柱坐標與球坐標中的向量算子

徑向場的分量看似恆定，方向卻可隨位置變化。因此不能把柱坐標或球坐標的基當成固定基，直接套用笛卡爾導數公式。尺度因子和變化的單位向量體現了幾何結構。全章使用沿單位基向量的物理分量。

1 柱坐標與球坐標的單位標架

柱坐標中，$x=\rho\cos\theta$、$y=\rho\sin\theta$、$z=z$。單位向量為

$$e_\rho=(\cos\theta,\sin\theta,0),\quad e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta,0),\quad e_z=(0,0,1).$$

在 $\rho>0$ 時它們構成右手標準正交標架。求導得 $\partial_\theta e_\rho=e_\theta$、$\partial_\theta e_\theta=-e_\rho$。位移為 $dx=e_\rho d\rho+\rho e_\theta d\theta+e_zdz$，所以坐標尺度因子為 $(1,\rho,1)$。

球坐標約定 $\phi$ 為從正 $z$ 軸量起的極角，$\theta$ 為方位角：

$$x=r\sin\phi\cos\theta,\quad y=r\sin\phi\sin\theta,\quad z=r\cos\phi.$$

在右手坐標次序 $(r,\phi,\theta)$ 下，單位向量為

$$e_r=(\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi),$$ $$e_\phi=(\cos\phi\cos\theta,\cos\phi\sin\theta,-\sin\phi),\quad e_\theta=(-\sin\theta,\cos\theta,0).$$

尺度因子為 $(1,r,r\sin\phi)$，因為 $dx=e_rdr+r e_\phi d\phi+r\sin\phi e_\theta d\theta$。以下公式適用於正則坐標圖 $r>0$、$0<\phi<\pi$；軸上的坐標奇點不自動意味著物理場存在奇點。

$F=F_re_r+F_\phi e_\phi+F_\theta e_\theta$ 中的物理向量分量，不同於非單位坐標向量 $\partial x/\partial r,\partial x/\partial\phi,\partial x/\partial\theta$ 的系數。混淆二者會遺漏或重複尺度因子。

2 推導正交坐標公式

對具有正尺度因子 $h_i$ 的右手正交坐標 $u_1,u_2,u_3$，記 $H=h_1h_2h_3$。由於 $df=\sum_i f_{u_i}du_i$ 必須等於 $\nabla f\cdot dx$，比較系數得到

$$\nabla f=\sum_i e_i\frac1{h_i}f_{u_i}.$$

一個小坐標盒的體積為 $H\,du_1du_2du_3$。垂直於 $e_i$ 的兩個面有面積尺度 $H/h_i$。相減相對面的通量並除以體積得到

$$\nabla\cdot F=\frac1H\sum_i\partial_{u_i}\left(\frac H{h_i}F_i\right).$$

這一局部推導是散度定理的微分極限，包含變化的面面積。

對於旋度，沿 $u_j,u_k$ 方向的小定向坐標矩形的環流，是邊量 $h_kF_k$ 和 $h_jF_j$ 的導數之差。除以面積 $h_jh_kdu_jdu_k$ 並局部應用 Stokes 定理，得到

$$(\nabla\times F)_i=\frac1{h_jh_k}\left[\partial_{u_j}(h_kF_k)-\partial_{u_k}(h_jF_j)\right],$$

其中 $(i,j,k)$ 為循環排列。這些論證要求場可微且坐標圖正則。它們推導尺度因子公式，而不是把公式視為互不相關的表格。

3 柱坐標公式與例子

代入 $(1,\rho,1)$ 得

$$\nabla f=e_\rho f_\rho+e_\theta\frac{f_\theta}{\rho}+e_zf_z,$$ $$\nabla\cdot F=\frac1\rho\partial_\rho(\rho F_\rho)+\frac1\rho\partial_\theta F_\theta+\partial_zF_z,$$ $$\nabla\times F=e_\rho\left(\frac1\rho\partial_\theta F_z-\partial_zF_\theta\right) +e_\theta(\partial_zF_\rho-\partial_\rho F_z) +e_z\frac1\rho\left[\partial_\rho(\rho F_\theta)-\partial_\theta F_\rho\right].$$

對梯度取散度得到 $\Delta f=\rho^{-1}\partial_\rho(\rho f_\rho)+\rho^{-2}f_{\theta\theta}+f_{zz}$。

剛體旋轉。 對 $F=\Omega\rho e_\theta$，散度為零，旋度為 $2\Omega e_z$。笛卡爾坐標中它是 $(-\Omega y,\Omega x,0)$，驗證了相同答案。只對分量 $F_\theta=\Omega\rho$ 求導而忽略標架幾何，會漏掉旋度中的一個因子。

平面徑向擴散。 場 $F=Ae_\rho/\rho$ 在軸外散度為零，因為 $\rho F_\rho=A$。它穿過半徑為 $R$、高度為 $L$ 的圓柱向外通量為 $2\pi AL$。包圍通量非零與局部散度為零並不矛盾：軸是被排除在公式正則區域之外的奇點。

4 球坐標公式與徑向算子

按坐標次序 $(r,\phi,\theta)$，

$$\nabla f=e_rf_r+e_\phi\frac{f_\phi}{r}+e_\theta\frac{f_\theta}{r\sin\phi},$$ $$\nabla\cdot F=\frac1{r^2}\partial_r(r^2F_r) +\frac1{r\sin\phi}\partial_\phi(\sin\phi F_\phi) +\frac1{r\sin\phi}\partial_\theta F_\theta.$$

旋度分量為

$$(\nabla\times F)_r=\frac{\partial_\phi(\sin\phi F_\theta)-\partial_\theta F_\phi}{r\sin\phi},$$ $$(\nabla\times F)_\phi=\frac1r\left[\frac1{\sin\phi}\partial_\theta F_r-\partial_r(rF_\theta)\right],\qquad (\nabla\times F)_\theta=\frac1r[\partial_r(rF_\phi)-\partial_\phi F_r].$$

標量 Laplace 算子為

$$\Delta f=\frac1{r^2}\partial_r(r^2f_r) +\frac1{r^2\sin\phi}\partial_\phi(\sin\phi f_\phi) +\frac{f_{\theta\theta}}{r^2\sin^2\phi}.$$

對徑向函數 $f=f(r)$，它化為 $f''+2f'/r$。因此當 $r>0$ 時 $\Delta(1/r)=0$。函數在零處奇異，所以這不是全局無源的陳述。對 $F=Ae_r/r^2$，散度同樣在零以外為零，球面通量為 $4\pi A$。

作為非奇異坐標圖的檢查，笛卡爾場 $(x,y,z)$ 變為 $F=re_r$，散度為 $r^{-2}\partial_r(r^3)=3$。柱坐標形式為 $\rho e_\rho+ze_z$，也得到 3。有效的物理結果應在正則坐標圖之間一致。

尺度因子的笛卡爾鏈式法則證明

為直接證明局部公式，設 $x=x(u)$ 是 $\mathbb R^3$ 開集之間的 $C^2$ 坐標微分同胚，非零坐標向量 $x_{u_i}=h_i e_i$ 兩兩正交，單位標架 $(e_1,e_2,e_3)$ 為右手。設 $F$ 在目標上為 $C^1$。記 $F_i=F\cdot e_i$、$H=h_1h_2h_3$。倒易坐標向量為 $\nabla u_i=e_i/h_i$，因為它與 $x_{u_j}$ 的點積是 $\delta_{ij}$。

對 $i\ne j$，坐標混合導數相等給出 $\partial_j(h_i e_i)=\partial_i(h_j e_j)$。與 $e_i$ 點乘得 $\partial_jh_i=h_j e_i\cdot\partial_i e_j$，因為單位向量與自身的任意導數正交。笛卡爾鏈式法則及散度的跡定義給出

$$\nabla\cdot F=\sum_i\frac1{h_i}e_i\cdot\partial_iF =\sum_j\left[\frac{\partial_jF_j}{h_j}+\frac{F_j}{h_j}\sum_{i\ne j}\frac{\partial_jh_i}{h_i}\right] =\frac1H\sum_j\partial_j\left(\frac H{h_j}F_j\right).$$

這計入了變化標架的全部導數。對循環排列 $(i,j,k)$，用該右手標準正交標架表示笛卡爾旋度恆等式，得到

$$(\nabla\times F)_i=\frac{e_k\cdot\partial_jF}{h_j}-\frac{e_j\cdot\partial_kF}{h_k}.$$

對 $F_k=F\cdot e_k$、$F_j=F\cdot e_j$ 求導，剩餘標架項可由 $\partial_j(h_k e_k)=\partial_k(h_j e_j)$ 合併，也即

$$-\frac{\partial_j e_k}{h_j}+\frac{\partial_k e_j}{h_k} =\frac{\partial_j h_k}{h_jh_k}e_k-\frac{\partial_k h_j}{h_jh_k}e_j.$$

代入恰得 $[\partial_j(h_kF_k)-\partial_k(h_jF_j)]/(h_jh_k)$。因此旋度公式來自正則坐標圖上的普通求導，無須借用任意曲坐標盒上的未證定理。對 $C^2$ 標量場，將已證散度恆等式用於梯度即得標量 Laplace 算子。柱坐標及球坐標代入時，須保留先前指定的坐標次序及尺度因子為正的定義域。

5 分級練習

E1 基礎。 將 $F=(x,y,2z)$ 表為柱坐標分量，並計算其散度。

E2 標量場。 對 $f=\rho^2+z^2$ 計算柱坐標梯度和 Laplace 算子，與笛卡爾結果比較。

E3 徑向場。 對 $r>0$ 上的 $F=r^me_r$，求散度並指出使其為零的指數。

E4 坐標圖與場。 用球坐標公式計算 $\Delta(r\cos\phi)$。解釋為甚麼坐標分母不意味著該場在軸上奇異。

E5 旋度。 對柱坐標場 $F=\rho z\,e_\theta$ 求旋度。

6 詳解

S1. $F=\rho e_\rho+2ze_z$。散度為 $\rho^{-1}\partial_\rho(\rho^2)+\partial_z(2z)=2+2=4$，與笛卡爾坐標中的 $1+1+2$ 一致。

S2. 梯度為 $2\rho e_\rho+2ze_z$，Laplace 算子為 $\rho^{-1}\partial_\rho(2\rho^2)+2=4+2=6$。由於 $f=x^2+y^2+z^2$，這正是預期的笛卡爾梯度與 Laplace 算子。

S3. 散度為 $r^{-2}\partial_r(r^{m+2})=(m+2)r^{m-1}$。在零以外，當 $m=-2$ 時它為零。奇異原點仍需單獨處理通量。

S4. 徑向貢獻為 $2\cos\phi/r$，極角貢獻為 $-2\cos\phi/r$，方位角貢獻為零。它們相消，得到零。該標量就是笛卡爾坐標 $z$，處處光滑；僅球坐標圖在軸上退化。

S5. 徑向分量為 $-\partial_z(\rho z)=-\rho$，方位角分量為零，竪直分量為 $\rho^{-1}\partial_\rho(\rho^2z)=2z$。因此旋度為 $-\rho e_\rho+2ze_z$。

小結

曲線坐標向量運算需要明確物理分量約定、坐標定向及尺度因子。梯度比較標量微分與位移；散度追蹤變化的面面積；旋度追蹤坐標矩形的環流。必須區分柱坐標和球坐標的坐標圖奇點與真正奇異的場和源。