向量微積分與守恆律

通量場描述穿過定向曲面的傳輸。守恆將邊界傳輸轉化為局部微分方程。線積分、曲面積分以及散度定理和 Stokes 定理表達這一關係的不同方面；方向與定義域假設決定符號和有效性。

1 線積分與勢函數

對分段 $C^1$ 曲線 $r:[a,b]\to\mathbb R^3$ 和連續向量場 $F$，其定向線積分為

$$\int_CF\cdot dr=\int_a^bF(r(t))\cdot r'(t)dt.$$

反向定向使符號反轉。由一元代換法則，保持方向的正則參數變換不改變積分。若 $F=\nabla\phi$，其中勢函數在定義域上單值且可微，則稱該場為保守場。

梯度定理。 若 $\phi$ 在曲線附近為 $C^1$，則 $\int_C\nabla\phi\cdot dr=\phi(r(b))-\phi(r(a))$。

證明。 鏈式法則使被積函數為 $d\phi(r(t))/dt$。在每個光滑片段應用微積分基本定理，端點值相消。$\square$

因此保守場的閉路積分為零。若 $\phi\in C^2$，混合偏導數相等使其梯度旋度為零。反命題需要定義域條件：$\mathbb R^3$ 中關於一點星形的開域上的 $C^1$ 無旋場有勢函數；下文完整證明這一明確的充分定義域條件。定義域有孔時，無旋本身不夠。

對 $z$ 軸外的 $F=(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2),0)$，旋度為零，但沿單位圓積分為 $2\pi$。該定義域上不存在全局單值角度勢函數。

2 曲面積分、散度與旋度

參數化曲面 $r(u,v)$ 在叉積非零處的定向面積向量為 $(r_u\times r_v)du\,dv$，其通量為

$$\iint_SF\cdot n\,dS=\iint_DF(r(u,v))\cdot(r_u\times r_v)du\,dv.$$

改變方向使通量變號。標量面積積分則使用 $\|r_u\times r_v\|$。

對 $F=(P,Q,R)$，

$$\nabla\cdot F=P_x+Q_y+R_z,$$

並且

$$\nabla\times F=(R_y-Q_z,\ P_z-R_x,\ Q_x-P_y).$$

散度度量淨向外通量密度；旋度按右手定向約定記錄局部環流密度。兩者是不同運算，輸出類型也不同。

3 帶假設的邊界定理

散度定理。 對矩形盒，或實際具有參數邊界章節所證明條件下的有限相容圖像夾層分解的有界實體 $\Omega$，若向量場在其閉包的開鄰域中為 $C^1$，則

$$\iint_{\partial\Omega}F\cdot n\,dS=\iiint_\Omega\nabla\cdot F\,dV,$$

其中法向量朝外。對矩形盒，證明直接：相對的 $x$ 面貢獻 $\int\int[P(b,y,z)-P(a,y,z)]dy\,dz=\iiint P_x$，由微積分基本定理和 Fubini 定理得到。再加上類似的 $y$、$z$ 面對。所述有限推廣通過相加已證明的各塊並抵消內部面得到；不能僅憑「分段光滑」一詞就包括任意區域。實體內的奇點不可忽略。

Stokes 定理。 對實際分解為有限個相容、單射 $C^2$ 正則曲面片的緊定向曲面 $S$，參數區域屬於下文指定的 Green 類，邊界定向相容，且 $F\in C^1$ 於 $S$ 的開鄰域上，則

$$\oint_{\partial S}F\cdot dr=\iint_S(\nabla\times F)\cdot n\,dS,$$

其中邊界方向依曲面法向量按右手規則確定。平面版本是 Green 定理：對下文實際證明的基本類或有限分解類平面區域 $D$，取正向邊界，且場在閉包鄰域為 $C^1$，

$$\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)dA.$$

對 $x$-簡單區域，積分 $-P_y$ 得到上下邊界貢獻之差；類似的 $y$-簡單論證處理 $Q_x$。內邊界片段相消後，分解可推廣這一恆等式。

檢驗例。 對 $F=(x,y,z)$，散度為 3。半徑為 $R>0$ 的球面的向外通量為 $3(4\pi R^3/3)=4\pi R^3$。直接計算時 $F\cdot n=R$、面積為 $4\pi R^2$，結果相同。

4 從積分守恆到局部方程

設 $c(x,t)$ 是濃度，$j(x,t)$ 是每單位面積向外通量，$s(x,t)$ 是局部生成率。對任意固定控制體積，

$$\frac d{dt}\iiint_\Omega c\,dV=-\iint_{\partial\Omega}j\cdot n\,dS+\iiint_\Omega s\,dV.$$

若場足夠光滑，可在積分號下求導並應用散度定理，則得到 $\iiint_\Omega(c_t+\nabla\cdot j-s)dV=0$。若被積函數連續且恆等式對每個小控制體積成立，則

$$c_t+\nabla\cdot j=s.$$

因為非零連續值會在某個小鄰域保持同一符號，從而在那裡給出非零積分。若 $j=-K\nabla c$，方程為 $c_t=\nabla\cdot(K\nabla c)+s$。當 $K=kI$ 且標量 $k$ 為常數時，簡化為 $c_t=k\Delta c+s$。空間變化系數和各向異性張量必須保留在散度內部。

一個有實際證明的勢函數定義域條件

本章採用下列明確的充分條件。若對 $x\in U$，線段 $a+t(x-a)$（$0\le t\le1$）都留在開集 $U$ 內，則稱 $U$ 關於 $a\in U$ 為星形。對其中的 $C^1$ 無旋場定義

$$\phi(x)=\int_0^1F(a+t(x-a))\cdot(x-a)\,dt.$$

固定 $x$ 後，其緊線段有一個小鄰域包含於 $U$。一階導數的連續性保證固定區間積分可以求偏導：坐標中值定理與一致連續性使差商在 $t$ 上一致收斂。被積函數的第 $j$ 個偏導數為 $F_j+t\sum_i(x_i-a_i)\partial_jF_i$。無旋給出 $\partial_jF_i=\partial_iF_j$，所以它等於 $d[tF_j(a+t(x-a))]/dt$。積分便得 $\partial_j\phi=F_j(x)$，即 $F=\nabla\phi$。這證明了星形域上的反命題；這裏沒有聲稱已經證明每個單連通域上的推廣，後者需要額外的路徑或同倫論證。去掉軸線的例子，由非零閉路積分甚至排除了任何全局勢函數。

明確有限類區域上的 Green 定理

下面的邊界結果中，基本平面區域具有緊 Jordan 閉包和正向分段 $C^1$ 邊界，且同時有竪條描述 $\alpha\le x\le\beta$、$g_-(x)\le y\le g_+(x)$ 及橫條描述 $\gamma\le y\le\delta$、$h_-(y)\le x\le h_+(y)$，邊界圖像函數連續。若邊界弧本身可正則地分段 $C^1$ 參數化，允許圖像在端點有竪直或水平切線。還允許由這些塊組成的有限區域，但內部互不相交，每條共享邊界弧須以相反方向配對。矩形、圓盤均為例子。假設 $P,Q$ 在閉包的開鄰域上為 $C^1$。

對每條竪直區間用微積分基本定理，得到

$$-\iint_D P_y\,dA=\int_\alpha^\beta[P(x,g_-(x))-P(x,g_+(x))]dx=\oint_{\partial D}P\,dx.$$

底邊向右、頂邊向左，竪直端邊上 $dx=0$。同樣，對水平區間有

$$\iint_D Q_x\,dA=\int_\gamma^\delta[Q(h_+(y),y)-Q(h_-(y),y)]dy=\oint_{\partial D}Q\,dy.$$

這些累次積分等於 Jordan 積分：將連續被積函數向包含區域的矩形作零延拓，以逐格上下和夾住累次積分；內部格子用一致連續性，邊界格子用其總體積趨零。若圖像參數在端點有竪直切線，先將邊界弧截去端點附近；遺漏弧長乘 $P,Q$ 的界使端點貢獻趨零。相加即證 Green。對上述有限分解，內部線積分抵消，面積積分相加，故推廣成立。將 Green 中 $(P,Q)$ 換成 $(-V,U)$ 即得通量形式，因為正向單位速率邊界上 $U\nu_x+V\nu_y=Uy'-Vx'$。

具有明確可微條件的守恆推導

對固定緊 Jordan 控制體積及緊時間區間，假設 $c,c_t$ 在其乘積的鄰域上連續，$j$ 及其一階空間導數也連續。由時間方向的微積分基本定理及 $c_t$ 的一致連續性，$c$ 的時間差商在空間上一致趨於 $c_t$。積分誤差由體積乘該一致誤差控制，所以 $d\int c/dt=\int c_t$。對盒或參數邊界章節明確允許的實體應用已證散度定理。若 $c_t+\nabla\cdot j-s$ 連續，且在每個足夠小的盒上積分為零，則一點處的正值會在某小盒上保持正且有正下界，與積分為零矛盾；負值同理。這就在所述假設下得出局部守恆方程。

5 分級練習

E1 基礎。 沿任意分段光滑路徑，從 $(0,0,0)$ 到 $(1,2,3)$ 計算 $F=(2x,2y,2z)$ 的線積分。

E2 Green 定理。 沿半徑為 $a>0$ 的逆時針圓周計算 $\oint_C(-y\,dx+x\,dy)$。

E3 散度。 求 $F=(x^2,y,z)$ 穿過單位立方體 $[0,1]^3$ 的向外通量。

E4 守恆。 若 $j=-k\nabla c$，其中 $k>0$ 為常數且沒有源項，推導方程並說明零邊界通量如何保證總質量守恆。

6 完整解答

S1. 勢函數為 $\phi=x^2+y^2+z^2$，故積分為 $14-0=14$。由於勢函數在整個空間全局定義，路徑無關。

S2. $Q_x-P_y=1-(-1)=2$。Green 定理給出 $2\pi a^2$。直接參數化 $x=a\cos t$、$y=a\sin t$ 得到被積式 $a^2dt$，確認符號。

S3. 散度為 $2x+2$，體積分為 $\int_0^1(2x+2)dx=3$。每個坐標方向的一對相對面的貢獻都是 1，總和也為 3。

S4. 代入得 $c_t=k\Delta c$。積分並應用散度定理，在所給邊界條件下得到 $dM/dt=-\iint_{\partial\Omega}j\cdot n=0$。不要求梯度處處為零；邊界通量為零時仍可發生內部重新分布。

總結

線積分和曲面積分帶有方向。勢函數使線積分只依賴端點；散度和旋度在明確的正則性假設下將邊界數據與內部導數聯繫起來。守恆與本構通量定律給出局部演化方程，其系數必須保留空間和張量結構。