雙曲函數與複指數表達式

指數函數刻畫增長和衰減，三角函數刻畫振蕩，而雙曲函數組合方向相反的指數變化率。複指數將這些函數納入共同代數框架，但不能免去選擇複對數值或分支。本章推導微分方程和坐標模型中使用的恆等式，而不假定符號代換總是安全的。

1 由絕對收斂級數構造複指數

對 $z\in\mathbb C$，定義 $e^z=\sum_{n=0}^\infty z^n/n!$。由比值 $|z|/(n+1)\to0$ 得絕對收斂；同一個標量指數控制項給出每個有界圓盤上的一致收斂。絕對收斂的 Cauchy 乘積與二項式定理給出

$$e^{z+w}=e^ze^w.$$

又當 $h\to0$ 時，$e^h=1+h+O(|h|^2)$，餘項以 $|h|^2e^{|h|}/2$ 為界。因此由 $e^{z+h}=e^ze^h$ 的差商，即使取複增量也可證明其導數為 $e^z$。乘積恆等式給出 $e^ze^{-z}=1$，所以指數函數從不為零。

對實數 $t$ 分離偶數項與奇數項，使用實正弦和餘弦的冪級數定義，得到 Euler 恆等式 $e^{it}=\cos t+i\sin t$。因此

$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y),\qquad |e^{x+iy}|=e^x.$$

$e^{(-\gamma+i\omega)t}$ 的實部和虛部是熟悉的阻尼振蕩 $e^{-\gamma t}\cos\omega t$ 和 $e^{-\gamma t}\sin\omega t$。複數記號可以簡化實線性計算，而不會把實際測量的變量變成複數。

2 雙曲函數及其恆等式

對實數 $x$，定義

$$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\qquad\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2.$$

前者為偶函數，後者為奇函數。將表達式相乘得

$$\cosh^2x-\sinh^2x=1.$$

其導數為 $(\sinh x)'=\cosh x$ 和 $(\cosh x)'=\sinh x$。指數加法法則給出

$$\sinh(x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y,$$

$\cosh(x+y)$ 有對應的加號公式。該加號不同於圓三角餘弦的加法恆等式，因為其定義二次關係含減號。

由於實數上 $e^x>0$，由算術—幾何平均不等式或 $(e^{x/2}-e^{-x/2})^2\ge0$ 可知 $\cosh x\ge1$，且只在零處取等。因此 $\tanh x=\sinh x/\cosh x$ 對所有實數 $x$ 有定義，且

$$\frac d{dx}\tanh x=\frac{\cosh^2x-\sinh^2x}{\cosh^2x}=\operatorname{sech}^2x>0.$$

曲線 $(\cosh t,\sinh t)$ 位於 $X^2-Y^2=1$ 上，這解釋了“雙曲”一詞。這裏不聲稱其參數是普通圓角。

3 單複變量連接兩類函數

對複數 $z$，定義

$$\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}2,\qquad \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},$$

並對 $\cosh z,\sinh z$ 使用相同的指數公式。它們在實軸上與實冪級數一致。代入得到

$$\cos(ix)=\cosh x,\quad\sin(ix)=i\sinh x,\quad \cosh(ix)=\cos x,\quad\sinh(ix)=i\sin x.$$

對 $z=x+iy$，用加法恆等式展開得

$$\sin(x+iy)=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y,$$ $$\cos(x+iy)=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y.$$

因此複正弦的模不以 1 為上界：在 $z=iy$ 處其模為 $|\sinh y|$，當 $|y|\to\infty$ 時無界。不能把實變量的值域結論直接推廣到複自變量。

4 反雙曲函數與對數定義域

實函數 $\sinh$ 的導數 $\cosh$ 為正，因此嚴格遞增，且兩端極限分別為方向相反的無窮大。以 $u=e^y>0$ 解 $x=(u-u^{-1})/2$ 得

$$\operatorname{arsinh}x=\log(x+\sqrt{x^2+1}),\qquad x\in\mathbb R.$$

對每個實數 $x$，對數真數為正。求導得到 $1/\sqrt{1+x^2}$。類似地，將 $\cosh$ 限制在 $y\ge0$ 得

$$\operatorname{arcosh}x=\log(x+\sqrt{x^2-1}),\qquad x\ge1,$$

其導數 $1/\sqrt{x^2-1}$ 只在 $x>1$ 時成立。解 $\tanh$ 得到 $|x|<1$ 上的 $\operatorname{artanh}x=\tfrac12\log[(1+x)/(1-x)]$。

對於複數，指數函數有週期：$e^{z+2\pi i}=e^z$。若 $z\ne0$ 的模為 $r$、幅角為 $\theta$，則每個值 $\log r+i(\theta+2\pi k)$，$k\in\mathbb Z$ 的指數都是 $z$。由於指數函數不是單射，它在整個定義域上沒有雙側逆。

不過，可以在整個 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上選取單值右逆。取主幅角 $\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi]$，定義 $L(z)=\log|z|+i\operatorname{Arg}z$。則 $e^{L(z)}=z$，但 $L$ 在負實軸上不連續。特別地，單值選取未必是連續的對數分支。

在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上不存在全局連續對數分支，因而也不存在全局全純分支。下面是基本的圓周障礙論證。若連續函數 $L$ 處處滿足 $e^{L(z)}=z$，則 $h(t)=\operatorname{Im}L(e^{it})-t$ 是從 $[0,2\pi]$ 到 $2\pi\mathbb Z$ 的連續函數，由介值定理它必為常數。但 $e^{i0}=e^{i2\pi}=1$ 給出 $h(2\pi)=h(0)-2\pi$，矛盾。

最後，對選定的對數寫出 $\log(zw)=\log z+\log w$ 時，兩邊可能相差 $2\pi i$ 的整數倍。正實數的實對數則如常沒有歧義。

指數函數背後的複數完備性與乘積證明

複 Cauchy 列收斂，因為實部與虛部均為實 Cauchy 列；將兩個實極限組合，便在複數絕對值下得到極限。因此若 $\sum|a_n|<\infty$，複部分和收斂，因為每個尾和的絕對值受相應非負實尾和控制。當同一個標量控制級數適用於整個定義域時，同樣論證給出一致收斂。

對 $R\ge0$，實級數 $\sum R^n/n!$ 由明確的幾何尾和判據收斂：超過使 $R/(n+1)\le1/2$ 的指標後，每項至多為前項一半。這證明複指數絕對收斂，並在 $|z|\le R$ 上一致收斂，沒有把實值定理直接套在複數項上。

設 $A=\sum|a_i|$、$B=\sum|b_j|$ 有限，令 $c_n=\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$。有限三角求和給出 $\sum_{n=0}^N|c_n|\le AB$，所以非負部分和收斂，$\sum c_n$ 絕對收斂。方形和 $S_N=\sum_{i,j=0}^N a_i b_j$ 等於兩個部分和的乘積，故趨於 $(\sum a_i)(\sum b_j)$。將它與三角和 $C_N=\sum_{i+j\le N}a_i b_j$ 比較。若 $i+j>N$，則 $i,j$ 至少一個超過 $\lfloor N/2\rfloor$。因此

$$|S_N-C_N|\le B\sum_{i>\lfloor N/2\rfloor}|a_i|+A\sum_{j>\lfloor N/2\rfloor}|b_j|\longrightarrow0.$$

所以 Cauchy 乘積等於兩和之積。對 $a_i=z^i/i!$、$b_j=w^j/j!$，有限二項式定理使第 $n$ 個係數為 $(z+w)^n/n!$，從而證明指數加法法則。

最後，由 $(m+2)!\ge2m!$，有 $\sum_{n\ge2}|h|^n/n!\le(|h|^2/2)\sum_{m\ge0}|h|^m/m!$，證明複導數所用的局部二次餘項。Euler 偶奇拆分的各次重排均由絕對尾和保證；兩部分分別為實正弦、餘弦級數。本證明針對有限複標量，不涉及任意算子或條件收斂級數。

5 分級練習

E1 基礎。 將 $e^{\log2+i\pi/3}$ 化為直角坐標形式的複數。

E2 雙曲函數求逆。 求 $\sinh x=3$ 和 $\cosh x=3$ 的實數解 $x$。

E3 求導。 對 $\tanh(2x)$ 求導，並驗證 $y=\cosh(3x)$ 滿足 $y''=9y$。

E4 複恆等式。 從指數定義推導所示的 $\sin(x+iy)$ 公式，並用它計算 $\sin(i\log2)$。

6 詳解

S1. Euler 恆等式給出 $2(1/2+i\sqrt3/2)=1+i\sqrt3$。其模為 2，與 $|e^{x+iy}|=e^x$ 一致。

S2. 第一式的唯一解為 $x=\log(3+\sqrt{10})$。第二式有兩個解 $x=\pm\log(3+\sqrt8)$，因為 $\cosh$ 是偶函數，只在限制到非負半軸後嚴格遞增。

S3. 鏈式法則給出 $2\operatorname{sech}^2(2x)$。對於第二式，$y'=3\sinh3x$，$y''=9\cosh3x=9y$。

S4. 將 $e^{i(x+iy)}=e^{-y}(\cos x+i\sin x)$ 和相應負指數代入正弦定義，合併實部和虛部得到公式。在 $x=0$、$y=\log2$ 處得到 $i\sinh(\log2)=i(2-1/2)/2=3i/4$。

小結

冪級數的絕對收斂保證複指數及其乘積法則。雙曲函數和三角函數是相關的指數組合，但其實值域和反函數定義域不同。複對數需要分支選擇；正實對數恆等式或實三角函數的有界性不能未經檢查就推廣。