引力、行星慣量與流體場模型

當對稱性將三維問題化為一個徑向或一維方程時，空間積分和向量微積分尤其有效。我們推導均勻球體的引力勢和轉動慣量，分析流體旋轉及徑向流，並將彈性波模態聯繫到常系數常微分方程。物理定律均為明確假設的模型。

1 均勻球體的引力勢

對半徑 $R>0$ 的球體，假設單位測試質量的牛頓勢為

$$\Phi(x)=-G\iiint_{|y|\le R}\frac{\rho}{|x-y|}dV_y,$$

其中質量密度 $\rho>0$ 為常數，引力常數 $G$ 為正。球對稱性使其僅依賴 $r=|x|$。在半徑為 $s$ 的源球殼上，令極軸朝向 $x$，則 $|x-y|=\sqrt{r^2+s^2-2rs\cos\phi}$、$dV=s^2\sin\phi\,ds\,d\phi\,d\theta$。

對 $r,s>0$，代入 $u=\cos\phi$ 得到角向因子

$$2\pi\int_{-1}^1\frac{du}{\sqrt{r^2+s^2-2rsu}} =\frac{2\pi[(r+s)-|r-s|]}{rs}=\frac{4\pi}{\max(r,s)}.$$

當 $r=s$ 時，角向端點是反常但可積的，直接計算端點也得到同一公式。下面的正常截頂核與小球證明以明確收斂界保證奇異體積分及先作角向積分的計算合法。

當 $r\ge R$，得到 $\Phi(r)=-4\pi G\rho R^3/(3r)=-GM/r$，其中 $M=4\pi\rho R^3/3$。當 $0<r<R$，在 $s=r$ 處分割源球殼：

$$\Phi(r)=-4\pi G\rho\left[\frac1r\int_0^rs^2ds+\int_r^Rs\,ds\right] =-2\pi G\rho\left(R^2-\frac{r^2}{3}\right).$$

通過直接積分或連續性，同一內部公式延伸到 $r=0$。因此引力場 $g=-\nabla\Phi$ 為

$$g(r)=\begin{cases}-(4\pi G\rho/3)r\,e_r,&0<r<R,\\-GM r^{-2}e_r,&r>R.\end{cases}$$

場在 $R$ 處連續接合，在中心延伸為零。外部平方反比規律和內部線性規律是從體積分與均勻密度推導出來的，而不是對每個行星密度分布的假設。

2 行星質量慣量

在此剛體模型中，關於 $z$ 軸的轉動慣量為

$$I_z=\iiint_{|x|\le R}\rho(x^2+y^2)dV.$$

在球坐標約定下，$x^2+y^2=r^2\sin^2\phi$、$dV=r^2\sin\phi\,dr\,d\phi\,d\theta$。因此

$$I_z=\rho\left(\int_0^Rr^4dr\right) \left(\int_0^\pi\sin^3\phi\,d\phi\right) \left(\int_0^{2\pi}d\theta\right) =\frac{8\pi\rho R^5}{15}=\frac25MR^2.$$

只對密度積分是不夠的：慣量按質量元到旋轉軸的距離平方加權。非均勻密度改變加權積分，非球形物體改變幾何邊界。

曲面面積計算

對於半徑 $A>0$ 的圓盤上方的圖面 $z=x^2+y^2$，參數化 $r(\rho_c,\theta)=(\rho_c\cos\theta,\rho_c\sin\theta,\rho_c^2)$ 的叉積模為 $\rho_c\sqrt{1+4\rho_c^2}$。故標量面積為

$$\mathcal A=2\pi\int_0^A\rho_c\sqrt{1+4\rho_c^2}d\rho_c=\frac\pi6[(1+4A^2)^{3/2}-1].$$

它大於投影圓盤面積 $\pi A^2$；向上的恆定竪直單位場的通量僅為 $\pi A^2$。標量面積與定向通量的區別很重要。對於半徑 $R>0$ 的球面，球面尺度為 $R^2\sin\phi$，積分為 $4\pi R^2$。這些是曲面雅可比因子，不是漏掉微分後直接重用體積因子 $r^2\sin\phi\,dr$。

3 流體旋轉與水文徑向通量

對於恆密度流體，當密度在空間和時間上都恆定時，質量守恆 $\rho_t+\nabla\cdot(\rho u)=0$ 化為 $\nabla\cdot u=0$。柱坐標速度場 $u=\Omega\rho_c e_\theta$（這裏 $\rho_c$ 表示半徑而不是質量密度）散度為零，旋度為 $2\Omega e_z$。這是剛體旋轉的簡單局部模型。半徑 $a$ 周圍的環流為 $2\pi\Omega a^2$，由 Stokes 定理等於穿過圓盤的旋度通量。它展示速度、環流與渦度，並不是海洋或大氣力平衡的完整模型。

對厚度為 $L>0$ 的理想穩定軸對稱流層，設向外總流率為 $Q$。穿過圓柱面的守恆要求 $q_{\rho_c}2\pi\rho_cL=Q$，故

$$q_{\rho_c}=\frac{Q}{2\pi L\rho_c}.$$

假設本構關係 $q=-K\nabla h$，其中 $K>0$ 為常數，$h$ 是標量水頭。選取參考半徑 $\rho_0>0$。則

$$h(\rho_c)=h(\rho_0)-\frac{Q}{2\pi KL}\log\frac{\rho_c}{\rho_0},\qquad\rho_c>0.$$

對數需要無量綱的半徑比。正 $Q$ 表示向外源，向內抽水採用相反符號約定。軸被排除，實際模型中須用源或井的邊界替代。守恆和本構關係作用不同：前者決定通量的幾何形式，後者將通量轉為水頭梯度。

4 彈性波模態及其常微分方程

在一維小位移彈性模型中，假設應力 $\sigma=Eu_x$，其中模量 $E>0$、質量密度 $\rho_m>0$ 為常數。力平衡為 $\rho_m u_{tt}=\sigma_x=Eu_{xx}$，因此波速為 $c=\sqrt{E/\rho_m}$。

對 $k>0$ 的空間模態 $u(x,t)=\cos(kx)T(t)$，代入得到 $T''+c^2k^2T=0$。二階常微分方程方法因此給出 $T=A\cos(ckt)+B\sin(ckt)$。位移場 $u=A\cos(kx)\cos(ckt)$ 可直接求導驗證。這將空間導數與常系數振蕩聯繫起來，但並不聲稱是完整的地震波理論。

對固定區間上的光滑解，定義單位橫截面積的能量

$$\mathcal E(t)=\frac12\int[\rho_m u_t^2+Eu_x^2]dx.$$

求導並分部積分得到 $\mathcal E'=[Eu_tu_x]_{\rm endpoints}$，因為內部項由波動方程相消。邊界功率通量為零時能量守恆；非零端點外力可以加入或移除能量。邊界條件是模型的一部分，不能事後視為可有可無。

Newton 奇點處的正常積分截斷證明

固定 $x\in\mathbb R^3$ 和 $R>0$。本例密度為固定有限常數 $\rho>0$。對整數 $N\ge1$，在 $y\ne x$ 定義 $k_N(y)=\min(N,1/|x-y|)$，並令 $k_N(x)=N$。該函數包括在 $x$ 處都連續且有界。因此可對源球上的每個 $\rho k_N$ 使用正常 Jordan 換元及普通 Fubini，坐標邊界極限由空間積分章節的證明保證。

局部奇點可積且有定量界。在 $\varepsilon\le|y-x|\le\delta$ 上，平移後的球坐標給出

$$\int\frac{\rho}{|x-y|}\,dV=4\pi\rho\int_\varepsilon^\delta s\,ds =2\pi\rho(\delta^2-\varepsilon^2).$$

核在每個環狀區域上連續有界，須先作正常積分，再令 $\varepsilon\downarrow0$。因此半徑 $\delta$ 球內的奇異貢獻至多為 $2\pi\rho\delta^2$。在源球中刪去以 $x$ 為中心、半徑 $\varepsilon$ 的小球後得到的積分族為 Cauchy，因為其差僅在這樣的小環狀區域內，並滿足該界。它們的實極限定義反常勢積分。該極限與 $\int\rho k_N$ 之差非負且至多為 $2\pi\rho/N^2$，因為兩個核在 $|y-x|<1/N$ 之外相同。這證明截頂正常積分有相同極限，包括 $x$ 位於源邊界的情況。

還須證明該極限可先作角向計算。對 $r=|x|>0$、源半徑 $s>0$，令 $a=|r-s|$、$b=r+s$。在正常的截頂角向積分中，代入距離 $d=\sqrt{r^2+s^2-2rsu}$，得到

$$I_N(r,s)=\frac{2\pi}{rs}\int_a^b\min(Nd,1)\,dd.$$

未截頂表達式為 $I(r,s)=2\pi(b-a)/(rs)=4\pi/\max(r,s)$。二者之差非負，且

$$0\le I-I_N\le\frac{2\pi}{rs}\int_0^{1/N}(1-Nd)\,dd=\frac{\pi}{rsN}.$$

乘以 $\rho s^2$ 並在 $0<s<R$ 積分，徑向誤差不超過 $\pi\rho R^2/(2rN)\to0$。每個截頂積分原本都是正常積分，所以明確誤差證明了所列先角向、後徑向計算等於反常體積分，沒有調用奇異核的一般交換積分定理。對 $r=0$，角向因子為 $4\pi\min(N,1/s)$，徑向積分直接趨於 $4\pi\rho\int_0^R s\,ds=2\pi\rho R^2$，遺漏徑向部分也受同一小球界控制。對所得顯式徑向勢求導，而不是對奇異被積函數求導，即得上面的引力場。

對旋轉模型，明確將柱坐標記號延拓為整個圓盤鄰域上的 $u=(-\Omega y,\Omega x,0)$。該笛卡爾場光滑，包括在軸上旋度也為 $(0,0,2\Omega)$，所以可使用圓盤 Stokes 定理。當 $Q\ne0$ 時，徑向流 $Q/(2\pi L\rho_c)$ 在軸上沒有這種延拓，須保留排除軸線的定義域。

5 分級練習

E1 引力。 求均勻球體內部 $r=R/2$ 處的引力加速度大小，並與表面大小比較。

E2 行星慣量。 若均勻球體的半徑加倍而密度保持不變，質量與轉動慣量分別變為多少倍？

E3 水文。 對向外的正 $Q$，求 $h(2\rho_0)-h(\rho_0)$，並說明在所述本構關係下的符號。

E4 環流。 對 $u=\Omega\rho_c e_\theta$，直接用線積分計算半徑 $a$ 圓周上的環流。

E5 波模態。 驗證 $u=\sin(kx)\cos(ckt)$ 滿足 $u_{tt}=c^2u_{xx}$，並在 $k>0$ 時指出一個零功率通量區間。

E6 曲面面積。 求單位圓盤上方 $z=x^2+y^2$ 的標量面積，並與 $(0,0,1)$ 的向上通量比較。

6 詳解

S1. 內部的大小為 $(4\pi G\rho/3)r$。在 $R/2$ 處為 $2\pi G\rho R/3$，恰為表面大小 $4\pi G\rho R/3$ 的一半。此線性比較依賴均勻密度。

S2. 質量按 $R^3$ 縮放，故變為 8 倍。慣量按 $\rho R^5$ 縮放，故變為 32 倍，而非僅 8 倍。額外的距離平方權重解釋了區別。

S3. 其差為 $-[Q/(2\pi KL)]\log2<0$。向外流為正時，水頭隨半徑增加而降低。若反轉正流方向的定義，符號也反轉。

S4. 沿圓周 $dr=a e_\theta d\theta$，速度為 $\Omega a e_\theta$。因此積分為 $\int_0^{2\pi}\Omega a^2d\theta=2\pi\Omega a^2$，與渦度通量一致。

S5. $u_{tt}$ 與 $c^2u_{xx}$ 都等於 $-c^2k^2\sin(kx)\cos(ckt)$。在 $[0,\pi/k]$ 上，$u$ 從而 $u_t$ 在兩端均為零，故 $Eu_tu_x$ 在兩端為零，能量守恆。這一邊界結論來自選定模態，而不是僅由偏微分方程得出。

S6. 在推導出的公式中取 $A=1$：面積為 $\pi(5\sqrt5-1)/6$。向上竪直通量是投影面積 $\pi$，小於標量曲面面積。區別來自圖面面積因子 $\sqrt{1+4\rho_c^2}$，而不是通量符號。

小結

球坐標積分推導引力勢及加權行星慣量。散度和 Stokes 定理將流體通量與環流聯繫到局部算子；本構關係提供額外物理關係。彈性正規模態將空間模型化為常微分方程，能量恆等式揭示邊界輸入的作用。各結論均依賴所述對稱、材料及邊界假設。