學習目標與預備知識
Jordan 塊一旦寫出就容易識別。關鍵定理是：可以找到足夠多的相容鏈，填滿整個空間。本章證明這一點，而不是假設逐層核的任意基都能相互配合；隨後證明廣義特徵空間分解和各塊大小的唯一性。
我們使用域 F F F F F F C \mathbb C C R \mathbb R R
1. 鏈、約定與相容性問題
對算子 T T T λ \lambda λ r r r Jordan 鏈 是滿足下列條件的有序組 v 1 , … , v r v_1,\ldots,v_r v 1 , … , v r
( T − λ I ) v 1 = 0 , ( T − λ I ) v j = v j − 1 ( 2 ≤ j ≤ r ) , v 1 ≠ 0. (T-\lambda I)v_1=0,\qquad (T-\lambda I)v_j=v_{j-1}\quad(2\le j\le r),\qquad v_1\ne0. ( T − λ I ) v 1 = 0 , ( T − λ I ) v j = v j − 1 ( 2 ≤ j ≤ r ) , v 1 = 0. 底向量為 v 1 v_1 v 1 v r v_r v r j j j ( T − λ I ) j − 1 (T-\lambda I)^{j-1} ( T − λ I ) j − 1 v 1 v_1 v 1
在有序鏈基 v 1 , … , v r v_1,\ldots,v_r v 1 , … , v r
J r ( λ ) = ( λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 1 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ 0 0 ⋯ 0 λ 1 0 ⋯ ⋯ 0 λ ) . J_r(\lambda)=\begin{pmatrix}
\lambda&1&0&\cdots&0\\
0&\lambda&1&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\
0&\cdots&0&\lambda&1\\
0&\cdots&\cdots&0&\lambda
\end{pmatrix}. J r ( λ ) = λ 0 ⋮ 0 0 1 λ ⋱ ⋯ ⋯ 0 1 ⋱ 0 ⋯ ⋯ ⋱ ⋱ λ 0 0 ⋮ 0 1 λ . 由於第 j j j ( j − 1 ) (j-1) ( j − 1 )
鏈底不一定能向上提升。令 N = J 3 ( 0 ) ⊕ [ 0 ] N=J_3(0)\oplus[0] N = J 3 ( 0 ) ⊕ [ 0 ] e 4 e_4 e 4 ker N \ker N ker N N V NV N V w w w N w = e 4 Nw=e_4 N w = e 4 e 1 e_1 e 1
2. 逐層核商空間與單射
設 N N N N s = 0 N^s=0 N s = 0
K j = ker N j ( 0 ≤ j ≤ s ) , K 0 = { 0 } , K s = V . K_j=\ker N^j\quad(0\le j\le s),\qquad K_0=\{0\},\qquad K_s=V. K j = ker N j ( 0 ≤ j ≤ s ) , K 0 = { 0 } , K s = V . 這裏 K j / K j − 1 K_j/K_{j-1} K j / K j − 1 v + K j − 1 v+K_{j-1} v + K j − 1 K j − 1 K_{j-1} K j − 1 K j − 1 K_{j-1} K j − 1 K j K_j K j dim ( K j / K j − 1 ) = dim K j − dim K j − 1 \dim(K_j/K_{j-1})=\dim K_j-\dim K_{j-1} dim ( K j / K j − 1 ) = dim K j − dim K j − 1
對 1 ≤ j < s 1\le j<s 1 ≤ j < s
ϕ j : K j + 1 / K j ⟶ K j / K j − 1 , [ v ] ⟼ [ N v ] . \phi_j:K_{j+1}/K_j\longrightarrow K_j/K_{j-1},\qquad [v]\longmapsto[Nv]. ϕ j : K j + 1 / K j ⟶ K j / K j − 1 , [ v ] ⟼ [ N v ] . 此映射良定義：N j + 1 v = 0 N^{j+1}v=0 N j + 1 v = 0 N v ∈ K j Nv\in K_j N v ∈ K j v v v K j K_j K j N v Nv N v K j − 1 K_{j-1} K j − 1 N N N N v ∈ K j − 1 Nv\in K_{j-1} N v ∈ K j − 1 N j v = N j − 1 ( N v ) = 0 N^jv=N^{j-1}(Nv)=0 N j v = N j − 1 ( N v ) = 0 v ∈ K j v\in K_j v ∈ K j [ v ] = 0 [v]=0 [ v ] = 0
令 d j = dim K j d_j=\dim K_j d j = dim K j q j = d j − d j − 1 q_j=d_j-d_{j-1} q j = d j − d j − 1
q 1 ≥ q 2 ≥ ⋯ ≥ q s ≥ 0. q_1\ge q_2\ge\cdots\ge q_s\ge0. q 1 ≥ q 2 ≥ ⋯ ≥ q s ≥ 0. 這個限制無需假設 Jordan 形便已證明。僅有核的遞增並不能推出它，關鍵是商空間之間的映射。
濾過的基引理
若對每個 j j j L j ⊆ K j L_j\subseteq K_j L j ⊆ K j K j / K j − 1 K_j/K_{j-1} K j / K j − 1 L j L_j L j V V V
先證張成性。取 v ∈ K s v\in K_s v ∈ K s L s L_s L s K s − 1 K_{s-1} K s − 1 K 0 = 0 K_0=0 K 0 = 0 j j j K j − 1 K_{j-1} K j − 1 L j L_j L j
3. 冪零鏈的完整構造
定理 1。 有限維空間上的每個冪零算子都有一組由鏈組成的基。
證明。 在第 s s s K s / K s − 1 K_s/K_{s-1} K s / K s − 1 L s L_s L s K j + 1 / K j K_{j+1}/K_j K j + 1 / K j L j + 1 L_{j+1} L j + 1 N L j + 1 N L_{j+1} N L j + 1 ϕ j \phi_j ϕ j K j / K j − 1 K_j/K_{j-1} K j / K j − 1 K j / K j − 1 K_j/K_{j-1} K j / K j − 1 K j K_j K j N L j + 1 N L_{j+1} N L j + 1 L j L_j L j
繼續向下直到 j = 1 j=1 j = 1 L j L_j L j V V V r r r N N N r r r K r − 1 K_{r-1} K r − 1 N r − 1 v ≠ 0 N^{r-1}v\ne0 N r − 1 v = 0 N r v = 0 N^rv=0 N r v = 0 r r r
在第一層以上，同一層的兩個向量不會對應相同的下一鏈位置：單射性使所選商空間基的像在下一層仍線性無關。因此，所有層的基向量可劃分為從新引入代表元出發的各條鏈。按從底到頂的次序，每條鏈都滿足所需關係。由此得到完整的冪零 Jordan 基。□ \square □
該構造在第 j j j q j − q j + 1 q_j-q_{j+1} q j − q j + 1 q s + 1 = 0 q_{s+1}=0 q s + 1 = 0 j j j
例 1：五維空間中的相容層。 在 R 5 \mathbb R^5 R 5 N N N
N e 1 = 0 , N e 2 = e 1 , N e 3 = e 2 + e 4 , N e 4 = 0 , N e 5 = e 4 . Ne_1=0,\quad Ne_2=e_1,\quad Ne_3=e_2+e_4,\quad Ne_4=0,\quad Ne_5=e_4. N e 1 = 0 , N e 2 = e 1 , N e 3 = e 2 + e 4 , N e 4 = 0 , N e 5 = e 4 . 它的像由線性無關的向量 e 1 , e 2 + e 4 , e 4 e_1,e_2+e_4,e_4 e 1 , e 2 + e 4 , e 4 d 1 = 2 d_1=2 d 1 = 2 e 1 e_1 e 1 d 2 = 4 d_2=4 d 2 = 4 N 3 = 0 N^3=0 N 3 = 0 d 3 = 5 d_3=5 d 3 = 5 q 1 = 2 , q 2 = 2 , q 3 = 1 q_1=2,q_2=2,q_3=1 q 1 = 2 , q 2 = 2 , q 3 = 1
在第三層選 e 3 e_3 e 3 e 2 + e 4 e_2+e_4 e 2 + e 4 e 5 e_5 e 5 e 1 , e 4 e_1,e_4 e 1 , e 4 K 1 K_1 K 1
( e 1 , e 2 + e 4 , e 3 ) , ( e 4 , e 5 ) . (e_1,e_2+e_4,e_3),\qquad(e_4,e_5). ( e 1 , e 2 + e 4 , e 3 ) , ( e 4 , e 5 ) . 這五個向量線性無關：換基矩陣為三角矩陣且對角項全為一。直接作用 N N N J 3 ( 0 ) ⊕ J 2 ( 0 ) J_3(0)\oplus J_2(0) J 3 ( 0 ) ⊕ J 2 ( 0 ) 3 , 2 3,2 3 , 2
4. 用多項式投影分離特徵值
假設 χ T ( t ) = ∏ i = 1 r p i ( t ) \chi_T(t)=\prod_{i=1}^r p_i(t) χ T ( t ) = ∏ i = 1 r p i ( t )
p i ( t ) = ( t − λ i ) a i , a i ≥ 1 , p_i(t)=(t-\lambda_i)^{a_i},\qquad a_i\ge1, p i ( t ) = ( t − λ i ) a i , a i ≥ 1 , 而 λ i \lambda_i λ i F F F h i = χ T / p i h_i=\chi_T/p_i h i = χ T / p i p i p_i p i h i h_i h i u i h i + v i p i = 1 u_i h_i+v_i p_i=1 u i h i + v i p i = 1 e i = u i h i e_i=u_i h_i e i = u i h i
多項式 e i e_i e i p i p_i p i j ≠ i j\ne i j = i p j p_j p j ∑ i e i − 1 \sum_i e_i-1 ∑ i e i − 1 p j p_j p j p , q p,q p , q f f f f = p g f=pg f = p g a p + b q = 1 ap+bq=1 a p + b q = 1 g = a p g + b q g g=apg+bqg g = a p g + b q g p g = f pg=f p g = f q q q q ∣ g q\mid g q ∣ g p q ∣ f pq\mid f pq ∣ f
由 Cayley–Hamilton 定理得到
∑ i e i ( T ) = I . \sum_i e_i(T)=I. i ∑ e i ( T ) = I . 又有 p i e i = u i χ T p_i e_i=u_i\chi_T p i e i = u i χ T e i ( T ) V e_i(T)V e i ( T ) V
G i = ker p i ( T ) = ker ( T − λ i I ) a i . G_i=\ker p_i(T)=\ker(T-\lambda_iI)^{a_i}. G i = ker p i ( T ) = ker ( T − λ i I ) a i . 於是每個向量都是若干 G i G_i G i
這個和是直和。在 G i G_i G i e i − 1 e_i-1 e i − 1 p i p_i p i e i ( T ) e_i(T) e i ( T ) G j G_j G j j ≠ i j\ne i j = i e i e_i e i p j p_j p j w j ∈ G j w_j\in G_j w j ∈ G j ∑ j w j = 0 \sum_j w_j=0 ∑ j w j = 0 e i ( T ) e_i(T) e i ( T ) w i = 0 w_i=0 w i = 0 G i G_i G i T T T w ∈ G i w\in G_i w ∈ G i p i ( T ) T w = T p i ( T ) w = 0 p_i(T)Tw=T p_i(T)w=0 p i ( T ) T w = T p i ( T ) w = 0
我們證明瞭主分解
V = G 1 ⊕ ⋯ ⊕ G r . V=G_1\oplus\cdots\oplus G_r. V = G 1 ⊕ ⋯ ⊕ G r . 在 G i G_i G i N i = T − λ i I N_i=T-\lambda_iI N i = T − λ i I N i a i = 0 N_i^{a_i}=0 N i a i = 0 T T T
例 2：重根情形的顯式投影。 設實算子的特徵多項式為 ( t − 1 ) 2 ( t + 1 ) (t-1)^2(t+1) ( t − 1 ) 2 ( t + 1 )
e − 1 ( t ) = ( t − 1 ) 2 4 , e 1 ( t ) = 1 − ( t − 1 ) 2 4 . e_{-1}(t)=\frac{(t-1)^2}{4},\qquad e_1(t)=1-\frac{(t-1)^2}{4}. e − 1 ( t ) = 4 ( t − 1 ) 2 , e 1 ( t ) = 1 − 4 ( t − 1 ) 2 . 當 t = − 1 t=-1 t = − 1 e 1 = ( 3 − t ) ( t + 1 ) / 4 e_1=(3-t)(t+1)/4 e 1 = ( 3 − t ) ( t + 1 ) /4 t + 1 t+1 t + 1 ( t − 1 ) 2 (t-1)^2 ( t − 1 ) 2 e 1 e_1 e 1 e − 1 e_{-1} e − 1 e 1 ( T ) e_1(T) e 1 ( T ) e − 1 ( T ) e_{-1}(T) e − 1 ( T ) ker ( T − I ) 2 \ker(T-I)^2 ker ( T − I ) 2 ker ( T + I ) \ker(T+I) ker ( T + I )
5. 唯一性、零化度與域的限制
固定特徵值 λ \lambda λ
d k ( λ ) = dim ker ( T − λ I ) k , d 0 ( λ ) = 0. d_k(\lambda)=\dim\ker(T-\lambda I)^k,\qquad d_0(\lambda)=0. d k ( λ ) = dim ker ( T − λ I ) k , d 0 ( λ ) = 0. 對於大小為 r r r λ \lambda λ min ( k , r ) \min(k,r) min ( k , r ) μ \mu μ T − λ I = ( μ − λ ) I + R T-\lambda I=(\mu-\lambda)I+R T − λ I = ( μ − λ ) I + R R r = 0 R^r=0 R r = 0
1 μ − λ ∑ j = 0 r − 1 ( − R μ − λ ) j , \frac1{\mu-\lambda}\sum_{j=0}^{r-1}\left(-\frac R{\mu-\lambda}\right)^j, μ − λ 1 j = 0 ∑ r − 1 ( − μ − λ R ) j , 因為相乘後有限幾何和發生裂項抵消。這樣的塊對核沒有貢獻。因此
d k ( λ ) = ∑ r b r min ( k , r ) , d_k(\lambda)=\sum_r b_r\min(k,r), d k ( λ ) = r ∑ b r min ( k , r ) , 其中 b r b_r b r λ \lambda λ r r r
d k − d k − 1 = # { λ 塊大小至少為 k } , d_k-d_{k-1}=\#\{\lambda\text{ 塊大小至少為 }k\}, d k − d k − 1 = # { λ 塊大小至少為 k } , 再對這些增量相減得
2 d k − d k − 1 − d k + 1 = # { λ 塊大小恰為 k } . 2d_k-d_{k-1}-d_{k+1}=\#\{\lambda\text{ 塊大小恰為 }k\}. 2 d k − d k − 1 − d k + 1 = # { λ 塊大小恰為 k } . 各核的維數是算子的固有量，故每個塊的大小都被唯一確定，只差排列次序。結合存在性，這就證明瞭 Jordan 標準形定理。
大小為該值的塊的特徵多項式是 ( t − λ ) r (t-\lambda)^r ( t − λ ) r λ \lambda λ λ \lambda λ d k ( λ ) d_k(\lambda) d k ( λ )
最小多項式保留的則是最大塊大小。在大小為 r r r ( t − λ ) r (t-\lambda)^r ( t − λ ) r ∑ j = 0 r − 1 b j ( t − λ ) j \sum_{j=0}^{r-1}b_j(t-\lambda)^j ∑ j = 0 r − 1 b j ( t − λ ) j ∑ j b j v r − j = 0 \sum_j b_jv_{r-j}=0 ∑ j b j v r − j = 0 ( T − λ I ) r (T-\lambda I)^r ( T − λ I ) r t − λ t-\lambda t − λ λ \lambda λ
例 3：確定完整的塊劃分。 八維空間上的冪零算子依次有核維數 3 , 5 , 7 , 8 3,5,7,8 3 , 5 , 7 , 8 d 0 = 0 d_0=0 d 0 = 0 d 5 = 8 d_5=8 d 5 = 8 3 , 2 , 2 , 1 , 0 3,2,2,1,0 3 , 2 , 2 , 1 , 0 4 , 3 , 1 4,3,1 4 , 3 , 1
例 4：分裂條件不能用空真條件替代。 實矩陣 R = ( 0 − 1 1 0 ) R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} R = ( 0 1 − 1 0 ) t 2 + 1 t^2+1 t 2 + 1 R \mathbb R R C \mathbb C C i , − i i,-i i , − i
6. 分級練習
P01 — 基礎。 證明鏈 v 1 , … , v r v_1,\ldots,v_r v 1 , … , v r r = 1 r=1 r = 1 K r ∖ K r − 1 K_r\setminus K_{r-1} K r ∖ K r − 1 r r r
P02 — 證明。 驗證誘導映射 K j + 1 / K j → K j / K j − 1 K_{j+1}/K_j\to K_j/K_{j-1} K j + 1 / K j → K j / K j − 1
P03 — 核心。 九維空間上的冪零算子，其前四次冪的核維數為 3 , 6 , 8 , 9 3,6,8,9 3 , 6 , 8 , 9
P04 — 診斷。 冪零算子能否滿足 d 1 = 2 , d 2 = 5 d_1=2,d_2=5 d 1 = 2 , d 2 = 5
P05 — 核心。 對特徵多項式為 ( t − 1 ) 2 ( t + 1 ) (t-1)^2(t+1) ( t − 1 ) 2 ( t + 1 ) I I I
P06 — 證明。 設 N 2 = 0 N^2=0 N 2 = 0 n n n rank N = r \operatorname{rank}N=r rank N = r 2 r ≤ n 2r\le n 2 r ≤ n
P07 — 計算。 在 R 4 \mathbb R^4 R 4 T = 2 I + N T=2I+N T = 2 I + N N e 1 = 0 Ne_1=0 N e 1 = 0 N e 2 = 2 e 1 Ne_2=2e_1 N e 2 = 2 e 1 N e 3 = e 1 + e 2 Ne_3=e_1+e_2 N e 3 = e 1 + e 2 N e 4 = 0 Ne_4=0 N e 4 = 0
P08 — 域的條件。 為甚麼“每個實特徵值都有滿維的特徵空間”不足以證明一個實矩陣在 R \mathbb R R
P09 — 證明。 證明 J r ( λ ) J_r(\lambda) J r ( λ ) ( t − λ ) r (t-\lambda)^r ( t − λ ) r
P10 — 核心與域審查。 對域 F F F T = J 2 ( 1 ) ⊕ [ 1 ] ⊕ J 2 ( − 2 ) T=J_2(1)\oplus[1]\oplus J_2(-2) T = J 2 ( 1 ) ⊕ [ 1 ] ⊕ J 2 ( − 2 ) char F ≠ 3 \operatorname{char}F\ne3 char F = 3 char F = 3 \operatorname{char}F=3 char F = 3 d 1 ( 1 ) , d 2 ( 1 ) , d 3 ( 1 ) d_1(1),d_2(1),d_3(1) d 1 ( 1 ) , d 2 ( 1 ) , d 3 ( 1 )
7. 完整解答
S01。 當 r = 1 r=1 r = 1 r r r ∑ c j v j = 0 \sum c_jv_j=0 ∑ c j v j = 0 j j j ( T − λ I ) j − 1 (T-\lambda I)^{j-1} ( T − λ I ) j − 1 c j v 1 = 0 c_jv_1=0 c j v 1 = 0 c j ≠ 0 c_j\ne0 c j = 0 v 1 ≠ 0 v_1\ne0 v 1 = 0 v ∈ K r ∖ K r − 1 v\in K_r\setminus K_{r-1} v ∈ K r ∖ K r − 1 N r v = 0 N^rv=0 N r v = 0 N r − 1 v ≠ 0 N^{r-1}v\ne0 N r − 1 v = 0 N r − 1 v , … , N v , v N^{r-1}v,\ldots,Nv,v N r − 1 v , … , N v , v r r r
S02。 若 v ∈ K j + 1 v\in K_{j+1} v ∈ K j + 1 N j ( N v ) = N j + 1 v = 0 N^j(Nv)=N^{j+1}v=0 N j ( N v ) = N j + 1 v = 0 N v ∈ K j Nv\in K_j N v ∈ K j v − w ∈ K j v-w\in K_j v − w ∈ K j N j − 1 ( N v − N w ) = N j ( v − w ) = 0 N^{j-1}(Nv-Nw)=N^j(v-w)=0 N j − 1 ( N v − N w ) = N j ( v − w ) = 0 N v − N w ∈ K j − 1 Nv-Nw\in K_{j-1} N v − N w ∈ K j − 1 N ( α v + β w ) = α N v + β N w N(\alpha v+\beta w)=\alpha Nv+\beta Nw N ( α v + β w ) = α N v + β N w N v ∈ K j − 1 Nv\in K_{j-1} N v ∈ K j − 1 N j v = 0 N^jv=0 N j v = 0 K j + 1 / K j K_{j+1}/K_j K j + 1 / K j dim ( K j + 1 / K j ) ≤ dim ( K j / K j − 1 ) \dim(K_{j+1}/K_j)\le\dim(K_j/K_{j-1}) dim ( K j + 1 / K j ) ≤ dim ( K j / K j − 1 ) d j + 1 − d j ≤ d j − d j − 1 d_{j+1}-d_j\le d_j-d_{j-1} d j + 1 − d j ≤ d j − d j − 1
S03。 增量為 3 , 3 , 2 , 1 3,3,2,1 3 , 3 , 2 , 1 K 4 = V K_4=V K 4 = V 3 − 3 = 0 3-3=0 3 − 3 = 0 3 − 2 = 1 3-2=1 3 − 2 = 1 2 − 1 = 1 2-1=1 2 − 1 = 1 1 − 0 = 1 1-0=1 1 − 0 = 1 4 , 3 , 2 4,3,2 4 , 3 , 2 1 + 1 + 1 = 3 1+1+1=3 1 + 1 + 1 = 3 2 + 2 + 2 = 6 2+2+2=6 2 + 2 + 2 = 6 3 + 3 + 2 = 8 3+3+2=8 3 + 3 + 2 = 8 4 + 3 + 2 = 9 4+3+2=9 4 + 3 + 2 = 9
S04。 這些數值會給出 dim ( K 1 / K 0 ) = 2 \dim(K_1/K_0)=2 dim ( K 1 / K 0 ) = 2 dim ( K 2 / K 1 ) = 3 \dim(K_2/K_1)=3 dim ( K 2 / K 1 ) = 3
S05。 記 E = e − 1 ( T ) E=e_{-1}(T) E = e − 1 ( T ) F = e 1 ( T ) F=e_1(T) F = e 1 ( T ) I I I
e − 1 ( t ) e 1 ( t ) = ( t − 1 ) 2 ( 3 − t ) ( t + 1 ) 16 , e_{-1}(t)e_1(t)=\frac{(t-1)^2(3-t)(t+1)}{16}, e − 1 ( t ) e 1 ( t ) = 16 ( t − 1 ) 2 ( 3 − t ) ( t + 1 ) , 它是特徵多項式的倍數。由 Cayley–Hamilton 定理得 E F = F E = 0 EF=FE=0 E F = F E = 0 F = I − E F=I-E F = I − E E ( I − E ) = 0 E(I-E)=0 E ( I − E ) = 0 E 2 = E E^2=E E 2 = E ( I − F ) F = 0 (I-F)F=0 ( I − F ) F = 0 F 2 = F F^2=F F 2 = F
S06。 由於 N 2 = 0 N^2=0 N 2 = 0 r r r n − 2 r n-2r n − 2 r N 2 = 0 N^2=0 N 2 = 0 N V ⊆ ker N NV\subseteq\ker N N V ⊆ ker N r ≤ n − r r\le n-r r ≤ n − r 2 r ≤ n 2r\le n 2 r ≤ n
S07。 選鏈頂 v 3 = e 3 v_3=e_3 v 3 = e 3 v 2 = e 1 + e 2 v_2=e_1+e_2 v 2 = e 1 + e 2 v 1 = 2 e 1 v_1=2e_1 v 1 = 2 e 1 N v 1 = 0 Nv_1=0 N v 1 = 0 w = e 4 w=e_4 w = e 4
P = ( 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) , det P = 2 ≠ 0. P=\begin{pmatrix}2&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix},\qquad\det P=2\ne0. P = 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , det P = 2 = 0. 等式 T v 1 = 2 v 1 Tv_1=2v_1 T v 1 = 2 v 1 T v 2 = v 1 + 2 v 2 Tv_2=v_1+2v_2 T v 2 = v 1 + 2 v 2 T v 3 = v 2 + 2 v 3 Tv_3=v_2+2v_3 T v 3 = v 2 + 2 v 3 T w = 2 w Tw=2w T w = 2 w T P = P ( J 3 ( 2 ) ⊕ [ 2 ] ) TP=P(J_3(2)\oplus[2]) T P = P ( J 3 ( 2 ) ⊕ [ 2 ]) P − 1 P^{-1} P − 1
S08。 例 4 的旋轉矩陣沒有實特徵值。因此關於每個實特徵值的斷言空真，但不存在實特徵向量基。除了對實際特徵空間維數的條件外，特徵多項式還必須在所討論的域上分裂。在 C \mathbb C C
S09。 令 N = J r ( λ ) − λ I N=J_r(\lambda)-\lambda I N = J r ( λ ) − λ I N r = 0 N^r=0 N r = 0 ( t − λ ) r (t-\lambda)^r ( t − λ ) r p p p t − λ t-\lambda t − λ ∑ j = 0 r − 1 b j ( t − λ ) j \sum_{j=0}^{r-1}b_j(t-\lambda)^j ∑ j = 0 r − 1 b j ( t − λ ) j p ( J r ( λ ) ) = 0 p(J_r(\lambda))=0 p ( J r ( λ )) = 0 v r v_r v r ∑ j = 0 r − 1 b j v r − j = 0 \sum_{j=0}^{r-1}b_jv_{r-j}=0 ∑ j = 0 r − 1 b j v r − j = 0 b j = 0 b_j=0 b j = 0 ( t − λ ) r (t-\lambda)^r ( t − λ ) r
S10。 若 char F ≠ 3 \operatorname{char}F\ne3 char F = 3 min ( k , 2 ) + min ( k , 1 ) \min(k,2)+\min(k,1) min ( k , 2 ) + min ( k , 1 ) 2 , 3 , 3 2,3,3 2 , 3 , 3 − 2 -2 − 2 T − I = − 3 I + R T-I=-3I+R T − I = − 3 I + R − 3 ≠ 0 -3\ne0 − 3 = 0 char F = 3 \operatorname{char}F=3 char F = 3 − 2 = 1 -2=1 − 2 = 1 k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 min ( k , 2 ) + 1 + min ( k , 2 ) \min(k,2)+1+\min(k,2) min ( k , 2 ) + 1 + min ( k , 2 ) 3 , 5 , 5 3,5,5 3 , 5 , 5 V V V − 3 -3 − 3
總結
核商空間之間的單射確保可從上至下相容地選擇鏈。多項式投影給出各廣義特徵空間，冪零構造給出每個空間的一組基。核維數的增量隨後證明唯一性並確定各大小的塊數。特徵多項式在所用域上分裂始終是必要假設。
