空間導數與多重積分

濃度場為每個位置賦予一個標量。梯度描述局部空間變化，積分則將場與面積或體積結合，得到總質量。坐標變換簡化幾何，但需要雅可比因子，使物理量不隨記號改變。

1 梯度與局部近似

對標量場 $c(x,y,z)$，偏導數改變一個坐標並保持其餘坐標不變。若 $c$ 在 $a$ 附近具有連續一階偏導數，則它可微，且

$$c(a+h)=c(a)+\nabla c(a)\cdot h+o(\|h\|).$$

證明時將 $h$ 分成坐標步驟，對每一步應用一元中值定理，並用偏導數連續性控制與所示線性映射的差。對運動路徑 $r(t)$，鏈式法則給出 $d c(r(t))/dt=\nabla c\cdot r'$。沿單位方向 $u$ 的變化率為 $\nabla c\cdot u$；當梯度非零時，沿梯度方向達到最大值 $\|\nabla c\|$。

對 $c(x,y)=10-x^2-2y^2$，$\nabla c=(-2x,-4y)$。在 $(1,1)$ 處，最陡上升方向為 $(-1,-2)/\sqrt5$，變化率為 $2\sqrt5$。這是局部陳述；二次模型在其有意義的區域外可能變負。

Hessian 矩陣記錄二階偏導數。對 $C^2$ 場它是對稱的。二階近似增加 $h^TH_ch/2$，駐點處的負定 Hessian 證明嚴格局部最大值。對上述二次場，Hessian 為 $\operatorname{diag}(-2,-4)$，故在代數模型中原點是唯一全局最大值點，最大值為 10。

2 多重積分與質量

二重或三重積分是單元和 $\sum f(\xi_i)\Delta V_i$ 的極限，而不只是累次積分符號。緊矩形上的連續函數可積，因為一致連續性使上下和任意接近。對矩形上的連續被積函數，Fubini 定理允許兩種次序的累次積分：累次積分值位於同一上下單元和之間，夾逼使其等於多重積分。

若 $\rho$ 是質量密度，則 $M=\iiint_D\rho\,dV$。若 $c$ 的濃度單位為質量每體積，同一積分給出儲存質量。當 $M>0$ 時，質心為

$$\bar x=\frac1M\iiint_Dx\rho\,dV,$$

$\bar y,\bar z$ 有類似公式。對均勻矩形薄板，對稱性給出幾何中點。密度變化時，幾何形心一般不等於質心。

3 變量代換與雅可比行列式

設 $U,V\subset\mathbb R^n$ 為開集，$n\ge1$，$\Phi:U\to V$ 為全局 $C^1$ 微分同胚。對緊 Jordan 集 $K\subset U$，令 $D=\Phi(K)$，並假設 $f$ 在 $D$ 上有界且 Riemann 可積，則

$$\int_Df(x)\,dx=\int_{\Phi^{-1}(D)}f(\Phi(u))|\det D\Phi(u)|\,du.$$

行列式是導數的局部體積縮放因子。一個概念性證明將參數空間分為小單元：可微性用平行六面體近似每個像，其體積為行列式乘單元體積；緊子區域上的一致控制和 Riemann 和收斂隨後給出公式。邊界或坐標奇點需要單獨進行零體積或極限處理，不能盲目代入可逆性假設。

極坐標 $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 在 $r>0$ 時雅可比行列式為 $r$，故 $dA=r\,dr\,d\theta$。原點和角度接縫從一一光滑內部映射中排除，再作為零面積集合加回。柱坐標中 $dV=r\,dr\,d\theta\,dz$。球坐標中，若極角 $\phi$ 從正 $z$ 軸量起，則 $dV=r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta$。

圓形薄層例。 在圓盤 $r\le R$（$R>0$）上，設面密度為 $\rho_0(1-r^2/R^2)$，其中 $\rho_0>0$，則

$$M=\int_0^{2\pi}\int_0^R\rho_0(1-r^2/R^2)r\,dr\,d\theta=\frac{\pi\rho_0R^2}{2}.$$

平均密度為 $M/(\pi R^2)=\rho_0/2$。遺漏因子 $r$ 會導致單位和質量都錯誤。

恰在 $C^2$ 假設下的完整二階估計

設實函數 $f$ 在 $a\in\mathbb R^n$ 的開鄰域上為 $C^2$。取 $r>0$ 使半徑為 $r$ 的閉球位於其中。對 $\|h\|<r$，令 $\phi(t)=f(a+th)$，$0\le t\le1$。鏈式法則給出 $\phi''(t)=h^TH_f(a+th)h$。分部積分，或對 $(1-t)\phi'(t)$ 使用微積分基本定理，得到

$$f(a+h)-f(a)-Df(a)h=\int_0^1(1-t)h^TH_f(a+th)h\,dt.$$

減去 $\tfrac12h^TH_f(a)h$ 後，剩餘項 $R(h)$ 滿足

$$|R(h)|\le\frac{\|h\|^2}{2}\sup_{0\le t\le1}\|H_f(a+th)-H_f(a)\|_{\rm op}.$$

因對所有 $t$ 均有 $\|th\|\le\|h\|$，在 $a$ 的連續性使這個上確界趨於零。因此 $R(h)=o(\|h\|^2)$，無需三階導數。若線段上 $\|H_f\|_{\rm op}\le M$，第一個等式還給出一階誤差界 $M\|h\|^2/2$。

為完整起見，Hessian 的對稱性可直接由 $C^2$ 推出。固定不同坐標 $i,j$，作矩形差分

$$D(h,k)=f(a+he_i+ke_j)-f(a+he_i)-f(a+ke_j)+f(a).$$

先對坐標 $i$、再對 $j$ 使用一元微積分基本定理，將 $D(h,k)$ 表為 $\partial_j\partial_i f$ 在該矩形上的累次積分。按相反次序進行同樣論證，則同一個差分是 $\partial_i\partial_j f$ 的累次積分。對非零 $h,k$ 除以 $hk$；連續性使各自的平均值趨於 $a$ 處相應的混合偏導數，所以二者相等。這裏比較的是同一個有限差分的兩次計算，沒有預先假設積分可交換。

學習目標與預備知識

證明可微坐標變換保持 Jordan 零測邊界，並對每個小立方體得到一致的雙側體積估計。內覆蓋論證給出下界，外側線性化估計給出上界。下一章利用這些估計，在每個有限維空間中證明積分換元定理。

我們使用有限維歐氏空間拓撲、線段上的微積分基本定理、行列式、緊集上的一致連續性，以及盒上的普通 Darboux 積分。體積與積分均通過有限 Jordan 覆蓋和 Darboux 和建立。

估計中使用 $\|x\|_\infty=\max_j|x_j|$ 及其誘導矩陣範數。中心為 $c$、邊長為 $h$ 的閉立方體滿足 $\|x-c\|_\infty\le h/2$。其普通體積為 $h^n$。在有限維空間中改變範數不改變連續性或可微性，但此範數使立方體中的常數清楚可見。

1. Jordan 體積與有限覆蓋邊界判據

有界集合稱為 Jordan 零測集，是指對每個 $\varepsilon>0$，都可用有限個坐標軸平行盒覆蓋，且盒的總體積小於 epsilon。還可要求這些盒是邊長任意小的立方體：對有限盒覆蓋作足夠細的剖分，允許盒面處增加任意小的總體積。當集合的示性函數在包含 $E$ 的盒內可積時，其 Riemann 積分稱為 Jordan 體積 $v(E)$。

引理：有界 Jordan 集的邊界零測，反之亦然

有界集合 $E$ Jordan 可測，當且僅當 $\partial E$ 為 Jordan 零測集。此外，在足夠細的規則立方網格上，與 $\partial E$ 相交的立方體總體積趨於零。

由 Darboux 和證明。 內部同時與 $E$ 及其補集相交的網格單元上，示性函數的振幅為一；不與邊界相交的單元上，振幅為零。若邊界零測，由其閉包的緊性，可取總體積任意小的有限開盒覆蓋。將一個零測覆蓋略作擴大，在保持總體積小的同時使其開。足夠細的網格中，所有邊界單元均位於這一開覆蓋內；否則直徑趨零的單元將給出任意接近緊邊界、卻位於其鄰域之外的點，產生矛盾。因此這些單元的總體積很小，Darboux 判據得證。

反過來，選擇示性函數的上、下和之差小於 epsilon 的網格。任何不在網格面上的邊界點都屬於一個同時與兩集合相交的單元，因此屬於這些振幅非零的單元。有限多個網格面本身零測：用厚度任意小的薄片覆蓋每個有界面。振幅非零的單元與這些薄片共同覆蓋整個邊界，其總體積可任意小，從而證明零測。前述開覆蓋論證隨即給出規則網格邊界單元的估計；這也是下文要用的估計。

有界 Jordan 集的有限並、交與差仍為 Jordan 集，因為其邊界包含在原有邊界的並中。Jordan 體積與 Riemann 積分在交疊部分零測的分塊上具有有限可加性。為說明這一點，對各個盒近似共同細分；在有限多個零測邊界的覆蓋之外，相應的示性函數恰好相加，其餘誤差由覆蓋總體積控制。同一論證也證明，在 Jordan 零測集上改變有界被積函數的值，不改變其積分。

若函數在緊 Jordan 集 $K$ 上連續，將它在包含該集的盒內作零延拓後可積。在完全位於 $K$ 內的立方體中，一致連續性控制振幅；與邊界相交的立方體總體積任意小，函數的統一界控制其貢獻；在 $K$ 外延拓函數為零。這也表明，完全位於 $K$ 內的網格立方體上的帶標記和收斂到其積分，因為被遺漏的邊界立方體總體積趨於零。

2. 仿射盒的體積

引理：平行多面體的體積

對於可逆實矩陣 $A$ 和坐標軸平行盒 $Q$，

$$v(AQ+b)=|\det A|\,v(Q).$$

盒的像是平行多面體。

初等幾何證明。 高斯消元把 $A$ 表成坐標置換、非零坐標縮放以及將某一坐標的倍數加到另一坐標上的剪切的乘積。置換保持盒覆蓋的體積。坐標縮放將體積乘以縮放因子的絕對值：對盒先有精確等式，再推廣到有限盒近似。剪切保持平行多面體的體積：平行於被改變坐標的切片仍是長度相同的區間，只是按其他坐標決定的量平移。

所需的多面體切片原理可由 Darboux 和直接得到。有界多面體的邊界位於有限多個超平面內，每個超平面均零測。對有界超平面片，選一個系數非零的坐標解出，並將其餘坐標剖分為邊長 $h$ 的立方體；每個柱上高度變化為 $O(h)$，故總體覆蓋體積為 $O(h)$。多面體的切片長度在有限多個區域上分片仿射，因此 Riemann 可積。對逐單元的示性函數下和與上和積分，可把切片長度積分夾在相同的兩個和之間；邊界零測判據使其差趨於零。這證明體積等於這些多面體的切片長度積分。因此剪切前後切片長度不變，體積也不變。

依次將這些初等操作作用於 $Q$。每個中間像仍是平行多面體，因此切片論證持續適用。置換和剪切的體積因子均為一，縮放的因子是對角縮放量的絕對值。由行列式代數，其乘積為 $|\det A|$。平移保持有限盒近似，故引理得證。

普通體積必須取絕對值：坐標反射改變行列式的符號，卻不能把非負體積變為負數。

3. 局部 Lipschitz 映射將緊零測集映為零測集

引理：有限覆蓋下的零測保持

設 $N$ 是開集 $U$ 內的緊 Jordan 零測子集，且 $F:U\to\mathbb R^n$ 為 $C^1$，則 $F(N)$ 是 Jordan 零測集。

證明。 在 $U$ 內選取 $N$ 的緊鄰域，並在其中以某個 $L>0$ 控制 $\|DF\|_\infty$。用該鄰域內足夠小的有限多個立方體覆蓋 $N$，使總體積任意小。在每個立方體內，連接兩點的線段仍留在鄰域中。沿線段應用微積分基本定理得到 $\|F(x)-F(y)\|_\infty\le L\|x-y\|_\infty$。因此中心為 $c$、邊長為 $h$ 的立方體的像包含在中心為 $F(c)$、邊長為 $Lh$ 的立方體內。這些包圍像的立方體總體積至多是原覆蓋總體積的 $L^n$ 倍。令原總體積小於 $\varepsilon/L^n$，即可得到所需的有限像覆蓋。需要時可把 $L$ 增大至至少一。逐個立方體的估計保證每條線段都位於開定義域內。

同一結論適用於這樣一個緊零測集的任何有界子集，因為其像包含在該零測像的覆蓋中。它也適用於 $C^1$ 微分同胚的逆映射在目標空間緊子集上的作用。

現令 $T:U\to V$ 為 $\mathbb R^n$ 的兩個開子集之間的 $C^1$ 微分同胚。若 $K\subset U$ 緊且 Jordan 可測，則 $T(K)$ 亦緊且 Jordan 可測。事實上，開鄰域之間的同胚將邊界映為邊界：

$$\partial T(K)=T(\partial K).$$

這是因為 $T$ 及其逆都是開映射，故在兩個方向上都將 $K$ 的內部映為 $T(K)$ 的內部；緊性使兩集合均閉。由集合減去各自的內部即得邊界恆等式。對 $\partial K$ 應用零測保持引理，再應用 Jordan 邊界判據即可。

對閉包位於 $U$ 內的有界 Jordan 子集，同樣的局部邊界論證也成立。這將用於處理由目標空間有限網格切出的各塊。

4. 一致立方體畸變：證明兩個包含關係

固定緊集 $K\subset U$，在 $U$ 內選取 $K$ 的緊鄰域 $K_*$。在該鄰域上，$DT$ 和其逆矩陣均有界，因為矩陣元素連續且每個行列式均非零。以 $\kappa$ 表示 $\|DT(x)^{-1}\|_\infty$ 的一個界，以 $J_*$ 表示 $J(x)=|\det DT(x)|$ 的一個界。

一致連續性給出一個模函數 $\omega(h)\to0$：當 $x,y\in K_*$ 且 $\|x-y\|_\infty\le h$ 時，它控制 $\|DT(x)-DT(y)\|_\infty$。考慮任一與 $K$ 相交、邊長為 $h$ 的充分小閉網格立方體 $Q$；選擇足夠小的尺度，使整個 $Q$ 位於 $K_*$ 內。令 $c$ 為其中心，$A=DT(c)$。線段上的微積分基本定理給出

$$T(x)=T(c)+A(x-c)+R(x),\qquad \|R(x)\|_\infty\le\omega(h)h/2\quad(x\in Q).$$

令 $\delta(h)=\kappa\omega(h)/2$，並將像歸一化為

$$H(x)=c+A^{-1}[T(x)-T(c)].$$

於是 $H(c)=c$，且在整個 $Q$ 上有 $\|H(x)-x\|_\infty\le\delta(h)h$。令 $Q^+$ 和 $Q^-$ 分別為同心、邊長 $h(1+2\delta)$ 與 $h(1-2\delta)$ 的立方體，並取足夠小的 $h$ 使 $\delta<1/4$。

外側包含。 坐標誤差界直接給出 $H(Q)\subseteq Q^+$。

內側包含。 邊界點 $x\in\partial Q$ 的某個坐標距中心為 $h/2$，故其在 $H$ 下的像的該坐標距中心至少為 $h/2-\delta h$。因此 $H(\partial Q)$ 與內部和 $Q^-$ 相同的開立方體不相交。由於 $H$ 在一個開鄰域上為同胚，$\partial H(Q)=H(\partial Q)$，且 $c$ 是 $H(Q)$ 的內點。

如果該開內立方體有一點在閉集 $H(Q)$ 之外，那麼連接該點與 $c$ 的線段完全位於此內立方體中，並且離開該集合時必與 $\partial H(Q)$ 相交。這與剛證明的邊界排除矛盾。因此開內立方體包含於 $H(Q)$，由閉性得到 $Q^-\subseteq H(Q)$。這就是線段從閉集內點首次離開的初等性質。

撤銷仿射歸一化。線性體積引理與集合包含關係給出雙側估計

$$J(c)(1-2\delta(h))^n h^n \le v(T(Q))\le J(c)(1+2\delta(h))^n h^n.$$

因此存在單一的 $\beta(h)\to0$，與在 $K$ 附近選取的立方體無關，使

$$|v(T(Q))-J(c)v(Q)|\le\beta(h)v(Q).$$

例如可取 $\beta(h)=J_*\max((1+2\delta)^n-1,\ 1-(1-2\delta)^n)$。此外，對這些小立方體，有 $v(T(Q))\le C v(Q)$，其中固定常數 $C=J_*(3/2)^n$。仿射體積引理將兩個包圍關係轉化為上述體積界。

一致相對誤差使各單元誤差能夠在不斷細化的網格上求和；同一組常數也控制邊界立方體。

估計例子

在二維中，若 $\delta\le1/100$，中心處的 Jacobian 為 $J(c)$，則像的面積介於 $0.98^2J(c)h^2$ 與 $1.02^2J(c)h^2$ 之間。即使網格單元數按 $h^{-2}$ 的量級增長，相對界仍然有用。導數的一致連續性使得當 $h$ 減小時 delta 趨於零。

分層證明練習

1. 零測覆蓋。 重現 Lipschitz 映射保持像零測的證明，並解釋為甚麼只需在覆蓋用的小立方體上有導數界，而無須在連接 $U$ 內任意兩點的每條線段上有界。
2. 邊界。 在所述緊性及同胚假設下證明 $\partial T(K)=T(\partial K)$。若集合到達 $U$ 的邊界，哪些事實需要重新檢查？
3. 內覆蓋。 解釋為甚麼僅有像的外側包圍不能建立所述體積漸近式。重現利用邊界與線段證明內側包含的論證。
4. 一致性。 指出緊性在何處提供共同的導數界、逆矩陣界及連續性界。解釋為甚麼對每個互不相關的單元中心分別給出 little-o 陳述，不足以得到後續求和所需的估計。

完整解答

1. 總體積為 $\eta$ 的有限立方體覆蓋，其像包含在總體積至多為 $L^n\eta$ 的立方體中，故取 $\eta<\varepsilon/L^n$。每個小立方體及其內部線段均留在 $U$ 內固定的緊鄰域中，導數在該鄰域有統一界。連接相距較遠的兩點的線段可能離開非凸定義域；本證明從不需要這樣的線段。
2. 緊性使 $K$ 與 $T(K)$ 在各自環境空間中閉。開鄰域之間的同胚在兩個方向上都把內部映為內部。因此 $T(K\setminus\operatorname{int}K)=T(K)\setminus\operatorname{int}T(K)$，得到邊界恆等式。到達定義域邊界時，可能沒有可供論證的開鄰域、沒有一致導數界，也可能缺少某些邊界點的像。本定理有意要求緊閉包位於 $U$ 內。
3. 外側包圍只給出像體積的上界，並不能說明映射覆蓋了仿射單元的大部分。這裏歸一化像的邊界位於開內立方體之外，而中心在像內。連接中心與任何假設缺失的內點的線段將離開閉像，因而在內立方體內遇到其邊界，矛盾。取閉包便包含內立方體各面。這在計算漸近式之前提供必要的下界。
4. $DT$ 及其逆矩陣在 $K_*$ 上連續，故有有限的共同界；$DT$ 的一致連續性給出適用於 $K$ 附近所有小立方體的一個模函數。因此每個體積誤差都至多為同一個 $\beta(h)$ 乘單元體積，而單元體積之和有界。若逐點 little-o 的常數或尺度各自依賴單元中心，僅憑這些不能為整個網格提供一個共同趨零的界。

總結與術語

Jordan 零測集具有總體積任意小的有限盒覆蓋。單元畸變估計從上下兩側用附近的行列式縮放體積控制像的體積。一致性使各單元的相對誤差能夠安全求和。微分同胚提供鄰域同胚及可逆導數，而不只是形式上的行列式。這些有限覆蓋和有限單元結論構成下一章 Riemann 定理的幾何基礎。

學習目標與精確範圍

利用上一章的有限 Jordan 覆蓋和一致雙側立方體變形估計，證明有限維 $C^1$ 變量替換定理，再通過有限 Darboux 階梯函數夾逼將連續情形擴展至有界 Riemann 可積函數。以下定理明確了有界 Jordan/Riemann 情形及覆蓋條件。

全文中，$n$ 是有限正整數。若有界 Jordan 集上的函數向包含它的長方體作零延拓後在那裏 Riemann 可積，就稱其在該集合上 Riemann 可積；不同的包含長方體給出相同積分。零測邊界上可賦予任意有界值。上一章給出了 Jordan 邊界與零測集像的引理及一致小立方體估計。

1. 定理及全部假設

定理：有界 $C^1$ Jordan/Riemann 變量替換

設 $U,V\subseteq\mathbb R^n$ 為開集，$T:U\to V$ 為 $C^1$ 微分同胚：它是雙射，$T$ 及其逆映射連續可微，尤其有 $\det DT(x)\ne0$，對每個 $x\in U$ 成立。設 $K\subset U$ 為緊 Jordan 可測集，$f:T(K)\to\mathbb R$ 在 $T(K)$ 上有界且 Riemann 可積。則 $T(K)$ 是 Jordan 可測的，函數 $x\mapsto f(T(x))|\det DT(x)|$ 在 $K$ 上 Riemann 可積，且

$$\int_{T(K)}f(y)\,dy =\int_K f(T(x))J(x)\,dx, \qquad J(x)=|\det DT(x)|.$$

允許空集或 Jordan 零測情形。逐點取行列式絕對值可涵蓋兩種取向及不連通定義域。若有界 Jordan 區域 $D$ 滿足 $\overline D\subset U$，同樣適用：以其緊閉包替代並在邊界賦有界值，因為邊界及其像均為零測。

緊包含條件不可省略：它提供導數和逆矩陣的一致界，並使所有足夠小的邊界網格格子留在映射的開定義域內。**範圍。**這是有界區域上的 Riemann 定理。無界或非緊極限需要收斂估計；多對一映射需要計算覆蓋次數。一般 Lebesgue 公式和低維曲面面積公式是另外的結果。

2. 準備統一網格，包括邊界層

若 $K$ 為空，兩邊積分均為零，故設其非空。基礎章已證明 $E=T(K)$ 是緊 Jordan 可測集：其邊界是 $\partial K$ 的零測像。

選取 $K_*$ 為 $K$ 在 $U$ 內的緊鄰域。對所有足夠小且與 $K$ 相交的規則網格立方體，上一章給出共同常數 $L,C$ 和函數 $\beta(h)\to0$，使得對立方體 $Q$（邊長為 $h$、中心為 $c$），

$$\|T(x)-T(z)\|_\infty\le L\|x-z\|_\infty\quad(x,z\in Q),$$ $$|v(T(Q))-J(c)h^n|\le\beta(h)h^n,\qquad v(T(Q))\le Ch^n.$$

這裡沿每個立方體內的線段取導數界。

令 $\mathcal I_h$ 為完全包含於 $K$ 的有限網格立方體集合，令 $\mathcal B_h$ 為與 $K$ 相交但不完全包含於其中的立方體。第二類每個立方體都與 $\partial K$ 相交，由 Jordan 邊界判據，

$$b_h:=\sum_{Q\in\mathcal B_h}v(Q)\longrightarrow0$$

立方體可以共面，但面及其在 $T$ 下的像均為零測。因此全局單射保證不同內部格子的像僅在零測的面像上重疊，其體積與積分可用有限可加性。

$E$ 中未被內部格子像覆蓋的部分包含在邊界立方體的像中。其體積至多為 $Cb_h$，因為 $v(T(Q))\le Cv(Q)$ 且覆蓋有限。它本身也 Jordan 可測：從 Jordan 集 $E$ 中減去有限 Jordan 集並即可。這便給出了目標邊界層誤差界。

3. 先對連續 f 證明定理

設 $f$ 在緊集 $E$ 上連續。它以 $M$ 為界且一致連續；以 $\omega_f(\eta)\to0$ 表示 $E$ 上的共同連續模。對每個內部立方體 $Q$，$T(Q)$ 上的目標積分與 $f(T(c))v(T(Q))$ 之差至多為 $\omega_f(Lh)v(T(Q))$。未覆蓋的目標邊界層貢獻至多為 $MCb_h$。

由於內部格子像的內部除零測集外互不相交，其總體積不超過 $v(E)$。因此

$$\left|\int_Ef-\sum_{Q\in\mathcal I_h}f(T(c))v(T(Q))\right| \le\omega_f(Lh)v(E)+MCb_h\longrightarrow0.$$

現在把每個像的體積替換為 $J(c)h^n$。對固定長方體 $B$（包含 $K$），額外總誤差至多為

$$M\beta(h)\sum_{Q\in\mathcal I_h}h^n\le M\beta(h)v(B)\longrightarrow0.$$

所得和是 $f(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上的內部格子標記和。該函數在緊集 $K$ 上連續，前面的 Jordan/Darboux 引理證明這些和趨於其積分：一致連續性控制內部格子，而 $b_h\to0$ 控制被省略的邊界格子。因此連續 $f$ 的兩個積分相等。

共同的格子相對誤差界使體積替換的總誤差消失，而獨立的邊界估計控制被省略的格子。

4. 得出 Jordan 部分集的體積恆等式

在已證明的連續情形中取 $f\equiv1$，得到

$$v(T(S))=\int_SJ(x)\,dx$$

對每個緊 Jordan 集 $S\subset U$ 成立。它也適用於有界 Jordan 集 $S$（閉包包含於 $U$）：用 $\overline S$ 替代即可。新增部分包含於 $\partial S$，其像為零測，因此體積和積分都不變。

我們需要將此恆等式用於以有限網格切割目標集所得的部分。令 $C$ 為一個網格長方體，$S=K\cap T^{-1}(C)$。其邊界包含於

$$\partial K\ \cup\ T^{-1}(\partial C\cap E).$$

第一部分為零測。第二部分也為零測，因為目標網格面的這一部分是 $V$ 內緊零測集的有界子集，而逆映射為 $C^1$，在緊集 $E$ 的鄰域上成立。對該逆映射應用有限覆蓋零測像引理即可。因此 $S$ 是 Jordan 可測的，且其閉包緊包含於 $U$。

若需要嚴格不相交的劃分，可對網格格子採用一致的半開邊界歸屬。這些部分的邊界仍包含在同一有限零測集合中。其像恰為採用相應歸屬的 $E\cap C$。因此體積恆等式結合有限線性性，證明了目標網格上每個有限階梯函數的變量替換公式。

於是連續定理的常數函數推論已經建立了有限目標階梯函數的替換公式。

5. 利用有限階梯夾逼處理有界 Riemann 可積函數

取包含 $E$ 的目標長方體，令 $f_0$ 為 $f$ 的零延拓。其 Riemann 可積性意味著對每個 $\varepsilon>0$，存在有限網格，使其下、上階梯函數 $\ell,u$ 滿足

$$\ell\le f_0\le u,\qquad \int(u-\ell)<\varepsilon.$$

在每個格子上取 $f_0$ 在其閉包上的下確界和上確界，並一致地指定面上的值。Darboux 判據恰給出上述差距。將非負差函數限制到 $E$ 上不會增加其積分。

源函數 $p(x)=\ell(T(x))J(x)$ 和 $q(x)=u(T(x))J(x)$ 在 $K$ 上向外作零延拓後均 Riemann 可積。它們分別是連續函數 $J$ 與剛建立的 Jordan 原像部分集的示性函數之積的有限和。這樣的有界乘積由 Darboux 乘積估計可積，也可在這些零測部分邊界之外直接利用一致連續性證明。由於 $J\ge0$，

$$p(x)\le f(T(x))J(x)\le q(x),$$

階梯函數恆等式給出

$$\int_K(q-p)=\int_E(u-\ell)<\varepsilon.$$

如果有界函數有積分差任意小的可積上下夾逼，則它 Riemann 可積。事實上其下積分至少為下夾逼的積分，上積分至多為上夾逼的積分，因此兩者之差小於每個正 epsilon。

這證明了變換後被積函數可積。它的積分與原積分 $\int_Ef$ 均位於同一對數值 $\int_E\ell=\int_Kp$ 和 $\int_Eu=\int_Kq$ 之間，而它們的差小於 epsilon。因此兩個積分之差為零。定理包括有界 Riemann 情形，證畢。

有限 Darboux 夾逼和 Jordan 體積恆等式完成了有界 Riemann 推廣。

6. 非線性映射例題，包括不連續被積函數

設 $T(u,v)=(u,v+u^2)$ 定義於 $\mathbb R^2$。其逆映射為 $(x,y)\mapsto(x,y-x^2)$，行列式為一。單位正方形映成

$$E=\{0\le x\le1,\quad x^2\le y\le x^2+1\}.$$

對連續函數 $f(x,y)=y$，定理給出

$$\iint_Ey\,dA=\int_0^1\int_0^1(v+u^2)\,dv\,du=\frac56.$$

該映射彎曲上下邊界但保持面積，因為常數一的積分仍為一。

對於有界示性函數：令 $f(x,y)=1$ 當 $y\ge x^2+1/2$，下方為零；它在 $E$ 內的不連續點位於一條光滑圖線上。其有界零延拓 Riemann 可積：用總面積任意小的有限薄格子覆蓋該圖線及 $\partial E$，其餘位置函數為常數。變換後的函數為階梯函數 $1_{\{v\ge1/2\}}$，故積分為 $1/2$。此例將有界 Riemann 推廣應用於跨光滑圖線的跳躍。

7. 極坐標作為極限推論

在 $U=(0,\infty)\times(-\pi,\pi)$ 上，極坐標映射 $T(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 是到去掉非正水平射線的平面的微分同胚，且 $J=r$。該去掉射線的平面上的一個顯式光滑逆映射為 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $\theta=2\arctan[y/(\sqrt{x^2+y^2}+x)]$：其分母在那裏嚴格為正，半角恆等式可驗證兩個複合映射。對 $0<\varepsilon<R$ 和 $0<\delta<\pi$，緊矩形 $[\varepsilon,R]\times[-\pi+\delta,\pi-\delta]$ 恰好滿足定理。

對閉圓盤上的有界連續被積函數，只有控制遺漏部分之後才能從這些截斷扇域過渡到圓盤。環域中寬度為 $2\delta$ 的遺漏角楔可用另一個非奇異極坐標分支覆蓋；由被積函數為一時的定理，其面積為 $\delta(R^2-\varepsilon^2)$。半徑為 epsilon 的圓盤包含在面積為 $4\varepsilon^2$ 的正方形內。將這些界乘以被積函數的界，兩個遺漏貢獻都趨於零。圓周與徑向接縫可由有限光滑曲線覆蓋，面積為零。這證明了此類有界被積函數的通常圓盤極坐標公式；取被積函數為一即得圓盤面積 $\pi R^2$。

截斷使映射保持正則且單值；上述界在極限中恢復原點與角度接縫。

8. Jacobian 非零並不意味著恰好覆蓋一次

對去心平面上的 $F(x,y)=(x^2-y^2,2xy)$，有 $\det DF=4(x^2+y^2)>0$。它處處局部可逆，但 $F(x,y)=F(-x,-y)$。環域 $1\le r\le2$ 兩次映滿環域 $1\le\rho\le4$。

像的面積為 $15\pi$，而

$$\iint_{1\le r\le2}|\det DF|\,dA =\int_0^{2\pi}\int_1^2 4r^3\,dr\,d\theta=30\pi.$$

因子二反映重疊覆蓋。全局單射性正是保證不同像格子除零測面外不相交的條件。限制到單射分支並記錄其重疊，便可區分兩次遍歷與普通像面積。

分級定理與應用練習

1. 假設審查。 解釋緊包含 $K\subset U$ 和全局單射為何在邏輯上不同於導數行列式非零。給出一個邊界與定義域的例子，說明不通過廣義積分極限就不能直接應用本定理。
2. 證明機制。 準確指出一致小立方體相對誤差和 Jordan 邊界層估計在連續情形的證明中各用於何處。為何該論證中兩者都不可或缺？
3. 非線性剪切。 驗證 $(u,v)\mapsto(u,v+u^2)$ 的逆映射和行列式，並重算其 $y$ 的積分以及所示上半部分階梯函數的積分。
4. 覆蓋。 驗證複平方映射的行列式和環域上的二對一描述。解釋若悄然去掉單射性，定理證明的哪一步會重複計數。
5. 有界 Riemann 推廣。 解釋有限階梯夾逼的拉回為何 Jordan 可積，以及不等式乘以 $J$ 為何保持方向。說明證明對於任意有界不可積函數沒有建立甚麼結論。
6. 三維情形。 對單位立方體使用 $T(u,v,w)=(u,v,w+u^2+v^2)$，求像的體積和 $\iiint_{T(K)}z\,dV$，並驗證所有映射與定義域條件。

完整解答

1. 行列式非零只是局部條件。它既不能保證靠近缺失定義域邊界時導數與逆矩陣有界，也不能阻止相距很遠的不同輸入有同一像。例如 $T(x)=1/x$ 在 $(0,\infty)$ 上是微分同胚，但 $(0,1]$ 不緊包含於該定義域，且其像無界。此處的替換屬於廣義積分問題，須截斷並證明收斂，不能直接應用上述緊集定理。複平方環域則給出另一個獨立例子：儘管行列式處處非零，全局單射仍失效。
2. 一致相對誤差控制把每個曲線格子的體積替換為 $J(c)h^n$；求和後誤差至多為 $M\beta(h)$ 乘以固定包含長方體的體積，趨於零。邊界層界以 $MCb_h$ 控制完全內部源格子未覆蓋的目標點。僅有內部線性近似會遺漏該層，而僅有邊界控制不能確定內部體積密度。兩項估計都是等式證明中的明確組成部分。
3. 解 $x=u,y=v+u^2$ 得 $u=x,v=y-x^2$，這是全局光滑逆映射。行列式為一。單位正方形上變換後的 $y$ 為 $v+u^2$，積分為 $1/2+1/3=5/6$。$y\ge x^2+1/2$ 的示性函數變為 $v\ge1/2$ 的示性函數，其正方形積分為 $1/2$。邊界及分隔圖線均為 Jordan 零測，故其上有界賦值不改變結果。
4. 導數矩陣為 $\begin{pmatrix}2x&-2y\\2y&2x\end{pmatrix}$，行列式為 $4(x^2+y^2)$。以極坐標表示時，它將半徑平方、角度加倍，故所述環域中每個像點恰有兩個互為對徑的原像。源上的行列式積分為 $30\pi$，像面積為 $15\pi$。有限像格子的可加性步驟會失效：不同源區域的像在正面積上重疊，而不只是在零測的面上相交。
5. 每個網格原像部分的邊界包含於 $\partial K$ 與有限多個目標面的逆像之並中。由 $T^{-1}$ 的有限覆蓋引理，二者均 Jordan 零測，所以每一部分都是 Jordan 集。連續函數 $J$ 乘以其示性函數是 Riemann 可積的。行列式絕對值非負，故上下不等式方向不變。論證假設目標函數 Riemann 可積，以獲得任意接近的 Darboux 夾逼；任意有界函數可能沒有這種夾逼，本定理並不斷言它們的拉回可積。
6. 逆映射為 $(x,y,z)\mapsto(x,y,z-x^2-y^2)$，在整個 $\mathbb R^3$ 上光滑。三角導數矩陣的行列式為一；立方體是該開定義域內的緊 Jordan 集。其像為曲面夾層 $0\le x,y\le1$、$x^2+y^2\le z\le x^2+y^2+1$，體積為一。變換後的被積函數為 $w+u^2+v^2$，其立方體積分為 $1/2+1/3+1/3=7/6$。這說明定理的有限維形式超越平面面積。

總結

變量替換結合了 Jordan 邊界保持性和一致雙側格子體積估計。內部和因相對誤差一致而收斂，邊界層體積則趨於零。有限 Darboux 夾逼繼而將連續公式推廣到有界 Riemann 可積函數。非線性剪切、極坐標截斷和雙重覆蓋例子展示了計算時如何驗證假設。

以受控極限恢復柱坐標及球坐標邊界

這裏已證的正常換元定理適用於有限正維數、位於開集間全局 $C^1$ 微分同胚定義域內部的緊 Jordan 集，以及有界 Riemann 可積的目標函數。局部行列式並不能單獨保證這些假設。以下給出所列坐標模型需要的極限。

柱坐標取 $\rho>0$、$-\pi<\theta<\pi$ 和有界 $z$ 區間。逆映射為 $\rho=\sqrt{x^2+y^2}$、去掉射線的平面極坐標逆映射及不變的 $z$，所以在軸和角度接縫之外是微分同胚。在閉圓柱上先取 $\varepsilon\le\rho\le R$、$-\pi+\eta\le\theta\le\pi-\eta$。遺漏軸柱包含在體積為 $4\varepsilon^2L$ 的正方柱內，其中 $L$ 是高度。遺漏角楔的體積至多為 $\eta R^2L$，來自已證平面極坐標面積及矩形 Fubini。兩者趨零，被積函數的界控制目標積分誤差。參數積分含因子 $\rho$，對應遺漏也由直接一元積分趨零。

2. 在利用徑向對稱性前推導球坐標縮放

使用坐標

$$T(r,\phi,\theta)=(r\sin\phi\cos\theta,r\sin\phi\sin\theta,r\cos\phi),$$

其中 $\phi$ 從正 $z$ 軸量起，$0\le\phi\le\pi$，$\theta$ 是一整周的方位角。導數向量的長度為 $1,r,r\sin\phi$，它們兩兩垂直，在內部具有相應的正定向。其標量三重積為 $r^2\sin\phi$，得到

$$dV=r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta.$$

明確核算行列式：按 $(r,\phi,\theta)$ 次序，導數列為

$$T_r=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi),$$ $$T_\phi=(r\cos\phi\cos\theta,r\cos\phi\sin\theta,-r\sin\phi),\qquad T_\theta=(-r\sin\phi\sin\theta,r\sin\phi\cos\theta,0).$$

當 $r>0$、$0<\phi<\pi$ 時，其混合積為 $r^2\sin\phi>0$。在開參數域 $(0,\infty)\times(0,\pi)\times(-\pi,\pi)$ 上，映射對其切縫後的像是一對一的，光滑逆為 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$、$\phi=\arccos(z/r)$ 及通常的切縫平面方位角。因此，已證明的有限維換元定理適用於該域內每個緊的截斷參數長方體。

還須獨立於待證明公式估計遺漏的目標區域。半徑 $\varepsilon$ 的球包含在體積 $8\varepsilon^3$ 的立方體中。在半徑 $R$ 的球內，與軸的夾角至多為 $\delta<\pi/2$ 的兩個極帽包含在 $|x|,|y|\le R\sin\delta$、$|z|\le R$ 的長方體中，體積為 $8R^3\sin^2\delta$。總角寬 $2\eta$、$0<\eta<\pi/2$ 的方位角接縫包含在 $|x|,|z|\le R$、$|y|\le R\sin\eta$ 中，體積為 $8R^3\sin\eta$。三種上界均隨截斷參數趨於零。乘上連續目標被積函數的上界，即控制其遺漏積分；下文的參數積分估計則控制另一側。這完成了非奇異區域逼近的論證，沒有用球座標體積公式來證明該公式自身。

原點、極點和角度接縫是坐標邊界的例外。對球上有界連續被積函數，在無奇點的截斷參數區域上計算並取極限；被省略的參數積分界趨於零。對於有界被積函數，零附近的徑向因子由常數乘 $\int_0^\varepsilon r^2dr=\varepsilon^3/3$ 控制，極冠因子為 $\int_0^\varepsilon\sin\phi\,d\phi=1-\cos\varepsilon\to0$，收縮的方位角接縫則具有趨零的角寬。該公式不允許忽略這些位置上的任意無界奇異性。

4 分級練習

E1 基礎。 對 $c(x,y,z)=x^2+yz$，求在 $(1,2,3)$ 處沿 $(2,0,0)$ 方向每單位距離的方向導數。

E2 積分。 求單位正方形上面密度 $\rho=2x$ 對應的總質量和質心。

E3 極坐標。 計算 $\iint_{x^2+y^2\le1}(x^2+y^2)dA$。

E4 柱坐標。 用積分求 $x^2+y^2\le4$、$0\le z\le3$ 的體積。

5 完整解答

S1. 梯度為 $(2x,z,y)$，該點處為 $(2,3,2)$。將給定方向規範化為 $(1,0,0)$，導數為 2。若與未規範化向量點乘則得 4，對應不同的參數速度。

S2. $M=\int_0^1\int_0^1 2x\,dy\,dx=1$。$x$ 方向矩為 $\int_0^12x^2dx=2/3$，$y$ 方向矩為 $(\int_0^12x dx)(\int_0^1y dy)=1/2$。故質心為 $(2/3,1/2)$。

S3. $\int_0^{2\pi}\int_0^1r^2r\,dr\,d\theta=2\pi/4=\pi/2$。

S4. $\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^3r\,dz\,dr\,d\theta=2\pi\cdot2\cdot3=12\pi$，與底面積乘高度一致。

總結

梯度預測局部空間變化和方向響應。多重積分把密度轉化為總量和加權中心。只有正確處理雅可比比例因子、區域邊界及奇點限定，坐標變換才保持同一物理總量。