方程

區室之間的交換使其變化率耦合。矩陣方法將總量與區室之間的差異分開。二階方程引入位置和速度之間的另一種耦合，並顯示振蕩或阻尼行為。

1 常系數系統

對常實 $d\times d$ 矩陣（$d\ge1$）系統 $x'=Ax$，實特徵對 $(\lambda,v)$ 給出解 $x(t)=e^{\lambda t}v$，直接求導即可驗證。若 $A=PDP^{-1}$ 有實特徵基，令 $x=Pz$，則 $z'=Dz$，並有

$$x(t)=P\operatorname{diag}(e^{\lambda_1t},\ldots,e^{\lambda_dt})P^{-1}x(0).$$

對任意方陣 $A$，定義矩陣指數

$$e^{tA}=\sum_{k=0}^\infty\frac{t^kA^k}{k!}.$$

次乘性矩陣範數用 $e^{|t|\|A\|}$ 控制級數，給出有界時間區間上的絕對一致收斂。導數級數有同類界，故可逐項求導，得到 $(e^{tA})'=Ae^{tA}$。將兩個級數相乘或求解導數恆等式，可得 $e^{tA}e^{-tA}=I$。因此 $x=e^{tA}x_0$ 是唯一解：對任意解，求導 $e^{-tA}x(t)$ 得零。

此構造不假設可對角化。對 $A=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}=-I+N$ 且 $N^2=0$，有 $e^{tA}=e^{-t}(I+tN)$。錯誤地將重特徵值對角化不能得到因子 $t$。

2 兩個相通水庫

兩個等體積、完全混合的水庫以有效速率 $k>0$ 交換，並各以速率 $\mu\ge0$ 移除溶質。沒有外部輸入時，濃度滿足

$$\binom{c_1'}{c_2'}=\begin{pmatrix}-(k+\mu)&k\\k&-(k+\mu)\end{pmatrix}\binom{c_1}{c_2}.$$

令 $s=c_1+c_2$、$d=c_1-c_2$。相加和相減得到 $s'=-\mu s$、$d'=-(2k+\mu)d$，故

$$c_1(t)=\tfrac12[s_0e^{-\mu t}+d_0e^{-(2k+\mu)t}],\quad c_2(t)=\tfrac12[s_0e^{-\mu t}-d_0e^{-(2k+\mu)t}].$$

當 $\mu=0$ 時，由於體積相等，總質量與 $s$ 成正比，故守恆；差異衰減至零，留下相等濃度 $s_0/2$。當 $\mu>0$ 時，兩個濃度最終都趨於零，但不平衡比總量衰減更快。對非負初始濃度及正向時間 $t\ge0$，$|d_0|\le s_0$，較快的衰減保證兩者非負。

體積為不等的正常數時，未加權的濃度和不是總質量。總質量是 $M=V_1c_1+V_2c_2$。若無外源且兩區室有相同移除率 $\mu$，交換項相消，得到 $M'=-\mu M$；僅當 $\mu=0$ 時質量守恆。速率系數必須從適當的質量平衡推導。

3 二階方程

線性二階齊次方程為 $y''+ay'+by=0$。代入 $e^{rt}$ 得特徵方程 $r^2+ar+b=0$。不同實根給出 $C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}$；重實根給出 $(C_1+C_2t)e^{rt}$；根 $\alpha\pm i\beta$ 給出 $e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t+C_2\sin\beta t)$。代入驗證這些解，其獨立的初始位置與速度值連同唯一性說明它們張成全部解。

對阻尼振子

$$y''+2\gamma y'+\omega_0^2y=0,\qquad\gamma\ge0,\ \omega_0>0,$$

根為 $-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$。欠阻尼情形 $\gamma<\omega_0$ 以角頻率 $\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$ 振蕩，包絡為 $e^{-\gamma t}$。臨界阻尼有重根；過阻尼有兩個不同的負實根。

能量 $E=(y'^2+\omega_0^2y^2)/2$ 滿足

$$E'=y'(y''+\omega_0^2y)=-2\gamma y'^2\le0.$$

這直接檢驗符號約定：正阻尼不能增加該模型能量。此方程是簡化的局部模型，並非所有環境運動的普遍描述。

完整的實矩陣指數構造

固定實 $d\times d$ 矩陣 $A$，其中 $d\ge1$，使用歐氏算子範數；其定義給出 $\|AB\|\le\|A\|\|B\|$。對 $T>0$，在 $[-T,T]$ 上，級數各項的範數不超過 $T^k\|A\|^k/k!$；對 $k\ge1$，導數項的範數不超過 $\|A\|^kT^{k-1}/(k-1)!$。兩個非負控制級數均收斂：超過某個有限指標後，相鄰項比值至多為 $1/2$，尾和受幾何級數控制。因此相同的界使兩個矩陣級數在區間上一致 Cauchy。逐個實元素使用完備性和連續性，得到連續極限 $E,G$。

對多項式部分和 $E_N$，有 $E_N(t)-I=\int_0^tE_N'(s)ds$。一致收斂允許逐元素取極限，因為積分誤差至多為 $T$ 乘導數的一致誤差。因此 $E(t)-I=\int_0^tG(s)ds$。微積分基本定理現在證明可微性，而不只是形式導數級數收斂。將收斂的導數級數重新編號得到 $G=AE$。每個部分和與 $A$ 可交換，所以 $E$ 也與 $A$ 可交換。

乘積 $E(t)E(-t)$ 的導數為 $AE(t)E(-t)-E(t)AE(-t)=0$，在零處為 $I$。將 $t$ 換成 $-t$ 得到兩個逆恆等式。於是 $x'=Ax$ 的任意解滿足 $(E(-t)x(t))'=0$，證明 $x(t)=E(t)x(0)$ 及唯一性。固定 $s$，$E(t+s)$ 與 $E(t)E(s)$ 滿足同一方程且在 $t=0$ 取值相同，所以 $E(t+s)=E(t)E(s)$；這也保證常數變易中的指數分解合法。

實二階方程的三種解對，其 Wronskian 分別為 $(r_2-r_1)e^{(r_1+r_2)t}$、$e^{2rt}$、$\beta e^{2\alpha t}$，其中非實根情形取 $\beta>0$。它們均非零，所以每對初值確定一個線性組合。該組合與任意另一個解的差給出零初值的一階實系統，已證唯一性便確立解族完整。重根解對也可直接令 $y=e^{rt}u$，將方程化為 $u''=0$ 得到。

雙水庫物理模型的正性是正向時間結論：當 $t\ge0$，有 $e^{-(2k+\mu)t}\le e^{-\mu t}$ 且 $|d_0|\le s_0$，故兩個濃度式均非負。線性 ODE 解本身也在負時間存在，但正性未必向過去保持。例如 $k=1$、$\mu=0$、$c_1(0)=1$、$c_2(0)=0$ 時，$c_2(t)=(1-e^{-2t})/2$ 在 $t<0$ 為負。

4 分級練習

E1 基礎。 解 $x'=\operatorname{diag}(-2,1)x$、$x(0)=(3,4)$，並描述長期行為。

E2 水庫。 令 $k=1$、$\mu=0$、$c_1(0)=6$、$c_2(0)=2$，求兩個濃度及其極限。

E3 重根。 解 $y''+4y'+4y=0$、$y(0)=1$、$y'(0)=0$。

E4 振蕩。 解 $y''+2y'+5y=0$、$y(0)=0$、$y'(0)=2$。

5 完整解答

S1. $x(t)=(3e^{-2t},4e^t)$。一個分量衰減，另一個增長。一個方向的負特徵值不使整個系統漸近穩定。

S2. $s_0=8$、$d_0=4$，故 $c_1=4+2e^{-2t}$、$c_2=4-2e^{-2t}$，兩者均趨於 4，其和恆為 8。

S3. 重根為 $-2$，故 $y=(C_1+C_2t)e^{-2t}$。初始位置給出 $C_1=1$，初始導數給出 $C_2-2C_1=0$，故 $y=(1+2t)e^{-2t}$。

S4. 根為 $-1\pm2i$。寫作 $y=e^{-t}(C_1\cos2t+C_2\sin2t)$。初始位置給出 $C_1=0$，導數給出 $2C_2=2$，故 $y=e^{-t}\sin2t$。

總結

特徵模式分離耦合線性動力學，而矩陣指數處理重特徵值或缺陷特徵值。守恆律識別正確的聚合變量。二階方程需要兩個初始條件，能量求導可檢查阻尼和符號是否符合目標物理模型。