一階微分方程與環境平衡

微分方程將狀態與其變化率聯繫起來。平衡模型從簡單的覈算原則開始：儲存量變化率等於輸入減去輸出，再加內部生成。選用解法之前先寫出這一原則，可避免單位錯誤及遺漏體積因子。

1 狀態、初始條件與存在性

一階常微分方程形如 $y'=F(t,y)$。解是在區間上滿足該方程的可微函數。當唯一性成立時，初始條件 $y(t_0)=y_0$ 選定一條軌跡。

一個有用的局部定理是：若 $F$ 在 $(t_0,y_0)$ 附近連續且在那裡對 $y$ 局部 Lipschitz，則存在唯一局部解。由中值定理，$\partial F/\partial y$ 連續足以在較小矩形上保證 Lipschitz 條件。這是局部結果；解仍可能在有限時間爆破，例如 $y'=y^2$、$y(0)=1$ 的解 $1/(1-t)$。完整證明可對短區間上的積分映射 $y\mapsto y_0+\int_{t_0}^tF(s,y(s))ds$ 使用壓縮映射：有界性使映射保持在閉函數球內，Lipschitz 常數乘區間長度使其成為壓縮。函數空間的一致範數完備性和幾何誤差界給出唯一不動點，再由微積分基本定理得到解。

2 線性方程與積分因子

對具有連續系數的 $y'+p(t)y=q(t)$，定義 $\mu(t)=\exp(\int_{t_0}^tp(s)ds)$。它為正且滿足 $\mu'=p\mu$。乘積法則給出 $(\mu y)'=\mu q$，故

$$y(t)=\mu(t)^{-1}\left[y_0+\int_{t_0}^t\mu(s)q(s)ds\right].$$

這推導了公式，並直接證明線性方程的存在性與唯一性。齊次解乘以衰減或增長因子 $\mu^{-1}$。

3 完全混合水庫

水庫體積恆為正數 $V>0$，輸入和輸出體積流率為 $Q$，流入濃度為 $c_{\rm in}$，一階移除率為 $k\ge0$。設 $M(t)$ 為儲存的污染物質量，$c=M/V$。假設完全混合，輸出質量流率為 $Qc$，平衡方程為

$$M'=Qc_{\rm in}-Q\frac MV-kM.$$

等價地，

$$c'=\frac QV c_{\rm in}-\left(\frac QV+k\right)c.$$

若 $Q>0$ 且輸入量恆定，平衡濃度為 $c_*=Qc_{\rm in}/(Q+kV)$，並有

$$c(t)=c_*+(c_0-c_*)e^{-(Q/V+k)t}.$$

指數速率的單位是時間的倒數。解趨於 $c_*$，未必趨於 $c_{\rm in}$，因為內部移除可能持續。若體積變化，對恆等式 $M=Vc$ 求導得 $M'=Vc'+V'c$；沿用恆體積濃度方程將遺漏一項。

對一致單位下的 $V=100$、$Q=10$、$k=0.05$ 和 $c_{\rm in}=6$，平衡濃度為 4，且 $c(t)=4+(c_0-4)e^{-0.15t}$。若初始水清潔，在 $t=(\log2)/0.15$ 時達到平衡濃度的一半。

4 可分離方程與平衡解

對 $y'=a y(1-y/K)$（$a,K>0$），非零的非平衡解可分離變量：

$$\frac{dy}{y(1-y/K)}=a\,dt.$$

積分部分分式並使用正初值，得到

$$y(t)=\frac K{1+(K/y_0-1)e^{-at}}.$$

對正初值，該公式在包含 $t=0$ 且分母非零的最大區間上成立。它對所有 $t\ge0$ 有效；若 $y_0>K$，向過去延拓有有限時間極點，不能穿過極點作為解延續。除以 $y(1-y/K)$ 前必須單獨記錄平衡解 $y=0$ 和 $y=K$。當 $0<y_0<K$，解遞增趨於 $K$。邏輯斯蒂模型是具體的現象學假設，而非普遍生態規律。

統一 Lipschitz 定理及有限維實系統

這裏明確給出上文局部 Lipschitz 假設的含義與證明。設 $d\ge1$ 有限，$U\subset\mathbb R\times\mathbb R^d$ 為開集，$F:U\to\mathbb R^d$ 連續。在 $(t_0,y_0)$ 附近假設有 $a,b>0$、$L\ge0$，使閉柱體 $Q=[t_0-a,t_0+a]\times\{y:\|y-y_0\|\le b\}$ 包含於 $U$，並且

$$\|F(t,y)-F(t,z)\|\le L\|y-z\|\quad((t,y),(t,z)\in Q).$$

同一個 $L$ 適用於其中每個時刻。關於 $y$ 的導數連續，可通過沿閉球內線段積分得到該界，是一個充分條件；但定理不要求該導數存在。

連續性和緊性給出 $Q$ 上 $\|F\|\le M$。令 $h=\min(a,b/(M+1),1/[2(L+1)])>0$、$I=[t_0-h,t_0+h]$、$q=hL<1/2$。考慮滿足 $\sup_I\|u-y_0\|\le b$ 的連續函數 $u:I\to\mathbb R^d$，使用上確界距離。此空間完備：一致 Cauchy 列的每個實坐標逐點 Cauchy，實數完備性給出逐點極限。在共同的 Cauchy 界中取極限，得到向量範數下一致收斂。使用一個固定連續函數的三項估計可知極限連續，閉的取值界也傳到極限。這證明了此特定函數空間的完備性，沒有對任意值域作無根據的假設。

逐分量積分，定義 $(Tu)(t)=y_0+\int_{t_0}^tF(s,u(s))\,ds$。於是

$$\|Tu-y_0\|_\infty\le hM<b,\qquad \|Tu-Tv\|_\infty\le q\|u-v\|_\infty.$$

對 $t_0$ 之前的時刻，交換積分上下限即可得到同樣估計。從常函數 $u_0=y_0$ 迭代 $u_{n+1}=Tu_n$。若 $q=0$，$T$ 為常映射，$u_1$ 即其不動點。若 $0<q<1$，令 $D=\|u_1-u_0\|_\infty$。歸納得 $\|u_{j+1}-u_j\|_\infty\le q^jD$。所以對 $p\ge1$，

$$\|u_{n+p}-u_n\|_\infty\le\frac{q^nD}{1-q}\longrightarrow0.$$

完備性給出 $u_n\to u$。由 $\|Tu-u\|_\infty\le q\|u-u_n\|_\infty+\|u_{n+1}-u\|_\infty$ 得 $Tu=u$；令 $p\to\infty$ 還得到同一幾何誤差界。逐坐標應用微積分基本定理，得 $I$ 內部 $u'=F(t,u)$ 且 $u(t_0)=y_0$。

兩個不動點滿足 $\|u-v\|_\infty\le q\|u-v\|_\infty$，因此相等。任意另一個局部解，由初值處的連續性，其圖像在某個共同小閉區間上留在 $Q$ 內。在那裏積分方程，得到相同的不動點等式，壓縮因子至多為 $q$，所以它與 $u$ 相等。這證明了所述統一 Lipschitz 條件下的局部存在和局部唯一性，包含標量情形，沒有附加全局存在或非線性穩定性結論。

在物理水庫解釋中，取正向時間 $t\ge0$、非負流率、非負流入與初始濃度及正體積。在這些假設保持時，積分因子表達式證明濃度非負。體積變化時，須保留體積為正的時間區間及質量導數中的 $V'c$ 項。

5 分級練習

E1 基礎。 解 $y'+2y=6$、$y(0)=1$，並直接驗證。

E2 平衡。 恆體積湖泊有 $V=200$、$Q=20$，無內部移除且流入水清潔。若 $c(0)=5$，求 $c(t)$ 和半衰期。

E3 外力項。 解 $y'+y=t$、$y(0)=0$。

E4 建模。 儲罐流入率為 $Q_{\rm in}$、流出率為 $Q_{\rm out}$，流入濃度為 $c_{\rm in}$，無反應。體積保持正時，推導濃度方程。

6 完整解答

S1. $y=3-2e^{-2t}$。於是 $y'=4e^{-2t}$、$y'+2y=6$，初值為 1。

S2. $c'=-0.1c$，故 $c(t)=5e^{-0.1t}$，半衰期為 $10\log2$。移除參數是 $Q/V$，而不是單獨的流率 20。

S3. 積分因子為 $e^t$。由於 $\int_0^tse^sds=(t-1)e^t+1$，故 $y=t-1+e^{-t}$。代入及 $y(0)=0$ 可驗證。

S4. $V'=Q_{\rm in}-Q_{\rm out}$，$M'=Q_{\rm in}c_{\rm in}-Q_{\rm out}c$。結合 $M'=Vc'+V'c$ 得 $Vc'=Q_{\rm in}(c_{\rm in}-c)$。流出項從此濃度方程中顯式抵消，但仍影響 $V(t)$。完全混合和所給流率仍是模型假設。

總結

求解微分方程前先寫質量平衡。積分因子在受控假設下求解線性方程；分離變量時不能丟失平衡解。初始條件、時間單位、混合假設與體積變化是模型的一部分，不是計算後可選的解釋。